Hafta 9

1. Kalite Kontrolde Kullanılan Bazı Olasılık Dağılımları Temel Kavramlar, Bayes Teoremi, BinomDağılımı, Poisson Dağılımı, Hipergeometrik Dağılım ve Normal Dağılım Hafta 9

2. Temel Kavramlar • İadesiz Seçim: Analiz edilmek amacıyla alınan örneklemin geri iade edilmemesi işlemidir. • İadeli Seçim: İadesiz seçimin aksine analizden sonra örneklemin prosese geri iade edilmesidir. Böylece tekrar seçilme şansı tanınmış olur. • Deney: Prosesten (uzaydan) alınan numunelerin (örneklemin) sonuçlarının gözlenmesidir. • Deney Sonucu: Üzerinde çalışılan bir prosesten (uzaydan) ölçüm ve değerlendirme sonuçlarının elde edilmesi • Rassal Deney: Deney sonucu bilinmezken, deneyin aynı koşullar altında tekrarlanabilir olmasıdır. • Örneklem Uzayı: Bir deneyin bütün örneklem sonuçlarının bulunduğu kümedir. (Çift zarda farklı 36 sonuç) • Olay: Örneklem uzayındaki sonuçlardır. (İki zarında 6 gelmesi)

3. Temel Kavramlar • Basit Olay: Bir deneyde tek sonuç ile karşılaşılan olaylardır. • Bileşik Olay: Bir deneyde iki veya daha fazla olayın birlikte gerçekleşmesidir. • Basit Olasılık: Basit olayın meydana gelme olasılığıdır. • Bileşik Olasılık: Bileşik olayın meydana gelme olasılığıdır. • Bağımsız Olay: Bir olayın meydana gelmesi diğer olaylardan bağımsız olmasıdır. (A işçisinin hata oranı P(A), B işçisinin P(B) • Bağımlı Olay: Bir olayın gerçekleşmesi ile diğer olaylarında etkileniyor olmasıdır. (Tüm hatalar içerisinde A işçisinin ve B işçisinin payı; P(K|A) ve P(K|B) ) • Koşullu Olasılık: Bağımlı olaylarda hesaplanan olasılık

4. Örneklemlerin Arasındaki Bağımlılık Yapısı • Herhangi bir prosesten çekilişlerin iadesiz yapılması nedeniyle, bir birimin (ürünün veya hizmetin) çekilişinin, diğer birimin çekilişi ile bağımlı (ilişkili) olduğu söylenebilir. • Bağımlılık kavramı, olasılık teorisinde şartlı (koşullu) olasılık ile ifade edilir. • Koşullu olasılık durumunda, olaylar arasında bağımlılık var demektir. Koşullu olasılık «iadesiz seçim» yapıldığı takdirde ortaya çıkar.

5. Örneklemlerin Arasındaki Bağımlılık Yapısı • Herhangi bir prosesten (uzaydan) iadesiz seçim yapılması halinde, her iki olayında meydana gelmesi olasılığı; • Bu ifadelere bağımlı olaylarda çarpma kuralı adı verilmektedir. • Çekilişlerin iadeli yapılması halinde bir olayın sonucu diğerini etkilemez.

6. Örnek 3.2 • İçinde 4’ü kusurlu geri kalanı sağlam olan toplam 20 bilgisayarlık bir partiden, iadesiz olarak 2 bilgisayar çekildiğini varsayalım. Numune olarak alınan bilgisayarların, her ikisinin de kusurlu olması olasılığı nedir?

7. Örnek 3.3 • A ve B gibi iki farklı mal üreten ve yıllık üretim planlaması yapan bir işletmede, gelecek yıl için A malının planlanan miktarda üretilmesi olasılığı % 70 ve B malının planlanan miktarda üretilmesi olasılığı %85 olarak belirlenmiş olsun. Bu durumda, her iki malın da planlanan miktarda üretilmesi olasılığı nedir? • P(A) = 0,70 ve P(B)=0,85

8. Örnek 3.4 • %2’sinin kusurlu olduğu bilinen ürünlerden, iadesiz ve ardışık olarak 2 ürün seçildiğinde, her iki parçanın da kusurlu olması olasılığı % 18 olsun. Ayrıca, bu ürünlerden birinin çekildiğini ve kusurlu olduğunu varsayalım. İkinci ürününde kusurlu olma olasılığı nedir?

9. Örneklemlerin Arasındaki BağdaşırlıkYapısı • Bir olayın meydana gelmesi diğer bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa, yani iki veya daha fazla olay birlikte ortaya çıkabiliyorsa bu tür olaylar bağdaşır olaylardır. • şeklinde ifade edilir (veya bağlacı) • veya bağlacı ile bağlanan olaylarda olasılıklar toplanır ve birlikte gerçekleşme olasılığı çıkartılarak işlem yapılır.

10. Örnek 3.6 • Bir TV satış mağazasında farklı kalite düzeylerinde ve farklı fiyatlarda televizyonlar vardır. 120 TV’den 80’i yüksek kalite düzeyinde, geri kalanı ise normal kalite düzeyindedir. Ayrıca, yüksek kalitedeki TV’lerden 60’ı ve normal kalitedeki TV’lerden 10 adeti pahalıdır. Bu duruma göre, rassal olarak seçilen bir TV’nin yüksek kalite düzeyinde veya pahalı bir TV olması olasılığı nedir?

11. Örnek 3.6 • ,

12. Bayes Teoremi (Nedenlerin Olasılığının Çözümü) • Ortaya çıkan bir sonucun nedeninin veya kaynağının araştırılması istenebilir. • Örneğin bir prosesten çekilen ve kalitesiz olduğu belirlenen bir ürünün kalitesiz olması sonuçtur. O halde bu sonucun nedeninin araştırılması gerekebilir. • Çeşitli nedenlerin aynı sonucu verdiği durumlarda, bilinen sonucun hangi nedenden kaynaklandığının ortaya çıkarılması için kullanılan yönteme Bayes Teoremi denilmektedir.

13. Bayes Teoremi (Nedenlerin Olasılığının Çözümü) • Bayes Teoremi ile neden sonuç (balık kılçığı) analizi arasında benzerlik bulunmaktadır. Kusurlu olan bir ürün sonuçtur. Bu sonucun hangi olasılıklarla ve makine, araç gereç, malzeme, yöntem, işgücü ve çevre faktörleri, vb. nedenlerden meydana geldiği araştırılabilir.

14. Örnek 3.8 • Aynı ürünün üç ayrı frezeden işlendiği bir atölyede, üretimin % 40’ı universal, %25’i portal ve geri kalanı da kalıpçı frezede işlenmektedir. Bununla birlikte universal frezede işlenen parçaların %3’ü, portal frezeden işlenen parçaların % 4‘ü, kalıpçı frezede işlenen parçaların % 2’si hatalıdır. Seçilen bir ürünün hatalı olduğu görülmüştür. Bu hatalı ürünün universal frezede üretilmiş olma ihtimali nedir?

15. Örnek 3.8 • K = kusurlu parça çekilmesi olayı • P(U) = Kusurlu veya kusursuz bir parçanın universal frezede işlenmiş olması olasılığı • P(P) = Kusurlu veya kusursuz bir parçanın portal frezede işlenmiş olması olasılığı • P(Ka) = Kusurlu veya kusursuz bir parçanın kalıpçı frezede işlenmiş olması olasılığı • P(K|U) = Universal frezede kusurlu parça işlenmesi olasılığı • P(K|P) = Portal frezede kusurlu parça işlenmesi olasılığı • P(K|Ka) = Kalıpçı frezede kusurlu parça işlenmesi olasılığı

16. Örnek 3.8 • P(U)= 0,40 P(P)= 0,25 P(Ka)= 0,35 • P(K|U)= 0,03 P(K|P)= 0,04 P(K|Ka)= 0,02

17. Örnek 3.9 • Bir tür yay üretilen bir firmada 4 makinanın günlük yay üretim kapasiteleri (adet) ile kusurlu oranları aşağıda verilmiştir. • Üretilen yaylardan rassal olarak seçilen birisinin kusurlu olma olasılığını, • Seçilen yayın kusurlu olduğunu varsayarak bunun B makinasında üretilmiş olma olasılığını hesaplayınız?

18. Örnek 3.9 • Toplam kusurlu üretimin toplam üretime oranı ile ilk sorunun cevabı verilecektir. • Bu problemi Bayes Teoremi ile hesaplarsak ?

19. Örnek 3.9 • K = kusurlu yayın çekilmesi olayını, • P(A) = Bir yayın A makinasında üretilmiş olması • P(B) = Bir yayın B makinasında üretilmiş olması • P(C) = Bir yayın Cmakinasında üretilmiş olması • P(D) = Bir yayın D makinasında üretilmiş olması • P(K|A)= A makinasında kusurlu yay üretilmesi olasılığı • P(K|B)= B makinasında kusurlu yay üretilmesi olasılığı • P(K|C)= Cmakinasında kusurlu yay üretilmesi olasılığı • P(K|D)= D makinasında kusurlu yay üretilmesi olasılığı

20. Örnek 3.9 • P(A) = 1300/7500 = 0,1733 P(K|A)= 0,03 • P(B) = 2000/7500 = 0,2667 P(K|B)= 0,02 • P(C) = 2800/7500 = 0,3733P(K|C)= 0,025 • P(D) = 1400/7500 = 0,1867P(K|D)= 0,01 • P(K)=P(A).P(K|A) + P(B).P(K|B) + P(C).P(K|C) + P(D).P(K|D) • =0,1733 x 0,03 + 0,2667 x 0,02 + 0,3733 x 0,025 + 0,1867 x 0,01 • =0,0217

21. Örnek 3.9 • Kusurlu yayın B makinasında üretilmiş olma ihtimali ise; • Bu firmada üretilen yayların kusurlu çıkma ihtimali % 2,17 iken Bu kusurlu yayın B makinasından gelmesi ihitmali % 24,58’dir.

22. Kalite Kontrolde Kullanılan Bazı Olasılık Dağılımları • Tanım aralığında belirli olasılıklarla çeşitli değerler alabilen bir değişkene rassal değişken adı verilir. • Örneğin X rassal değişkeni kusurlu sayısını gösteriyor olsun. Bu X değişkeni seçilen ürünlerden 0,1,2,3,… tanesinin hatalı olması ile bu değerlerden birisini alır. • Bu değerlerin her birini belirli bir olasılıkla alacaktır ve olasılıklar toplamı 1’e eşit olacaktır. • Rassal değişkenler süreklilik açısından kesikli rassal değişkenler ve sürekli rassal değişkenler olarak ikiye ayrılırlar. • 0, 1, 2, … gibi tamsayı değerleri alan değişkenler kesikli iken, ondalık değerler ve belirli bir aralıkta değer alan değişkenler süreklidirler.

23. Kalite Kontrolde Kullanılan Bazı Olasılık Dağılımları • X kesikli rassal değişkeninin alacağı değerler ve bu değerleri alma olasılığını gösteren dağılıma kesikli olasılık dağılımı adı verilir. • X rassal değişkene ait herhangi bir olasılık dağılımının kesikli olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir. • Değişken tam sayı karakterli olması (x=0,1,2,…) • Olasılıkların negatif olmaması P(x)≥0 • Olasılıklar toplamının 1 olması

24. Kalite Kontrolde Kullanılan Bazı Olasılık Dağılımları Örnek 3.10 • X rassal değişkeni kusurlu ürün sayısını göstermek üzere, bir firmanın ürettiği ürünlerin % 10’unun kusurlu olduğunu varsayarak, • i)Bu ürünlerin rassal olarak 3’ünün seçilmesi durumunda kusurlu ürün sayısının olasılık dağılımı nedir? • ii) Bu olasılık dağılımının kesikli olasılık dağılımı olup olmadığını irdeleyiniz • iii) Elde edilen sonuçları yorumlayınız.

25. Örnek 3.10 • P(K) = 0,1 ise P(S) olasılıklar toplamı 1 olacağından 1-P(K) = 1 - 0,1 = 0,9 olarak elde edilir. • Olası sonuçlar kümesi S={KKK,KKS,KSK,KSS,SKK,SKS,SSK,SSS} • Formül kullanılır • P(X=0) için P(SSS) = P(S) x P(S) x P(S) = 0,9 x 0,9 x 0,9 = 0,729

26. Örnek 3.10 • P(X=1) için P(KSS) + P(SKS) + P(SSK) P(K) x P(S) x P(S) + P(S) x P(K) x P(S) + P(S) x P(S) x P(K) 3 x [0,1 x 0,9 x 0,9] = 0,243 • P(X=2) için P(KKS) + P(KSK) + P(SKK) P(K) x P(K) x P(S) + P(K) x P(S) x P(K) + P(S) x P(K) x P(K) 3 x [0,1 x 0,1 x 0,9] = 0,027 • P(X=3) için P(KKK) = P(K) x P(K) x P(K) = 0,1 x 0,1 x 0,1 = 0,001

27. Örnek 3.10 • ii) X rassal değişkeni tamsayı karakterinde değerlere sahip, her bir olasılık pozitif ve toplamları 1’e eşit olduğundan, bu olasılık dağılımı kesikli olasılık dağılımıdır. • iii) Yorum ???

28. Beklenen Değer • X rassal değişkeninin alacağı değerler (x) ile oransal frekanslar olarak nitelendirilen P(x) değerlerinin çarpımı kesikli değişkenler için beklenen değeri verir. • Sürekli rassal değişkenlerde beklenen değer ise;

29. Beklenen Değer • Bir önceki soruda yer alan verilere göre, herhangi bir firmanın bu ürünlerden 3’er birimlik 1000 paket aldığında, kaç pakette x=0,1,2,3 adet kusurlu ürün gözlemlenmesinin beklendiğini bulalım? E(X=0) = n.P(0) = 1000(0,729) = 729 E(X=1) = n.P(1) = 1000(0,243) = 243 E(X=2) = n.P(2) = 1000(0,027) = 27 E(X=3) = n.P(3) = 1000(0,001) =1

30. Binom Dağılımı • Herhangi bir kesikli X rassal değişkeninin, kusurlu-kusursuz, iyi-kötü, başarılı-başarısız, vb. gibi iki durumlu değer alması halinde Binom dağılımı kullanılır. İlgilenen durumun (kusurlu) ortaya çıkması durumu p, diğer türden (kusursuz) durumun ortaya çıkma olasılığı q=1-p ile gösterilir. • Binom Dağılımı aşağıdaki gibi ifade edilir.

31. Binom Dağılımı • Binom dağılımının n ve p olarak iki parametresi vardır. n parametresi deney sayısını, p parametresi ise ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığını ifade eder. • Binom dağılımın ortalaması • Standart sapması

32. Binom Dağılımı (Örnek) • Bir firmada üretilen ürünlerin %5’inin kusurlu olduğunu varsayarak, söz konusu ürünlerden rassal olarak çekilen 3 birimlik örneklemin • Bir tanesinin kusurlu • Tamamının kusursuz • En az bir tanesinin kusurlu olma olasılıkları nelerdir? • Kesikli olasılık dağılımı oluşturunuz? • P(1) = P(X=1)

33. Binom Dağılımı (Örnek) • P(0) = P(X=0) • P(X≥1) = P(1)+P(2)+P(3)

34. Binom Dağılımı (Örnek) • Kesikli olasılık dağılımı

35. Binom Dağılımı • p değeri 0,5’e yaklaştıkça binom dağılımı simetrik bir grafik oluşturur. p<0,5 iken grafik sağa eğik (grafiğe göre); p>0,5 iken grafik sola eğik (grafiğe göre) olacaktır.

39. Poisson Dağılımı • Poissondağılımı, binom dağılımının özel bir halidir. • Poisson dağılımı, ilgilenilen olayın ortaya çıkma olasılığının çok küçük olduğu durumlarda uygulanır. • np değeri sabit kalmak üzere, örneklem hacim (n) büyüdükçe ve kusurlu oranı (p) küçüldükçe (p<0,05 veya np<5) Binom yerine Poisson dağılımı kullanılabilir. • Poisson dağılımının parametresi olan λ(kalite kontrolde ortalama kusurlu sayısı) ile gösterilir. λ=np şeklinde elde edilir.

40. Poisson Dağılımı • Poisson Dağılımı olasılık fonksiyonu • e=2,71828 olarak dikkate alınır. • Poisson olasılık fonksiyonundaki formül, P(X=x|λ) olup, λ’nın bilinmesi koşuluyla X kesikli rassal değişkeninin x değerini alma olasılığını gösterir. • Poisson dağılımının λ parametresi bilinmemesi halinde λ=np formülü ile hesaplama yoluna gidilir. • Ortalaması Standart Sapması olarak hesaplanır.

41. PoissonDağılımı (Örnek) • Bir tekstil firmasının ürettiği kumaşlardan her 20 metresinde ortalama 2 kusur (uygunsuzluk) bulunmaktadır. Bu kumaşlardan rassal olarak 40 metre alınırsa • Hiç kusur olmaması olasılığı • En fazla 1 kusur olması olasılığı nedir? • 20 metrede λ=2 ise, 40 metrede λ=4 olacaktır. • P(X≤1) = P(0) + P(1) P(X≤1) = P(0) + P(1) = 0,0183+0,0733 = 0,0916

42. Poisson Dağılımı (Örnek) • Kusurlu oranının % 3 olduğu bilinen bir üretim prosesinden rassal olarak 50 birimlik bir örneklem alındığında, bu örneklemde 2 tane kusurlu birim çıkması olasılığı nedir? • n=50 ve p=0,03 λ=np= (50)x(0,03)= 1,5 bulunur • p<0,05 ve λ<5 olduğu için poisson dağılımı kullanılabilir.

43. Hipergeometrik Dağılım • Binom dağılımında anakütleden çekilen her bir birim, arzu edilen kalite özelliğini taşıyıp taşımadığı incelendikten sonra, bağımsızlık şartının sağlanması için geri iade ediliyordu. • Hipergeometrik dağılımda ise çekişler geriden anakütleye iade edilmemekte ve çekilişler arasında bağımlılıklar oluşmaktadır. • İadesiz seçim nedeniyle, muayene edilen ürünün tekrar muayene edilmemesi sağlanmış olur. • Ancak anakütle çok büyük olursa, çekilen birimlerin iade edilmemesi olasılık üzerinde etki yaratmayacaktır.

44. Hipergeometrik Dağılım • A tanesi ilgilenilen türden, N-A tanesi ilgilenilmeyen türden olmak üzere, N birimlik bir anakütleden iadesiz ve rassal olarak n birimlik bir örneklem çekilirse, bunlardan x tanesi ilgilenilen (kusurlu) türden ve n-x taneside ilgilenilmeyen (kusursuz) türden olur. • A,N ve n olmak üzere üç adet parametresi vardır. • P(X=x|A,N,n) X rassal değişkeninin x değerini alma olasılığını gösterir.

45. HipergeometrikDağılım (Örnek) • Bir otomobil satış servisindeki 10 otomobilden 2’sinin kliması kusurludur. Bu otomobillerden 4’ünü satın alan bir firmanın aldığı otomobillerden 1’inin klimasının kusurlu çıkması olasılığı nedir? • N=10, A=2, n=4 =>

46. Normal Dağılım • İstatiksel proses kontrolde en önemli dağılımdır. • Süreklilik gösteren verilerde kullanılır. Sürekli bir dağılımdır. • f(x) fonksiyonu altında kalan alanın toplamı 1’e eşittir. • Ortalamanın (μ) sağına ve solunda kalan alanlar birbirine eşittir. Değerleri 0,5’dir. • 2σ=%68,26 4σ=%95,44 6σ=%99,73 • Aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşittir.

47. Normal Dağılım • Standart normal olasılık fonksiyonu • X, kalite özelliğinin ölçülen değerini; normal dağılımın ortalamasını; ise normal dağılımın standart sapmasını gösterir. • Normal dağılım ortalamaya göre simetrik olmasında dolayı • f(z) = f(-z)’dir.

48. Normal Dağılım – Binom Dağ. İlişkisi • p değeri sabit kalmak kaydıyla n yeterince büyürse, binom dağılım normal dağılıma benzemeye başalyacaktır. • nq ≥ 20 ve np≥ 20 • Normal dağılımnda; . • Binom dağılımında

49. Normal Dağılım – Binom Dağ. İlişkisi

50. Normal Dağılım • Normal dağılım istatiksel proses kontrolün temelini oluşturur. • Herhangi bir üretim veya hizmet prosesinin normal dağılacağı varsayımı yapılır ve bu varsayım pek çok durumda geçerliliğini korur. • Bir proseste verilerin dağılımı değişkenliğin genel nedenlerine göre ortaya çıkmış ise, bu dağılımın normal dağılıma uyacağı söylenebilir. • Eğer normal dağılmıyorsa değişkenliği etkileyen özel nedenlerin araştırılması gerekir. ( Örn: malzemelerin iki ayrı firmadan gelmesi, ürünlerin farklı makinalarda yapılması, vb.)