Clase Notacion de Conjuntos

1. CONTENIDOS PARTE 2 Subconjunto Operaciones con conjuntos UNION INTERSECCION DIFERENCIA DIFERENCIA SIMETRICA COMPLEMENTO TECNICAS DE CONTEO NOTACIÓN DE CONJUNTOS CONTENIDOS PARTE 1 Definición de conjunto Representación de conjuntos Cardinalidad y tipos de conjuntos finito infinito VACIO UNITARIO UNIVERSAL

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto es una colección bien definida de objetos, llamados sus elementos. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas A, B, … Los objetos que componen el conjunto se denominan elementos o miembros y se denotan con letras minúsculas a, b, Un conjunto se puede representar entre llaves, por medio de diagrama de Venn, describiendo los elementos del conjunto o explicando la característica en común que tienen los elementos. ¿Qué característica tienen en común los elementos de cada conjunto? A C={1, 3, 5, 7, 9} B={x / - 1 ≤ x ≤ 5 & x Є Z} ¿En qué conjunto está el número 0? ¿Qué elemento tienen en común? 1 2 3 4

3. Representación de Conjuntos Para escribir un conjunto por extensión, se enumeran todos sus elementos separándolos con comas y luego se encierran entre llaves {...}. Para escribir un conjunto por comprensión se elige un elemento arbitrario x y se señala que cumple la propiedad P(x). Finalmente, se encierra toda la expresión entre llaves: A={x│x P(x)} que se lee “A es el conjunto de todos los elementos x tales que los x cumplen la propiedad. A={│ se lee “tal que”}

4. Continua…… Ejemplos: El conjunto de los primeros cinco números enteros positivos puede escribirse por extensión: A={l, 2, 3, 4, 5} pero también se puede escribir por comprensión: A={x│xЄ Z & x es uno de los primeros cinco enteros positivos} o A={x│x es uno de los primeros cinco enteros positivos} Escribimos un conjunto por extensión cuando tiene un número reducido de elementos, y lo escribimos por comprensión cuando tiene un número grande de elementos.

5. CARDIINALIDAD Y TIPOS DE CONJUNTOS • Cardinalidad: El número de elementos de un conjunto finito es lo que se llama la cardinalidad de dicho conjunto. La cardinalidad de un conjunto finito A se denota por: Card (A), #A, │A │ • Finito: Son los conjuntos que pueden determinarse su cardinalidad. Ejemplo: A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} • Infinito: Son conjuntos que no tienen un número finito de elementos. Ejemplos: A={x│x es un numero entero positivo}

6. Continua…….. • Vacío: El conjunto vacío es el que carece de elementos. Se denota por. Ejemplo: A={ } o A=Ǿ. • Unitario: Un conjunto A es un conjunto unitario si tiene un solo elemento. Ejemplo: A={x│x es una capital de Perú} • Universo: En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos pertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Éste se denota por U. Ejemplo: U=={x│x es un departamento de Guatemala}

7. Continua…….. • Subconjunto: Si todos los elemento de un conjunto B son también elementos de un conjunto A, entonces se dice que B es un subconjunto de A. Se dice también que B está contenido en A o que A contiene a B. La relación de subconjunto viene dada por: B A Ejemplo: A={1, 2, 3} B={2, 3} A 2 3 1 B 2 3

8. DIAGRAMAS DE VENN A B • Relacionados: Cuando ambos conjuntos comparten algunos elementos. • Contenidos: Cuando un conjunto es subconjunto de otro. • Ajenos o Disjuntos: Cuando los conjuntos no tienen nada en común. A B A B

9. OPERACIONES CON CONJUNTOS • Union: La unión de dos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a los dos conjuntos. Simbólicamente la unión se representa: A B. A B= A B

10. Continua…….. • Intersección: La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que son comunes a los dos conjuntos. Simbólicamente la intersección se representa: A B. A B= A B

11. Continua…….. • Diferencia: Se llama diferencia de dos conjuntos A y B (A menos B) y se escribe A - B , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B. A B= A B

12. Continua…….. • Diferencia Simétrica: es el conjunto formado por los elementos de la unión de A y B, eliminando los elementos de la intersección de A y B. La diferencia simétrica de A y B se denota por A Δ B. A B= A B

13. Continua…….. • Complemento: Si A es un subconjunto de U, entonces A' es el complemento de A en U, el conjunto de todos los elementos de U que no están en A. A A'

14. Continua…….. Ejemplo 1 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8} Define por extensión los siguientes conjuntos: • A ∪ B 2. A − B 3. A' 4. U ' 5. B ∩ U 6. B' ∩ (C − A) 7. A∩B' ∪ C 8. B ∩ C 9. A ∪ ∅ 10. A ∩ (B ∪ C) 11. (A ∩ B) ∪ C 12. A ∩ B) − C

15. Continua…….. Ejemplo 2 El doctor Pérez observa las fichas de 10 pacientes y analiza sus síntomas. Los pacientes que tienen fiebre son:..............F = {a, b, e, f, g, i, j} Los pacientes que tienen cólicos son:............C = {b, c, d, f, g, h, j} Los pacientes que tienen mareos son:...........M = {a, e} Observemos en un diagrama de conjuntos los pacientes que tienen. fiebre y cólicos…………… fiebre y mareos………….. cólicos y mareos…………C fiebre, cólicos y mareos…………..

16. Conjunto y Técnicas de Conteo Una de las ideas más importantes en la aplicación de la teoría de conjuntos está relacionada con el proceso de contar. Se cuenta el número de elementos de un conjunto, el número de maneras en que un proceso puede ocurrir, etcétera. • Principio de Conteo I: Conjuntos Disjuntos. ││=│A│+ │B│ • Principio de Conteo II: Conjuntos Relacionados Caso para dos conjuntos ││=│A│+ │B│─││ Caso para mas de dos conjuntos ││=│A│+ │B│+│C│─││─│B│─││+││

17. Aplicaciones de conteo de conjuntos Ejemplo 1 Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El numero de estudiantes que prefirieron Pepsi fue 3. El numero de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: a) Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi? b) Cuantos de los encuestados prefirieron Coca Cola? c) Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?

18. Continua…….. Ejemplo 2: A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron solo el de Física. • Cuantos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados? • Cuantos solo aprobaron Matemáticas ? • Cuantos aprobaron física ?

19. Continua…….. Ejemplo 3: En un aula hay un cierto numero de alumnos que hemos de determinar. Se sabe que cada uno de los alumnos presentes en el aula, estudia al menos una de las tres asignaturas siguientes. Matemática, Física y Química pues bien, en sucesiva veces se pide que levanten la mano los que estudian. 48 estudian matemática Se pregunta: 45 estudian física 1. ¿Cuantos Alumnos hay en el caula? 49 estudian química 2. ¿Cuantos estudian matemática y física pero no 28 estudian matemática y física química? 26 estudian matemática y química 3. ¿Cuantos estudian nada mas que química? 28 estudian física y química 18 estudian las tres asignaturas.

20. Continua…….. Ejemplo 4: En una encuesta realizada a 120 pasajeros, una línea aérea descubrió que a 48 les gustaba el vino (V) con sus alimentos, a 78 les gustaba las bebidas preparadas (P) y a 66 el té helado (T). Además, a 36 les gustaba cualquier par de estas bebidas y a 24 pasajeros les gustaba todo. Encuentre:a) ¿Cuántos pasajeros solamente les gusta el té?b) ¿A Cuántos de ellos solamente les gusta el vino con sus alimentos?c) ¿A Cuántos de ellos solamente les gusta las bebidas preparados?d) ¿Cuántos de ellos les gusta al menos 2 de las bebidas para acompañar sus alimentos?e) ¿Cuántos de los pasajeros no beben ni vino. ni tè, ni bebidas preparadas?

21. Continua…….. Ejemplo 5: En una encuesta a 100 inversionistas, se observa lo siguiente:- 5 sólo poseen acciones.- 15 poseen solamente valores.- 70 son propietarios de bonos.- 13 poseen acciones y valores.- 23 tienen valores y bonos.- 10 son propietarios sólo de acciones y bonos.Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. Encuentre el número de inversionistas que:a) Tienen valores, bonos y acciones.b) Tienen sólo una de ellas.c) Tienen al menos una.d) Tienen, cuanto mucho, dos de ellas.

22. Continua…….. Ejemplo 6: En un estudio sobre las bases matemáticas de 50 estudiantes inscritos en estadísticas se encontró que el numero de estudiantes que habían cursado distintas asignaturas de matemáticas era como sigue: álgebra de matrices 23, geometría analítica 18, matemática finita 13, álgebra de matrices y geometría analítica 3, álgebra de matrices y matemática finita 6, geometría analítica y matemática finita 3, y todas las tres materias 1. a) ¿Cuántos estudiantes hay que jamás han tomado ninguna de las tres materias?b) ¿Cuántos estudiantes han tomado solo algebra de matrices, solo geometría analítica y solo matemática finita?c) ¿Cuántos estudiantes han tomado solamente algebra de matrices y geometría analítica?d) ¿Cuántos estudiantes han tomado solo algebra de matrices y matemática finita?, ¿Solo geometría analítica y matemática finita? 

23. Continua…….. Ejemplo 7: Una compañía compró 500 tornillos en una subasta de la DIAN. Los cuales pueden utilizarse en tres diferentes operaciones básicas como se indica a continuación: 255 tornillos para la operación A, 215 para la operación C, 25 para las operaciones A y C solamente. 125 tornillos para las operaciones A y B. 105 para la operación B solamente. 395 para las operaciones A o C 60 para las operaciones B y C. 1. Encontrar el número de tornillos que se pueden utilizar en las tres operaciones.2. Encontrar el número de tornillos que son desechados que no sirven para ninguna operación