Geschichte der Mathematik

1. Geschichte der Mathematik Leonardo Pisani oder besser bekannt als Fibonacci Philipp von Detten

2. Struktur • Kurzer Überblick • Biographie Fibonaccis • Sein Hauptwerk: der „liber abbaci“ • Errungenschaften/Fazit

3. Kurzer Überblick • Kurzer Überblick über die Zeit des 12. und 13. Jahrhunderts und das die Entwicklung des Bildungssystems

4. Kurzer Überblick • Einrichtung von Schulen durch die Römer • Der „Pädagoge“ von Früher • Gutes Bildungssystem im römischen Reich (Elementarschulen, weiterführende Schulen, Universitäten) • Nach dem Zerfall ging das Bildungssystem teilweise unter

5. Kurzer Überblick • Seit dem 4. Jahrhundert widmeten sich Mönche dem Archivieren und Kopieren von Texten • Dazu lernten Mönche und Nonnen Lesen und Schreiben und übersetzten zahlreiche Bücher

6. Kurzer Überblick • Spätestens zur Zeit Friedrichs des II. kümmerte sich unter anderem der Staat wieder um die Bildung seiner Bürger. (12./13. Jahrhundert) • Eine weitere Gruppe spielte eine bedeutende Rolle: Die großen Kaufleute

7. Kurzer Überblick • Lesen, Schreiben und Rechnen war für sie von existenzieller Bedeutung • Bildung wurde somit „bürgerlich“ • Wiederentdeckung der „antiken Mathematik“ (in Europa) also schon im 12. und 13. Jahrhundert

8. Kurzer Überblick • Was bedeutet Schule? • Griechischen Ursprungs (σχολή) und bedeutet soviel wie „Muße“: der Ertrag der Arbeit war mehr als das, was man am nächsten Tage wieder verzehrt

9. Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Europa/Norditalien aus? • Hohes Bevölkerungswachstum • Starker Anstieg der Produktion in der Landwirtschaft durch Revolutionen in der Agrarwirtschaft • Papierherstellung wurde mechanisiert • Pferd als „Nutztier“ entdeckt

10. Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Europa/Norditalien aus? • Verhältnis zwischen Kirche und Kaufleuten besserte sich • Dome wurden aus Kriegsbeuten errichtet • Pisas schiefer Turm stand erst zu drei Stockwerken • Der „Niedergang“ Pisas am 6.8.1284

11. Biographie Leonardos

12. Biographie Leonardos • Leonardo von Pisa • Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von Guido Bonacci; dieser wird später Notar am Handelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), wohin er Leonardo zum Studium der Rechenkunst mitnimmt, als dieser ein Knabe ist. • dort wird er durch „wunderbaren Unterricht“ in die Kunst der neun indischen Ziffern eingeführt

13. Biographie Leonardos • er unternimmt - ob mit seinem Vater oder allein als Kaufmann - Reisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und studierte dort die verschiedenen Varianten der Rechenkunst. Sein Fazit: „Alle diese Methoden seien der indischen unterlegen, ja, sie seien als Irrwege zu bezeichnen“

14. Biographie Leonardos • er verfügt Kenntnis über • die Elemente des Euklid, • den Almagest des Ptolemaeus und • über ein Buch über Proportionen von Ahmad ibn Yusuf • kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst 1202 sein Hauptwerk, den „liber abbaci“; schreibt aber auch noch andere Bücher wie „Practica geometriae“ und „Liber quadratorum“, welches Friedrich dem II. gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er auch gehört

15. Biographie Leonardos • als geachteter Magister und auch Steuerschätzer lebt er in der Stadt Pisa und stirbt nicht vor 1240, da er dort noch in einem Dekret erwähnt wird … mehr dazu am Schluss…

16. Sein Hauptwerk: „liber abbaci“

17. Sein Hauptwerk: „liber abbaci“ • Erstes Kapitel • Übersicht mit Auszügen • Fazit

18. Einführung der indisch-arabischen Ziffern • neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen „0“ • Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade: • Einer: 1-10 • Zehner: 10-100 • Hunderter: 100-1000 … • Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Schritt aufwärts die unmittelbar vorhergehende verzehnfacht wird: Z*10^(Grad -1) mit 1 ≤ z ≤ 9

19. Einführung der indisch-arabischen Ziffern • Schreibweise: Einer ganz rechts, links daneben der nächst höhere Grad, etc. • Betonung: auf die Reihenfolge kommt es an und die Bedeutung der „0“ wird hervorgehoben • Vergleich römisch/arabischer Zahlen

20. Fingerzahlen • Welche Zahlen kann man allein mit seinen 10 Fingern darstellen? • …Darstellung von allen Zahlen von 1-9999 möglich! • Diese Kommunikation half über Sprachbarrieren hinweg und ermöglichte es Kaufleuten aus verschiedenen Ländern miteinander Handel zu treiben

22. Erste Operationen • Tabelle des Eins-und-Eins sowie des Ein-Mal-Eins • Diese sollen auswendig gelernt werden und in die Fingersprache übersetzt werden • Führt zur Verinnerlichung und schult die Fingerfertigkeit

23. Multiplikation • Es stellt sich heraus, dass der „Liber abbaci“ kein Buch für Anfänger ist • Multiplikation von Zahlen zweiten Grades • Zahlen n-ten Grades haben n Stellen • Beispiel: 73*83 • Vorstellung eines weiteren Verfahrens der schriftlichen Multiplikation: • Beispiel 4321 * 765

24. Multiplikation • „Neunerprobe“ • Grundannahme: Bei Division einer Zahl durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn man die Quersumme durch 9 dividiert • BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8 • Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8 • Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist kongruent zum Produkt der Reste modulo 9 • Beweis zur Neunerregel anhand eines Beispiels

25. Multiplikation • Distributivgesetz: „Zerlegt man die eine Zahl in irgendwelche Teile, multipliziert jeden Teil mit einer weiteren Zahl und addiert alle diese Produkte, so ergibt sich das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Ausgangszahl direkt mit der zweiten Zahl multipliziert.“

26. Multiplikation • Potenzregeln für 10er-Potenzenmit Berufung auf Euklid: 10^a*10^b = 10^(a+b) • Am Ende des Kapitels werden noch Verfahren vorgestellt, mit denen man zwei- und dreistellige Zahlen im Kopf addiert.

27. Addition und Subtraktion • Zahlen werden untereinander geschrieben, wie wir es heute auch kennen • Erneut: Neunerprobe • Beispiel: Praxisorientiert…

28. Division • Bruchschreibweise: m/n – wobei Fibonacci Brüche vor die ganzen Zahlen bei gemischter Schreibweise schreibt • Beispiel 1346 : 4 • Ergebnis: ½ 336

29. Division • Einschub: Primzahlen - „Zahlen ohne Maß“ • Grund: gemischte Zahlen zu dividieren indem man den Divisor durch das Produkt von Primzahlen ausdrückt (Primfaktorzerlegung) • Einführung einer neuen Schreibweise

30. Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion gemischter Zahlen • Bei der Addition geht Fibonacci auf den „größten gemeinsamen Teiler“ und „das kleinste gemeinsame Vielfache“ ein • Bei der Division spielt die Proportionslehre eine wichtige Rolle für ihn

31. Stammbrüche • Als letztes Kapitel erscheint die Zerlegung von Brüchen in Stammbrüche • 7 verschiedene Verfahren! • Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3

32. Resumée • Beim „liber abbaci“ handelt es sich um ein Mathematikbuch • Enthalten • Algorithmen • Distributivgesetz • Potenzgesetz für 10er-Potenzen • Modulares Rechnen (Proben)

33. Resumée Heutzutage unbrauchbar? Keineswegs: • Widererkennung beim Rechnen im Ring mit ganzen Zahlen und im Quotientenring • Algorithmen des Computers sind ähnlich oder teilweise gleich den angegebenen Algorithmen

34. Weiterer Aufbau des liber abbaci • Erläuterung des Dreisatzes (mit Hilfe der Proportionslehre) • Anwendungsbeispiele: • Warentausch • Gewichtsumrechnungen • Gewinnaufteilung • Legierungen

35. Weiterer Aufbau des liber abbaci • Arithmetische Reihen • Lineare Gleichungen • Zyklische Vertauschungen

36. Was ist ein Beweis?! • „Ein Beweis ist ein didaktisches Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich oder meinem Gegenüber von der Richtigkeit meiner Behauptung zu überzeugen.“ • Fibonacci Argumentation ist nachvollziehbar und „lückenlos“ nach obiger Definition für H. Lüneburg

37. Was ist ein Beweis?! Was wird deutlich? • Fibonacci versteht seine Materie und kann verständlich beweisen, wie er zu seinen Auffassungen kommt!

38. Weiterer Aufbau des liber abbaci Weitere Anwendungsbeispiele: • „Reisen“ • Vollkommene Zahlen • „Fibonacci-Zahlen“ (einziges Anwendungsbeispiel zu damaliger Zeit: Kaninchenpopulation)

39. Weiterer Aufbau des liber abbaci • Affine Ebenen • Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln, Kubikwurzeln) • Quadratische Gleichungen • Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder gar keine Lösung (wobei negative Lösungen als „Schulden“ aufgefasst werden)

40. FAZIT Was hat Fibonacci mit seinem Werk „liber abbaci“ geschaffen? • Es ist ein „Buch an den Grenzen damaliger Kenntnis“ • Es ist nicht sicher, dass es neue mathematische Erkenntnisse enthält! • Grundlage für weitere Entwicklungen (zahlreiche Verweise von anderen Autoren zum „liber abbaci“) • Fibonacci hat die mathematische Materie durchdrungen und Lösungen und Regeln verifiziert und bewiesen.

41. Wie erinnert man sich an Fibonacci? • Fibonacci-Folge: • Modell einer Kaninchenpopulation • Treppenproblem • Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt • der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt an

42. Wer war Leonardo von Pisa? • Als letztes aus dem Constitutum usus pisanae civitates, Zitat und Übersetzung nach H. Lüneburg: „In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, daß eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und daß er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.“

43. Literatur • Heinz Lüneburg (1992). „Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers.“ Mannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag • Heinz Lüneburg (1996). „Leonardo Pisanos Liber abbaci“, in: Der Mathematik-Unterricht, 42,3 p.31-42 • L.E.Siegler. „Fibonacci‘s Liber Abaci – a Translation into Modern English of Leonardo Pisano‘s Book of Calculation“. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag

44. Vielen dank für eure Aufmerksamkeit =)