Teoría de Conjuntos

Teoría de Conjuntos Haydeé Carrero Silva Cristhian Garbanzo Méndez Guillermo Brenes Soto

Teoría de Conjuntos • Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. • Una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. • Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.

La pertenencia de un elemento “a” a un conjunto A se indica como a ∈ A. • Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Conjunto N (Números Naturales) • Expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas. • Los números naturales van de uno en uno desde el 0. • Solamente expresan valores positivos. N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ... ...}

Conjunto Z (Números Enteros) • El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y los positivos. Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}

Conjunto Q (Números Racionales) • Está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es “a”, es un número entero y el denominador “b”, es un número entero distinto de cero. Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 } Ejemplo: Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

Conjunto R (Números Reales) • Incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos) • Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas

Conjunto C (Números Complejos) • Extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. • Designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que RСC .

Cardinalidad • Es el número de elementos que pertenecen a un conjunto. Se denota por el símbolo n, aunque también se utilizar el símbolo #.

Cardinalidad • 1. Número Cardinal: Nos referimos al número de elementos que tiene un conjunto • 2. Numero Ordinal: Nos referimos al número natural que corresponde a cada uno de los elementos del conjunto al contarlos

se determinan de dos formas: • Por Extensión. Cada elemento del conjunto es nombrado individualmente. • Por Comprensión. Es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos.

Conjunto Finito. Ej: A= {El número computadoras del salón de clase} B= {275 páginas del libro} C= {números impares de 5 al 21} • Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual desde primero hasta el último. • Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto del tipo {1, 2, 3, ..., n}, donde n es un número natural

Conjunto Infinito. A= {x E Z; x >2} B= {x/x Es un número real} • Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un último elemento del conjunto Propiedades • La unión de dos o más (incluso una cantidad infinita) de conjuntos infinitos es un conjunto infinito. • Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez. • El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.

Conjunto Universo • Contiene todos los elementos posibles para un problema particular en consideración. • Se denota con el símbolo U. Si A es el conjunto de los presidente de Costa Rica, podemos definir como U el conjunto de todos los costarricense.

Conjunto Vacío • No posee elementos y se denota con el símbolo Ø • Se da porque la condición que se pone sobre elementos no es satisfecha por ningún elemento del universo predefinido. Ejemplo. • Sea U el conjunto de todos los seres humanos. Definamos como A el conjunto de todas las personas con 6 piernas y 3 ojos, entonces A= Ø.

Subconjuntos. • En conjuntos notamos que existen conjuntos grandes y pequeños y es necesario establecer algún tipo de jerarquía entre ellos. • Decimos que A es un subconjunto B si todo elemento de A( x Є A) también pertenece a B(x Є B), y escribimos A С B.

Conjunto Potencia • Dado un conjunto A, al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto de partes de A o el conjunto de potencia de A, y se denota como P(A). Sea A= {x,1}, entonces P(A)={Ø, {x}, {1}, A}.

"Las Matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la Filosofía." Isócrates

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