Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol

1. Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol José Ignacio Royo Prieto

2. Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa) • Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; • Sólo se puede plegar el papel; • No se pueden realizar cortes; • No se puede usar pegamento.

3. Modelos tradicionales Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel

4. León, leona y cría (David Brill)

5. Mantis religiosa (Ronald Koh)

6. Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

7. Dos Cisnes (David Derudas)

8. Peces (John Montroll)

9. Demonio (Jun Maekawa)

10. Dragón (Shatoshi Kamiya)

11. Insectos(Robert Lang)

12. Rosa (Toshikazu Kawasaki)

14. Eric Joisel

15. Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)

17. Demonio de Tasmania (J.I.R.)

18. Origami Ori = Doblar Kami= Papel

19. “Un mago convierte hojas de papel en pájaros” Grabado en madera japonés de 1818.

20. “Senbazuru Orikata” Japón, 1789

21. Miguel de Unamuno (Zuloaga)

22. Monumento a la Pajarita (Ramón Acín), Parque de Huesca

23. Akira Yoshizawa

24. Akira Yoshizawa

26. Elefantes (Akira Yoshizawa)

27. Avispa (Kamiya)

28. Avispa (Kamiya)

29. Avispa (Kamiya)

30. Avispa (Kamiya)

31. Tomoko Fuse

32. Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang

33. Relación Matemáticas-Papiroflexia • Papiroflexia modular • Constructibilidad de puntos con Origami • Diseño de figuras con métodos matemáticos

34. Poliedros • Definición: conjunto conexo de R3formado por polígonos (caras) que cumplen: • cada lado de cada cara es compartido con otra cara; • en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

35. Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo C el número de caras.

36. Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si: -sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. -(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

38. Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

39. Icosaedro truncado, cuestión de estado.

40. Papiroflexia modular • Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) • El interés para con las matemáticas es doble: • representación de poliedros y otras figuras; • la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.

41. Clases de módulos • Por vértices; • por aristas; • por caras.

42. Problema de la coloración • Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales • Utilizaremos el grafo plano de un poliedro

43. Grafos planos de los sólidos platónicos

44. Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro

45. Icosidodecaedro

46. 6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro

47. Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico

48. Triacontaedro rómbico

49. Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè

50. Dualidad de poliedros