1 / 16

“CÁLCULO I”

“CÁLCULO I”. BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. Cálculo de áreas de revolución. Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid. y = f(x). a. b.

acton
Download Presentation

“CÁLCULO I”

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. “CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de áreas de revolución Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  2. y = f(x) a b ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Forma explícita: y = f(x) Alrededor de OX: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  3. y=d y=c Alrededor de OY: Curva: x = g(y) entre y = c ; y = d --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  4. C ds y = f(x) D y2 y1 a b dx A B JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) : Giro alrededor del eje OX Se considera el tronco de cono de revolución ABCD (Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz) ds y Integrando en [a,b]: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  5. JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) : Giro alrededor del eje OY y=d ds D C Se considera el tronco de cono de revolución ABCD dy x y=c A B (Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz) ds x Integrando en [a,b]: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  6. JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) : Q Ds Dy P Cálculo del diferencial de arco “ds” Dx (Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2 (Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dx) 2 = 1 + Dy2 / Dx2 Hacemos Q  P, es decir, Dx  0: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  7. JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) : Q Ds Dy P Cálculo del diferencial de arco “ds” Dx (Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2 (Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dy) 2 = 1 + Dx2 / Dy2 Hacemos Q  P, es decir, Dy  0: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  8. EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OX, de la parábola: y2=4x entre x = 0, x=2 Solución: Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva:   --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  9. EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y3 entre y = 0, y=1 Solución:   --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  10. Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS: Alrededor del eje OX: Alrededor del eje OY: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  11. Ejemplo Calcular el área engendrada por la revolución alrededor del eje OX de la astroide: a Solución: -a a Pasamos a paramétricas: -a Nuevos límites de integración: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  12. --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  13. 2.p-1=4  p = 5/2 2.q-1=1  q = 1 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  14. A) Si y = a.Ch(x/a)  y’ = Sh(x/a) EJEMPLO: A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX, del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0 B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco alrededor de OY Solución: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  15. Como Ch2(x) - Sh2(x) = 1  1+Sh2(x) = Ch2(x): de donde se obtiene: Pues: Operando: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

  16. B) u=x  du = dx Ch(x/a)dx=dv  v = a.Sh(x/a) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

More Related