Suites de matrices Quelques usages récurrents

1. Suites de matricesQuelques usages récurrents Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil

2. Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites » • « Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».

3. Perspective de la présentation • Une entrée spécifique par la résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste d’exemples phares. • Phénomènes stochastiques : des ressorts communs et des variantes. • Phénomènes discrets : l’outil matriciel dans des situations diverses.

4. Phénomènes stochastiques Phénomènes se ramenant à des Marches aléatoires sur un graphe probabiliste

5. Un exemple contextualisé • Une petite station de ski dispose de 3 remontées mécaniques (1), (2) et (3). • Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire, on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes. • On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3)) • Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.

6. Données numériques • On suppose que la station est configurée de telle sorte qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une probabilité = (Xn+1 = 2) = 0,3 • Plus généralement, on donne = (Xn+1 = j)

7. Arbre de probabilités conditionnelles

8. Graphe probabiliste • La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste. • La somme des poids des arrêtes orientées issues de chaque sommet est égale à 1.

9. Matrice de transition • A partir de l’arbre : • On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le skieur vienne d’emprunter respectivement la remontée (1), (2), (3) à la descente n. • On note y1, y2 et y3 les probabilités pour qu’il enchaîne sur la remontée (1) , (2), (3) à la descente n+1. • On a alors : y1= 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3 • Et les deux autres relations analogues.

10. Matrice de transition • Ces relations se traduisent matriciellement par : Ln+1 = Ln . T où T est la matrice : T = lisible directement sur le tableau :

11. Etat probabiliste après n descentes • Il est alors facile de montrer par récurrence que : Ln= L0 . Tn

12. Calculs de Tn sur logiciel • Sur tableur : Ski T puissance n.xlsx • Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une stabilisation à partir de n=15 sur la matrice :

13. Convergence de Tn • Une condition suffisante pour que Tn converge : On peut démontrer que dans le cas des matrices stochastiques, si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers une matrice stochastique [dont toutes les lignes sont égales entre elles et égales à un état stable de T (état alors unique)].

14. Convergence de Ln • Par passage à la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln) converge vers Linf . • Par passage à la limite Ln+1 = Ln . T , Linf est stable pour T (autrement dit, Linf est un vecteur propre associé à la valeur propre 1). • Valeur exacte de l’état stable, et donc de l’état probabiliste limite : ……………………………………….

15. L’essence de la démarche • Suite de VA Xn dont la relation de récurrence peut-être visualisée sur : • Un arbre de probabilités conditionnelles tel que : (Xn+1 = j) est indépendante de n. • Graphe probabiliste exprimant la transition entre les différents états probabilistes : Ln= (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1) • Matrice de transition T stochastique indépendante de n • Ln+1= Ln. T; Par récurrence : Ln= L0 . Tn • Puis on peut procéder à une étude asymptotique :

16. Etude asymptotique • Cas où Tn converge : • Une condition suffisante : pas de zéro (exige en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle). • Condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière »: il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls. • Etat stable en cas de convergence : cas général

17. Cas où Tnne converge pas • Existence d’un état stable : convergence possible de Ln • Cas des suites extraites convergentes

18. Champs d’application de la démarche Marche aléatoire sur un graphe probabiliste déclinée dans une multitude de contextes : • Marche aléatoire dans labyrinthe

19. Champs d’application de la démarche • Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet : • Sans saut • Avec saut Un+1 = A Un + B

20. Champs d’application de la démarche • Ehrenfest

21. Phénomènes déterministes