情報システム基盤学基礎 1 アルゴリズムとデータ構造

情報システム基盤学 基礎1アルゴリズムとデータ構造 Elements of Information Systems Fundamentals1 アルゴリズムとデータ構造　第3回前半部

目次: • 基本的なデータ構造 • 線形リスト • スタック • キュー • ハッシュテーブル初歩的過ぎる　ので　教科書を自分で読むこと．（平均的な効率の解析は難しい  ＭＩＴ本を見よ）．

線形リスト 直観データを一列に並べて覚えたものデータを一列に並べたもの（データを線形順序に並べたもの） head 線形リストの例各要素： 9 4 1 16 16 前の要素へのポインタ次の要素へのポインタ 1つの要素はprev，key，nextの組 prev next key prev next 次／前の要素がなければNULL key NULL：データ

様々な線形リスト 1. 単一方向の線形リスト head 2. 双方向の線形リスト head 9 1 9 9 9 4 4 4 16 1 1 1 3. ソートされた双方向の線形リスト 16 16 16 4 head 4. ソートされてない双方向の線形リスト head

線形リストに対する命令 探索（search）与えられた値kをもつ要素を返す挿入（insert）与えられた値kをもつ要素を線形リストの先頭へ挿入する削除（delete）与えられた値kをもつ要素を削除する

探索値kが与えられたとき, 値 kをもつ要素返す 1. 値kをもつ要素を見つける先頭から順々に調べていく（線形探索） 2. 見つけた要素を返す, なかったらNULLを返す例下記のリストに対して 9 4 4 1 16 値 4 が与えられたならば, 答えとしてを返す head 線形探索

探索の擬似コード ポインタ = 要素の名前と解釈すればプログラミングしやすいかもしれません head: 線形リストの先頭要素 x: 線形リスト上の1要素を表現 9 4 1 16 key[x]: 要素 x がもつ値計算時間： next[x]: 要素 x の次の要素 O(n) 時間 prev[x]: 要素 x の前の要素 head

挿入要素 xが与えられたとき, xを線形リストの先頭に加える例下記のリストに対して値 25 をもつ要素が与えられたとすると head 9 9 25 4 4 1 1 16 16 挿入 head

挿入の擬似コード x head head: 線形リストの先頭要素 x: 線形リスト上の1要素を表す key[x]: 要素 x がもつ値 next[x]: 要素 x の次の要素計算時間： prev[x]: 要素 x の前の要素 O(1) 時間

削除要素 xが与えられたとき, xを削除例下記のリストに対して値 4 をもつ要素が与えられたとすると head 9 9 25 4 25 1 1 16 16 削除 head

削除の擬似コード x head head: 線形リストの先頭要素 x: 線形リスト上の1要素を表す key[x]: 要素 x がもつ値 next[x]: 要素 x の次の要素計算時間： prev[x]: 要素 x の前の要素 O(1) 時間

目次: 今日やること • 基本的なデータ構造 • 線形リスト • スタック • キュー • ハッシュテーブル • 課題

スタック（Stack） もっとも基本的なデータ構造のひとつ木の探索を表現（深さ優先探索） Last-in first-out（LIFO）

スタックを例えると 出入口が1つだけの満員電車電車の中へ出入口 A B C D 電車（だと思ってください）

スタックを例えると 最後に入った人が最初に出る仕組み出入口が1つだけの満員電車電車の外へ出入口 A B C D 電車（だと思ってください）

13 8 8 10 10 10 スタックのイメージデータの流れ縦長の箱に, データを一列に入れていく注意：データの出入口は1つだけ 5 12 30 提供されている命令スタックプッシュ（push）: データの追加ポップ（pop）: データの削除例 8 10 10 10を追加 8を追加 13を追加削除削除

プッシュ命令 与えられた要素 xをスタックの先頭に追加要素が1つだけ増える 125 5 5 値125 をもつ要素をプッシュ 12 12 30 30 スタックスタック

プッシュ命令の擬似コード ※線形リストでスタックが実装されていたと仮定 x 125 top top 125 5 5 12 12 30 30 線形リストの挿入と同じスタックスタック

ポップ命令 スタックの先頭の要素を削除 ※要素を選んだりはしない要素が1つだけ減る 5 ポップ 12 12 30 30 スタックスタック

ポップ命令の擬似コード ※線形リストでスタックが実装されていたと仮定 top top 5 ポップ 12 12 30 30 スタックスタック

スタックと木の探索の関連 次の操作をやってみる深さ優先探索で, 1. 頂点vへ初めて訪れたとき, vをプッシュ 2. 頂点 vを最後に訪れるときポップ 7 1 1 Start End 6 5 4 2 4 3 6 5 3 2 7

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根 e f h i g j 親と子葉と内点祖先と子孫 m k l 頂点 x を根とする部分木深さ n 木（根つき木）の例

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根 e 親と子 f h i g j 隣接する2頂点のうち,　・根に近い方 → 親　・根から遠い方 → 子 m k l n 木（根つき木）の例

キュー（Queue） もっとも基本的なデータ構造のひとつ待ち行列を表現 First-in first-out（FIFO）レジ待っている人の列

キューのイメージ 入口出口横長の箱にデータを出し入れ ※データの入口と出口の2つがあるデータの流れ提供されている命令エンキュー（enqueue）: データの追加デキュー（dequeue）: データの削除 3 20 20 23 20 23 3 3 20 23 3 23 20をエンキュー 23をエンキュー 3をエンキューデキューデキュー

エンキュー（Enqueue） 与えられた要素 xをキューの最後尾に追加 tail head 14 5 20 値34をもつ要素をエンキュー tail head 14 5 20 34

エンキューの擬似コード ※線形リストでスタックが実装されていたと仮定 tail head x 34 14 5 20 x: 挿入する要素値34をもつ要素をエンキュー tail head 14 5 20 34

デキュー（Dequeue） キューの先頭の要素を削除 tail head 14 5 20 34 デキュー tail head 20 34 14 5

デキューの擬似コード ※線形リストでスタックが実装されていたと仮定 tail head 14 5 20 34 デキュー tail head 20 34 14 5

ハッシュテーブル　(Hash Table) ハッシュテーブルもっとも基本的なデータ構造のひとつ 0 欲しいデータを素早く検索 1 比較的、省スペースで実現できる（検索スピードとスペースはトレードオフ） 2 3 4 12 2 正の整数の集合 4 6 3 1 0 10 8 5 12 9 7 2 9 4 11 8

ハッシュの概要　1/2 やりたいこと：集合の一部を保存したい線形リストを利用すれば実現可能正の整数の集合挿入： O(1) 時間削除: O(1) 時間探索: O(n) 時間スペース: 保存する整数分だけ 6 3 1 0 10 5 9 7 2 もう少しスペースを使ってもいいから、効率よく探索を行いたいなぁ・・・ 8 4 11 12 保存する整数の集合は可変なので、挿入・削除も効率よくやりたいな・・・（緑部分は可変）ハッシュ

ハッシュの概要　2/2 ハッシュテーブルと呼ぶテーブル（配列だと思えば良い）基本方針: テーブルに要素を保存する 0 ハッシュ値と呼ぶハッシュ関数と呼ぶ 1 12 正の整数の集合 2 2 関数 h 3 6 3 h(k) k 1 0 10 4 4 5 9 7 2 8 4 11 12 任意に取り出してきたk について考えます 8 9 気になることハッシュ関数の決め方 k h(k) ハッシュ値が等しいとき（衝突）はどうする？

ハッシュ関数 様々なハッシュ関数が知られている良いハッシュ関数テーブル上に整数を一様にばらまく（一様ハッシュ関数）計算が簡単今回は、除算法（division method）を用いる除算法では以下のハッシュ関数を使用 h(k) = k mod p k: 保存したい整数 p: 自分で決める値（素数がよい）テーブルサイズはp – 1 とする

ハッシュテーブルの例 ハッシュテーブル 0 190 下記の整数をハッシュテーブルで保存する 1 77 2 {3, 5, 77, 109, 190, 245, 832, 852, 9924, 10346} 3 3 4 ハッシュ関数は下記のように定義 5 5 6 9924 h(k) = k mod 19 7 8 このとき, 各整数のハッシュ値は次の通り 9 10 10346 p =19 としてます h(3) = 3, h(5) = 5, h(77) = 1, h(109) = 14, h(190) = 0, h(245) = 17, h(832) = 15, h(852) = 16, h(9924) = 6, h(10346) = 10 11 12 13 14 109 15 832 ここで, もし, 整数 25 を挿入したいとしたら・・・ 16 852 h(25) = 6となり, すでに 9924 が格納されている 245 17 18 （これを衝突と呼ぶ）　　　　ど、どうしよう。。。

衝突回避その1: チェイン法（Chaning） ハッシュテーブル 0 190 1 77 2 リストを使って衝突を回避 3 3 各スロットに複数の要素を対応させる 4 5 5 456 25 44 6 9924 7 各スロットについて線形リストを保持する 8 9 10 10346 例 11 h(25) = 6: スロット6で衝突→ スロット6のリストへ追加 12 13 h(456) = 0: スロット0で衝突→ スロット0のリストへ追加 14 109 h(44) = 6: スロット6で衝突→ スロット6のリストへ追加 15 832 16 852 245 17 デメリット：使用していないスペースがまだあるのに, 他のスペースを使ってしまう 18

衝突回避その2:線形探査（Linear Probing） ハッシュテーブル 0 190 1 77 線形探査の流れ 2 1. スロット i で衝突が発生 3 3 2. スロット i + 1 をチェック 4 5 5 3. スロット i + 1 が空きならば, そこへ整数を保存、終了 6 9924 91 25 4. そうでないならば, iをインクリメントして 1. へ戻る 7 25 例 8 9 10 10346 11 h(25) = 6: スロット6で衝突→ スロット7へ 12 スロット7が空きなので、そこへ追加 13 14 109 h(91) = 15: スロット15で衝突→ スロット16へ 15 832 スロット16で衝突 → スロット17へ 16 852 スロット17で衝突 → スロット18へ 245 17 デメリット：クラスタができてしまい、　　　　　　　追加・探索が極端に遅くなるかもしれないスロット18が空きなので、そこへ追加 18 91

Note: 本スライドは山中克久　助教（当時）が 2010年度に作成したものを，今回，大森が改訂したものです．　　 2013．4.25．記

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