Jednorozmerný a dvojrozmerný c h í-kvadrát test ( krížové tabuľky )

1. Jednorozmerný a dvojrozmerný chí-kvadrát test (krížové tabuľky) Iveta Waczulíková Peter Slezák Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK Ústav normálnej a patologickej fyziológie SAV

2. Frekvenčná tabuľka • Jednoduchá (frekvenčná) tabuľka zodpovedá jednostupňovému triedeniu. Obsahuje triedne početnosti podľa kategórií (tried) jednej premennej. Zostrojenie frekvenčných tabuliek z údajov sa nazýva tabelácia. • Prezentácia: koláčový graf, stĺpcový graf, kumulatívny stĺpcový graf

3. Kedy použiť jednorozmerný chí2 test dobrej zhody? “Goodness of fit” • Keď je premenná kategorická (nominálnaalebo ordinálna) • Testuje jeden typ otázky (napr. otázka na pacienta): • Čo považujete za najväčší nedostatok v zdravotnej starostlivosti? • (Pearsonov)chí2 test dobrej zhody testuje nulovú štatistickú hypotézu, ktorá tvrdí, že aktuálne (pozorované) početnosti v jednotlivých kategóriách (presnejšie hodnotách/úrovniach kategorickej premennej)sa rovnajú očakávaným (teoretickým) početnostiam (univariačná analýza toho, či distribúcia frekvencií “fituje” predpokladané populačné proporcie).

4. Štatistickáotázka • Predpokladáme, že v odpovediach budú v jednotlivých stanovených triedach (hodnotách kategórie) rozdiely • 43% odpovedí “kvalita” • 34% odpovedí “dostupnosť” • 23% odpovedí “neviem” • Ale sú tieto rozdiely štatisticky signifikantné? Inýmislovami, nakoľko “veľký” je veľký rozdiel medzi týmito percentami? • Výskumná otázka na vzorke 105 pacientov: Sú jednotlivé typy odpovedí pacientmi ROVNAKO PREFEROVANÉ? (excelovský príklad, list 1). Poznámka: triedy odpovedí sú pre naše potreby zjednodušené – v takejto podobe nevyhovujú kritériám pre „closed-ended question“

5. Testovanie hypotézy • Ho: p1 = p2 = p3 • to znamená, že ak sú preferencie rovnaké, očakávané hodnoty by mali byť 35/105 resp. 33,3% pre každú úroveň kategorickej premennej (typ odpovede) • Ha: p1 = p2 = p3 Uvažujeme chybu typu I. druhu maximálne vo výške 5%(alfa = 0,05)

6. Podmienky použitia testu dobrej zhody • Analýza nízkych očakávaných početností je kontroverzná (Koehler a Larnz 1980).Použitie aproximačného chí2testu vyžaduje splnenie všetkých (!) nasledujúcich podmienok: • Celkový počet pozorovaných početností n ≥ 10 • Počet tried/úrovní kategóriec ≥ 3 • Všetky očakávané hodnoty Eij ≥ 0,25

7. Excel pre test dobrej zhody • Pripraviť si frekvenčnú tabuľku aktuálnych a očakávaných početností • Bunka (fx) > kategória štatistické (funkcie) > CHITEST • Zadať stĺpec aktuálnych počtov a stĺpec očakávaných počtov • Existuje rozdiel medzi tým, koľko pacientov skutočne preferovalo daný typ odpovede (úroveň kategorickej premennej) a tým, koľko sme očakávali, pri rovnakej preferencii (35)? • Je tento rozdiel dosť veľký na to, aby sme urobili štatistický záver (inference), alebo mohol byť tento rozdiel spôsobený náhodnou chybou výberu (random sampling error)? • Testováštatistika: chí2 = 6,34, df = 3(triedy)-1 =2 • Výstup je hodnota pravdepodobnosti P=0,042

8. Záver príkladu • Pre danú hodnotu chí2 = 6,34,a df = 2, pri alfa = 0,05, by mala byť pravdepodobnosť získania takejto hodnoty chí2rovná alebo menšia než 0,05 na to, aby sme to považovali za významný rozdiel (significant difference). • p = 0,042 ....aký je záver? • Zamietame nulovú hypotézu, že pozorované rozdiely v preferenciách mohli byť spôsobené náhodnou chybou a prijímame alternatívnu hypotézu, že medzi preferenciami (triedy kategórie=typ odpovede) je signifikantný rozdiel. Preferencie sú rôzne.

9. Kedy použiť dvojrozmerný chí2 test nezávislosti? “The r (rows) by c (columns) chi-square tests of independence of the categories in a table” • Keď analyzujeme v skutočnosti dve premenné, skupinovú (grupujúcu) premennú a akúkoľvek premennú, v ktorej chceme dané podskupiny porovnať (bivariačná analýza) • Keď obe premenné sú kategorické, t.j., nominálnealebo ordinálne. • Keď testujeme, či existuje medzi týmito premennými vzťah (sú asociované) alebo nie (sú nezávislé). (Pearsonov) chí2 test nezávislosti predstavuje rozšírenie chí2 testu dobrej zhody na analýzu kontingenčnej tabuľky. Príklad: Lekár má podozrenie na neštandardné rozdelenie krvných skupín u pacientov, ktorí majú pooperačné komplikácie. Percentuálny výskyt krvných skupín u nás: krvná skupina A: 43 %, 0: 42 %, B: 11 %, AB: 4 %. Porovnaním populačného rozdelenia krvných skupín s rozdelením u náhodnej vzorky pacientov možno podozrenie lekára potvrdiť (excelovský príklad, list 2).

10. Podmienky použitia testu nezávislosti • Náhodný výber • Každé pozorovanie je klasifikované do jednej bunky tabuľky r x c (resp. 2 x 2) • Analýza nízkych očakávaných početností je kontroverzná.Použitie aproximačného chí2testu pre tabuľku2 x 2 vyžaduje splnenienasledujúcich podmienok: • Celkový počet pozorovaných početností n ≥ 20 • Všetky očakávané hodnoty Eij ≥ 5 Nulová hypotéza je nezávislosť riadkových a stĺpcových kategórií (tried).

11. Ďalšie chí2 testy • Pre párové proporcie použijeme McNemarov chí2 test • Mantel-Haenszelov test pre stratifikované 2 x 2 tabuľky pri fixných efektoch • Zovšeobecnený (generalised) Cochran-Mantel-Haenszelov test – pre stratifikované r x c tabuľky

12. Exaktné testy • Binomické rozdelenievyužívame pre testovanie pravdepodobnosti, že„r“ pozorovaní z celkového počtu „n“ (r/n)prevýši očakávanú hodnotu • Pre 0,5 (t.j. šanca 50:50) použijeme znamienkový test (Exact sign test). Nulová hypotéza znie: pozorovaná proporcia nie je odlišná od 0,5. • Pre očakávanú hodnotu inú než 0,5 použijeme binomický test – inak tiež test jednej proporcie(The single proportion test (binomial test)). • Fisherov exaktný test použijeme, ak v tabuľke2 x 2: keď je ktorákoľvek očakávaná hodnota menšia ako 1 alebo 20% všetkých očakávaných hodnôt je menších alebo rovných 5. Podmienka: riadkové a stĺpcové súčty sú fixné (často kontroverzné) • Zovšeobecnený Fisherov test (The generalised Fisher exact test - The Fisher-Freeman-Halton test) použijeme pre tabuľkur x c. • Pre párované proporcie použijeme Liddellov test

13. Príklad pre chí2 test nezávislosti • Výskumná otázka: Sú preferencie odpovedí pacientov rovnaké u mužov aj u žien? Inými slovami, sú preferencie závislé na pohlaví? • Otázka v dotazníku: Čo považujete za najväčší nedostatok v zdravotnej starostlivosti? Kvalitu, dostupnosť alebo je odpoveď „neviem“? (zvoľte jednu odpoveď) Druhá kategória je Pohlavie: MužŽena • Vzorka: 105 náhodne vybraných pacientov po hospitalizácii v zvolenom zdravotníckom zariadení

14. Excel pre test nezávislosti • Pripraviť si frekvenčnú tabuľku aktuálnych početností typov odpovedípre obe pohlavia. • Zistiť súčty pre riadky a stĺpce. • Dopočítať očakávané početnosti pre obe pohlavia podľa vzorca (excelovský príklad, list 3). • kde: Aij = aktuálna početnost v i-tom riadku a j-tom stĺpci Eij = očakávaná početnost v i-tom riadku a j-tom stĺpci r = počet riadkov c = počet stĺpcov Yatesova korekcia na spojitosť: odpočíta 0,5 z absolútnej hodnoty každej dvojice v čitateli ( ‌‌Aij-Eij‌ )-0,5)2

15. Bunka (fx) > kategória štatistické (funkcie) > CHITEST • Zadať pole aktuálnych počtov a pole očakávaných počtov • Existuje rozdiel medzi mužmi a ženami v skutočnom (aktuálnom) rozložení preferencií (úrovní kategorickej premennej) a tým, koľko by sme očakávali pri podobných preferenciách? • Je tento rozdiel dosť veľký na to, aby sme urobili štatistický záver o závislosti preferencií na pohlaví, alebo mohol byť tento rozdiel spôsobený náhodnou chybou? • Testováštatistika: chí2 = 4,85, df = (3-1)*(2-1) =2 • Výstup je hodnota pravdepodobnosti P=0,088

16. Nominálna nezávislosť: Chi2 = 4,851, DF = 2, P = 0,0884Fisher-Freeman-Haltonov exaktný test:P = 0,0884

17. Testovanie hypotézy • Ho: Muži a ženy majú rovnaké rozdelenie „preferencií“t.j. početností odpovedí v kategórii „Hodnotenie nedostatkov v zdravotnej starostlivosti“. • Ha: Muži a ženy nemajú rovnaké rozdelenie „preferencií“t.j. početností odpovedí v kategórii „Hodnotenie nedostatkov v zdravotnej starostlivosti“. • Testujeme na hladine významnosti alfa = 0,01

18. Interpretácia výsledku testovania • Pozrieť na hodnotu pravdepodobnosti, ktorá je „prepojená“ s hodnotou testovej štatistiky (chí2 = 4,85) p = 0,088 • Záver: Zamietame alebo akceptujeme nulovú hypotézu na hladine významnosti alfa = 0,01? • Akceptujeme nulovú hypotézu a zamietame alternatívnu. Medzi mužmi a ženami nie je významný rozdiel v termínoch preferenciít.j. početností odpovedí v kategórii „Hodnotenie nedostatkov v zdravotnej starostlivosti“. • Stačí? Nestačí! (Štatistická významnosť nie je klinická/praktická významnosť). Interpretujeme ďalej...preštudovaním konkrétnych početností v bunkách tabuľky.Rozhodnite, ktorou cestou „čítate“ tabuľku (podľa usporiadania oboch kategórií: stĺpce vs. riadky) a popíšte charakter rozdielov medzi podskupinami (pohlaviami). Všímajte si bunky s veľkými rozdielmi medzi aktuálnymi (pozorovanými) a očakávanými hodnotami (percentami).

19. Interpretácia výsledku z popisnej štatistiky Záver začíname “spomedzi…/z” a doplníme názov „riadkovej“ kategorickej premennej (typ odpovede) alebo stĺpcovej (pohlavie). Keď čítame po riadkoch, čítame pozdĺž “vnútri-riadkovej” premennej. Keď čítame po stĺpcoch, čítame nadol “vnútri-stĺpcovej“premennej. Záver:zdá sa, že muži najviac volili „dostupnosť“ a ženy „kvalitu“ (Čítanie nadol stĺpcami) Ďalej, z pacientov, ktorí preferovali kvalitu bolo 40% mužov a 60% žien. Z pacientov, ktorí preferovali dostupnosť bolo 61% mužov a 39% žien. Nerozhodnutých mužov bolo viac (27%) ako nerozhodnutých žien (18%) (Čítanie pozdĺž riadkov) Celkovo sme náhodným výberom pacientov „zabezpečili“ približne rovnaké zastúpenie žien (47,6%) aj mužov (52,4) (pozn. možno overiť znamienkovým testom )