第七章图（ Graphs)

第七章图（Graphs) • 图的基本概念 • 图的存储表示 • 图的遍历 • 最小生成树 • 活动网络 • 最短路径

v1 v2 v3 v4 v5 图例结点边: (v2, v5) • 图的构成： • 结点集：V={v1,v2,v3,v4,v5}, • 边集： • E={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v4),(v3,v5)}

v1 v2 v3 v4 图例有向边<v3, v4> V3：始点， v4: 终点 • 图的构成： • 结点集：V={v1,v2,v3,v4}, • 有向边集：E={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>}

v1 v2 v1 v2 v3 v3 v4 v4 v5 图的概念图是由顶点(vertex)集合及顶点间的关系集合组成的一种数据结构： Graph＝( V, E ) 其中 V = { x | x 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； E = {<x, y> | x, y V } 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边(edge)的集合。

v1 v2 v1 v2 v3 v3 v4 v4 v5 • 有向图G1 V1={v1,v2,v3,v4}, E1={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>} • 无向图G2 V2={v1,v2,v3,v4,v5}, E2={<v1,v2>,<v1,v4>,<v2,v3>,<v2,v5>,<v3,v4>,<v3,v5>, <v2,v1>,<v4,v1>,<v3,v2>,<v5,v2>,<v4,v3>,<v5,v3>} 或者 E2={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v4),(v3,v5)} (a) G1=(V1,E1) (b) G2 = (V2, E2)

v1 v2 v3 v4 图的术语 v1的出度 OD(v4) = 1 v3邻接到v4 v4的入度 ID(v4)=1 性质: 入度之和 = 出度之和 = 边数结点的度数: TD(v) = ID(v)+OD(v)

v1 v2 v3 v4 v5 v1和v4互为邻接点 v4的度数为2 TD(v4)=2 度数之和 = 边数的二倍（因为每个边“贡献”了两个度数）

子图设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若 V’ V 且 E’E, 则称图G’ 是图G 的子图。 • 权某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带权图叫做网络。 • 完全图若有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 则此图为完全无向图。有 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 则此图为完全有向图。

v1 v2 v3 v4 路径: (1) <v1, v3>, <v3, v4> (简单路径) (2) <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1> (环) (3) <v3, v4>

路径:在图 G＝(V, E) 中, 若存在边的序列 (vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。 • 路径长度 • 非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。 • 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和

简单路径若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 连通图与连通分量在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。 • 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连通图。 • 非连通图的极大连通子图叫做连通分量。

v1 v2 v3 v1 v2 v4 v5 v3 v4 v5 生成树 • 强连通图在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。 • 生成树一个连通图的生成树是它的极小连通子图，在n个顶点的情形下，有n-1条边。

图的存储结构 存储原则: 存储结点集和边集的信息. （1）存储结点集；（2）存储边集：存储每两个结点是否有关系。邻接矩阵

图的存储结构 有向图的邻接矩阵

带权图的邻接矩阵

邻接矩阵表示法 在图的邻接矩阵表示中: • 有一个记录各个顶点信息的顶点表， • 还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。 #define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点个数 typedef struct { VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]； //顶点向量 int arcs [MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM] ； //邻接矩阵 int vexnum，arcnum； //图的当前顶点数和弧数 }MGraph;

容易计算结点的度数; • 容易判定两个结点间是否有边相连; • 容易判定结点之间是否有路径相连(计算Am); • 对于有向图，需要n个单元存储结点数据， n*n个单元存储邻接矩阵； • 无向图的邻接矩阵是对称的, 可以压缩存储; • 存储量与结点数有关, 与边数无关; 若边数<<n2, 则邻接矩阵是稀疏矩阵;

邻接表 每个结点拉出一个邻接边链表 (以此结点为始点的所有邻接点) 所有结点存储与一个表中

以A为始点的边链 以A为终点的边链

邻接表

图的邻接表存储表示 #define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode{//单链表结点结构 int adjvex；//该弧所指向的顶点的位置 struct ArcNode *nextarc；//指向下一条弧的指针 InfoType *info； //该弧相关信息的指针 }ArcNode； typedef struct VNode {//顶点结构 VertexType data；//顶点信息 ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的弧的指针 }VNode，AdjList[MAX_VERTEX_NUM]

Typedef struct { //邻接表结构 AdjList vertices； int vexnum，arcnum；//图的当前顶点数和弧数 }ALGraph；

邻接表的特点 • 顶点vi的度恰为第i个链表中的结点数； • 在有向图中，第i个链表(出边表)中的结点个数是顶点的出度; • 求入度必须遍历整个邻接表: 在所有链表中其邻接点域的值为i的结点的个数是顶点vi的入度。 • 为了求入度的便利, 可以建立逆邻接表, 即链表为入边表;

设图中有 n 个顶点，e 条边，则用邻接表表示无向图时，需要 n 个顶点结点，2e 个边结点；用邻接表表示有向图时，若不考虑逆邻接表，只需 n 个顶点结点，e 个边结点。

邻接表 (B,D)边出现在D的边链表中 (B,D)边出现在B的边链表中如果以边为处理对象, 如删除一个边, 则需扫描每个结点的边表, 找到同一条边.

邻接多重表 • 将邻接表中代表同一个边的结点合并; 边表合并为多重表; • 在邻接多重表中，每一条边只有一个边结点, 为有关边的处理提供了方便。

边结点结构： mark ivex jverx ilink jlink mark:记录是否处理过的标记; ivex, jvex: 该边的两顶点位置; ilink:指向下一条依附于顶点ivex的边； jlink:指向下一条依附于顶点jvex的边。

mark ivex jverx ilink jlink typedef emnu {unvisited，visited} Visited； typedef struct EBox{ Visited mark； //访问标记 int ivex，jvex；//该边依附的两个顶点的位置 struct EBox *ilink，*jlink；//分别指向依附这两个顶点的下一条边 InfoType *info； //该边信息指针 }EBox；

顶点结点的结构： data: 存放与该顶点相关的信息， firstedge: 指示第一条依附于该顶点的边的指针 data firstedge typedef struct VexBox{ VertexType data； EBox *firstedge //指向第一条依附该顶点的边 }VexBox；

typedef struct { VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]； int vexnum，edgenum； //无向图的当前顶点数和边数 } AMLGraph;

图的抽象数据类型 ADT Graph{ 数据对象V： V是具有相同特性的数据元素的顶点集。数据关系R： R={VR} VR={<v，w> | v，w∈V且P(v，w) ，谓词 P(v，w) 定义了弧<v，w>的意义或信息 }

基本操作P： CreateGraph(&G，V，VR)；初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。操作结果：按V和VR的定义构造图G。 DestroyGraph(&G)；初始条件：图G存在。操作结果：销毁图G。 FirstAdjVex(G，v)；初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。操作结果：返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接顶点，则返回“空”。

NextAdjVex(G，v，w)； 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点， w是v的邻接顶点。操作结果：返回v的(排在w之后的)下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“空”。 InsertVex(&G，v)；初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。操作结果：在图G中增添新顶点v。 DeleteVex(&G，v)；初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。操作结果：删除G中顶点v及其相关的弧。

InsertArc(&G，v，w)； 初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。操作结果：在G中增添弧<v，w>，若G是无向的则还增添对称弧<w，v>。 DeleteArc(&G，v，w)；初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。操作结果：在G中删除弧<v，w>，若G是无向的则还删除对称弧<w，v>。

DFSTraverse (G，v，Visit())； 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点， Visit是顶点的应用函数。操作结果：从顶点v起深度优先遍历图G，并对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。 BFSTraverse (G，v，Visit())；初始条件：图G存在，v是G中某个顶点， Visit是顶点的应用函数。操作结果：从顶点v起广度优先遍历图G，并对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。 }ADT Graph

v0 v1 v3 v2 v4 v5 6 5 1 5 5 6 4 2 3 6 习题 • 试分别在邻接矩阵和邻接表表示的图上实现运算FirstAdjVex(G，v)和NextAdjVex(G，v，w)； • 试根据邻接矩阵建立图的邻接表表示。 • 画出下图的邻接表表示：

v1 v3 v2 v4 v5 v6 v7 v8 图的遍历图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。深度优先从v开始遍历： 1）访问v,访问v的邻接点w1,访问w1的邻接点w2, …,直至wm的邻接点全被访问过； 2）退回最近一个有未访问邻接点的wk, 重复1）直至所有与v连通的结点均被访问过。

v1 v3 v2 v4 v5 v6 v7 v8 图的深度优先遍历深度优先从v1开始遍历：

为了避免重复访问，设置一个标志顶点是否被访问过的辅助数组 visited [ ]： • 它的初始状态为 0； • 若顶点 i被访问，则置 visited [i] 为 1，防止它被多次访问。深度优先从v开始遍历： 1）访问v； 2）依次深度优先从v的未被访问的邻接点遍历，直至所有与v连通的结点均被访问过。

void DFSTraverse(Graph G，Status(*Visit)(int v)){ //对图G作深度优先遍历。 VisitFunc=Visit; //使用全局变量VisitFunc，使DFS不必设函数指针参数 for(v=0；v<G.vexnum；++v) visited[v]=FALSE; //访问标志数组初始化 for(v=0；v<G.vexnum； ++v) if( !visited[v] ) DFS(G，v)； //对尚未访问的顶点调用DFS }

void DFS (Graph G，int v){ //从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G。 visited[v]=TRUE； VisitFunc(v)； //访问第v个顶点 for(w =FirstAdjVex(G, v); w>=0; w =NextAdjVex(G, v, w)) if(!visited[w]) DFS(G，w)； //对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS }

算法分析 void DFS (Graph G，int v){ //从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G。 visited[v]=TRUE； VisitFunc(v)； //访问第v个顶点 for(w =FirstAdjVex(G, v); w>=0; w =NextAdjVex(G, v, w)) if(!visited[w]) DFS(G，w)； //对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS } 每个结点一次循环工作量：寻找结点v的邻接点每个结点最多调用一次

时间复杂度： • 访问每个结点的时间：O(n); • 寻找每个结点的所有邻接结点工作量; • 设图中有 n 个顶点，e 条边。 • 如果用邻接表表示图，沿Firstedge  link 链可以找到某个顶点 v 的所有邻接顶点 w。 • 无向图有 2e 个边结点，有向图有e个边，所以扫描边的时间为O(e); 时间复杂度为O(n)+O(e)=O(n+e); • 如果用邻接矩阵表示图，则查找每一个顶点的所有的边，所需时间为O(n)，则遍历图中所有的顶点所需的时间为O(n)+O(n2 ) = O(n2).

v1 v3 v2 v4 v5 v6 v7 v8 广度优先遍历基本思想 • 访问v1; • 访问v1的邻接点w1,w2,…,wm; • 依次访问w1, w2, …的未被访问的邻接点， • 如此进行下去，直至访问完所有结点。 • 算法的实现需要 • 设置一个数组visited[]标记结点是否访问过； • 设置一个队列纪录当前层访问的结点以备访问下一层结点。

基本思想 • 访问v1; • 访问v1的邻接点w1,w2,…,wm; • 依次访问w1, w2, …的未被访问的邻接点， • 如此进行下去，直至访问完所有结点。 • 取一个结点未访问结点v, 访问v，标记，入队； • （访问 v的所有邻接点）：取队头元素，每次取v的下一个未访问的邻接点访问，标记并入队； • 重复2, 直至队列空； • 如果图中仍然有未访问的结点，重复1，直至所有结点均已标记为访问过。

void BFSTraverse(Graph G，Status(*Visit)(int v)){ //按广度优先非递归遍历图G。 //使用辅助队列Q和访问标志数组visited。 for(v=0；v<G.vexnum；++v) visited[v]=FALSE； InitQueue(Q)； //置空的辅助队列Q

for(v=0； v<G.vexnum； ++v) if(!visited[v] ) { //v尚未访问 visited[v]=TRUE；visit(v)； EnQueue(Q，v)； //v入队列 while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q，u) //队头元素出队并置为u for(w=FirstAdjVex(G,u); w; w=NextAdjVex(G, u, w)) if(!Visited[w]) { //w为u的尚未访问的邻接顶点 visited[w]=TRUE; Visit(w); EnQueue(Q,w); }//if }//while }//if }//BFSTraverse 复杂度与深度优先相同

v1 v3 v2 v4 V1 v5 v6 v7 V1 V2 V3 V2 V3 v8 V4 V6 V4 V5 V6 V7 V8 V7 V8 V5 图的连通性 • 对于连通的无向图，从一个结点出发可以访问所有结点；结点与遍历时通过的边构成图的生成树；深度优先生成树广度优先生成树

A D G L F C A B E K I M C D E F J B G H H I K J L M • 对于不连通的无向图，则需从多个顶点出发访问；结点与遍历时经过的边构成生成树林。 voidDFSTraverse(Graph G，Status(*visit)(int v)) { visitFunc=Visit; for(v=0；v<G.vexnum；++v) visited[v]=FALSE; for(v=0；v<G.vexnum； ++v) if( !visited[v] ) DFS(G，v)； } 每次循环生成一棵树 void DFS (Graph G，int v){ visited[v]=TRUE；VisitFunc(v)； for(w =FirstAdjVex(G,v); w>=0; w =NextAdjVex(G, v, w)) if(!visited[w]) DFS(G，w)； } 深度优先生成森林

T q p void DFSForest (Graph G，CSTree &T){ //建立无向图G的深度优先生成森林的孩子兄弟链表T。 T=NULL； for( v=0； v<G.vexnum； ++v) visited[v]=FALSE； for( v=0；v<G.vexnum； ++v) if ( !visited[v]){ //第v顶点为新的生成树的根结点 p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode)) //分配根结点 *p={GetVex(G，v)，NULL，NULL}；//给该结点赋值 if(!T) T = p； //是第一棵生成树的根 else q->nextsibling = p ; //是其它生成树的根(前一棵的根的“兄弟”) q = p; //q指示当前生成树的根 DFSTree(G,v,p); //建立以p为根的生成树 } }//DFSForest

第七章图（ Graphs)