Matrices y Determinantes

1. Matrices y Determinantes

2. Matrices CONTENIDO • 1. ¿CÓMO SURGIERON? • 2. ¿EN QUÉ SE APLICAN? • 3. MATRICES • Definición • Orden o Dimensión de una Matriz • Forma general de una matriz • Igualdad de matrices • Clases de matrices • 4. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ • 5. OPERACIONES CON MATRICES

3. El estudio de la teoría de matrices se desarrolló en su mayoría, en el siglo XIX. Sin embargo, las primeras nociones aparecieron alrededor del año 150 d.C.; durante la dinastía Han, los chinos emplearon las matrices en la solución de sistemas de ecuaciones. Igual sucedió con los babilonios en el año 400 d.C. Al contrario de muchos temas que ya hemos estudiado, las matrices no representan ideas matemáticas profundas ni novedosas, sino que básicamente son innovaciones muy útiles en el lenguaje matemático. Es decir, la teoría correspondiente fue estudiada al analizar los sistemas de ecuaciones lineales, y las matricespermitieron expresar esta teoría de manera más compacta. Matrices ¿CÓMO SURGIÓ?

4. La noción de matriz es útil como método simplificado para representar información. Por ejemplo, cuando deseamos informar sobre los mismos aspectos de varios entes, podemos hacerlo en forma simplificada a través de una matriz, es decir podemos organizar los datos en filas y columnas. En una tabla de posiciones de los equipos que participan en el campeonato de futbol, cada fila (datos en forma horizontal) presenta los resultados logrados por cada equipo (partidos jugados, ganados, empatados, perdidos, etc.); cada columna (datos en forma vertical) muestra una misma información referente a todos los equipos (puntos totales). Matrices ¿EN QUÉ SE APLICA?

5. Matrices y Determinantes

6. Las operaciones que uno pueda realizar con la información depende del campo de aplicación en donde se empleen matrices; esos campos pueden ser: economía, teoría de juegos, genética, sociología, estudios sobre flujo de tránsito, modelos de crecimiento de una población, manejo de información secreta, etc. Matrices y Determinantes ¿EN QUÉ SE APLICA?

7. Matrices • Al realizar el inventario en los tres almacenes de una tienda se obtuvo: • Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras • y 5 escáneres. • Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras • y 9 escáneres. • Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras • y 15 escáneres. • ¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda? Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular. La fila indica el almacén y la columna el artículo. En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.

8. Se denomina matriz a un arreglo rectangular ordenado de elementos dispuestos en filas y columnas, que se encierran entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas. Veamos por ejemplo: Matrices DEFINICIÓN FILA C O L U M N A

9. Orden o Dimensión de una Matriz Se llama así a la siguiente representación: m x n (se lee “m por n”), donde m es el número de filas y n el número de columnas. Atiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. ¿Qué elemento es a21? B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23? C tiene 3 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 3 x 3. ¿Qué elemento es c23? Si el número de filas y de columnas es igual  (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden  n. Matrices

10. Matrices Forma general de una matriz Sea A una matriz de m filas y n columnas, es decir A es de orden m x n, luego ésta se representa así: a23 a23 representa al elemento que está en la segunda fila (2) y en la tercera columna (3).

11. Ejemplo Matrices A veces, tenemos que hacer referencia a una entrada específica, para ello existe un "etiquetado" especial. Está basado en filas y columnas.: aij Es la entrada en la fila iy la columna j 5 es la entrada a11 -2es la entrada a21 0es la entrada a31 4es la entrada a12 11es la entrada a22 3es la entrada a32 11 11

12. Igualdad de matrices Dos o más matrices son iguales si y sólo si son del mismo orden, siendo todos sus elementos correspondientes iguales Matrices Para que las matrices  A  y  B  sean iguales, se tiene que cumplir que  a = 7  y  b = 5.

13. Matrices EJERCICIOS • 01. Escribe una matriz 3x1 tal que aij= i2 - j • 02. Escribe una matriz 3x3 tal que aij = 2i - 3j • 03. Escribe una matriz 4x3 tal que • 04. Dadas las matrices: • A = (aij)2x2 / aij = i - 2j • Determina los valores de x e y, si A = B

14. Matrices CLASES DE MATRICES Atendiendo a la forma:

15. Matrices CLASES DE MATRICES Atendiendo a los elementos:

16. Matrices CLASES DE MATRICES Atendiendo a los elementos:

17. Matrices TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ • Se llama traspuesta de A, y se representa por AT, a aquella matriz construida a partir de la matriz A intercambiando sus filas por sus respectivas columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de AT, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. • Así por ejemplo: su transpuesta será:

18. Matrices EJERCICIOS • 05. Determina las transpuestas de las siguientes matrices: • 06. Dada la matriz cuadrada de orden 3 tal que aij = 3i – 2j. Encuentra su transpuesta.

19. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Adición y/o sustracción de matrices • La suma (diferencia) de dos matrices A = (aij), B =(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico • sij= aij± bij • Así por ejemplo: • Halla A + B y A – B dadas las matrices:

20. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Adición y/o sustracción de matrices

21. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Propiedades de la suma de matrices • P1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) • P2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) • P3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) • P4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

22. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Producto de un número por una matriz • El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bijde B se obtiene multiplicando aijpor k, es decir: • bij= k·aij • Así por ejemplo: • Efectúa 3A, si A es:

23. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Producto de un número por una matriz

24. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Propiedades del producto de una matriz por un número • P1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva) • P2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva) • P3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa) • P4. 1·A = A (elemento unidad) • P5. Si A + C = B + C → A = B.

25. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Producto de dos matrices • Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda. El producto es otra matriz que se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.

26. Matrices OPERACIONES CON MATRICES • Producto de dos matrices • Ejemplo: • Calcula A.B, si: • Solución:

27. Matrices OPERACIONES CON MATRICES Propiedades del producto de matrices P1. A·(B·C) = (A·B)·C P2. El producto de matrices en general no es conmutativo. P3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In= In·A= A P4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

28. Matrices EJERCICIOS • 07. Dadas las matrices: • Determina la suma de los elementos de la matriz A + C, si A = B. • 08. Sean las matrices: • Halla las matrices: • i. A + B • ii. 3A – 2B • iii. A + 2B – 3I

29. Matrices TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA Dada la matriz cuadrada A, la traza de dicha matriz se denota así: Traz(A) y se define como la suma de todos los elementos de la diagonal principal. Ejemplo: Calcula Traz(A) si: De acuerdo a lo expuesto en la teoría tenemos: Traz(A) = 2 + 7 + 2 Traz(A) = 11

30. Matrices TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA Propiedades de la traza P1. Traz (A + B) = Traz (A) + Traz (B) P2. Traz (k.A) = k.Traz (A) P3. Traz (A.B) = Traz (B.A)

31. Matrices EJERCICIOS 01. Dada la matriz: Calcula el valor de E = a12 + a212 + a33 02. Calcula el valor de P = 4x + 2y – z, si: 03. Calcula la traza de C, si:

32. Matrices EJERCICIOS 04. Dada la matriz: Determina 2AT 05. Calcula el valor de M = a + b + c, si: A es una matriz triangular superior.

33. Determinantes CONTENIDO • 1. ¿CÓMO SURGIERON? • 2. DEFINICIÓN • 3. CÁLCULO DE DETERMINANTES • Orden 1 • Orden 2 • Orden 3 • 4. CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES • 5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER • 6. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO DETERMINANTES

34. Determinante CÓMO SURGIÓ? La noción de determinante surgió primero en Japón en 1 863, cuando el matemático japonés Takakasu Seki Kôwa (1 642 – 1 708) los utilizó para una construir una resolvente de un sistema de ecuaciones polinómicas. Por la misma época, en Europa Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 646 – 1 716) logró varios resultados acerca de los determinantes y estableció una regla análoga al método que posteriormente desarrolló Gabriel Cramer(1 704 – 1 752). Sin embargo el término determinantelo introdujo Karl F. Gauss solo hasta 1 801 y su famoso método de eliminación apareció en uno de sus trabajos relacionados con la órbita del asteroide Pallas.

35. Determinante CÓMO SURGIÓ? La forma de expresar los determinantes, tal y como la conocemos hoy en día, se la debemos a Cauchy, que hacia 1 812, expresó los términos de los determinantes con doble subíndice. SheldonAxler en su polémico artículo, de 1 995, titulado ¡Abajo los determinantes! los define como el producto de sus valores propios (contando multiplicidades)

36. Determinante DEFINICIÓN El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada, nos proporciona un número real. Su notación es la siguiente: CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinante de una matriz de orden 1 Sea A una matriz de orden uno, es decir su determinante se denota así:

37. Determinante CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinante de una matriz de orden 2 Sea A una matriz de orden dos, su determinante se define como la diferencia del producto de los elementos de la diagonal principal con el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Esto es: Ejemplo

38. Determinante CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinante de una matriz de orden 3 El determinante de orden 3 se obtiene por la llamada regla de SARRUS. Consiste en repetir las dos primeras columnas a continuación de la matriz, sumar los productos de las diagonales principales y restar los productos de las diagonales Secundarias.

39. Determinante CÁLCULO DE DETERMINANTES Ejemplo

40. Determinante PROPIEDADES P1. P2. P3. P4. P5.

41. Determinante CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas : A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3), ……… An(xn; yn). Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, se puede calcular mediante la expresión: Llamada también formula determinante de Gauss

42. Determinante CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES Ejemplo Halla el área del triángulo cuyos vérticesson: (-3; -2), (7; 2), (1; 6) Solución: Hacemos un gráfico aproximado:

43. Determinante CÁLCULO DE ÁREAS CON DETERMINANTES Solución: Elejimos como primer vértice al par ordenado (x1; y1) = (-3; -2) Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti horario serán: (x2; y2) = (7; 2) (x3; y3) = (1; 6) Reemplazando estos valores: :

44. Determinante SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER Esta regla permite resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante determinantes. Resuelve sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Con los coeficientes y términos independientes formamos matrices y calculamos sus determinantes.

45. Determinante SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER El valor de cada incógnita es:

46. Determinante SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - REGLA DE CRAMER Ejemplo Halla el conjunto solución del sistema: Solución: Hallamos el determinante principal del sistema: Hallamos el determinante de cada una de las incógnitas:

47. Determinante PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO DETERMINANTES Ejemplo Determina el año en que murió el notable matemático Johann Carl Friedrich Gauss, si se da como dato que la primera cifra es 1 y que en las tres restantes se cumple: cinco veces la cifra de las unidades, más diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es 35. La cifra de las unidades, menos la cifra de las decenas, más cinco veces la de las centenas, es igual a 40. Además, el doble de la cifra de las centenas, menos la de las unidades, más el doble de la de las decenas, es 21.