7. El TDA Diccionario

1. 7.El TDA Diccionario

2. ¿Qué es un Diccionario ? • Dado un conjunto de elementos {X1, X2, ..., XN}, todos distintos entre sí, se desea almacenarlos en una estructura de datos que permita la implementación eficiente de las operaciones: • búsqueda(X): dado un elemento X, conocido como llave de búsqueda, encontrarlo dentro del conjunto o decir que no está. • inserción(X): agregar un nuevo elemento X al conjunto. • eliminación(X): eliminar el elemento X del conjunto. • Estas operaciones describen al TDA diccionario. En el presente capítulo se verán distintas implementaciones de este TDA y se estudiarán las consideraciones de eficiencia de cada una de dichas implementaciones.

3. interface Diccionario { publicObject buscar(Comparable x); publicboolean cambiar(Comparable x,Object y); publicboolean agregar(Comparable x,Object y); publicboolean borrar(Comparable x); }

4. Implementaciones sencillas • Una lista enlazada, con la inserción de nuevos elementos al comienzo. • búsqueda: O(n) (búsqueda secuencial). • inserción: O(1) (insertando siempre al comienzo de la lista). • eliminación: O(n) (búsqueda + O(1)). • Arreglo ordenado: inserción y eliminación ineficientes ("correr" los elementos) • Sin embargo, la ventaja que tiene mantener el orden es que es posible realizar una búsqueda binaria para encontrar el elemento buscado.

5. Programacion de la Búsqueda binaria Invariante Inicialmente: i = 0 y j = n-1. En cada iteración: Si el conjunto es vacío (j-i < 0), o sea si j < i, entonces el elemento x no está en el conjunto (búsqueda infructuosa). En caso contrario, m = (i+j)/2. Si x = a[m], el elemento fue encontrado (búsqueda exitosa). Si x < a[m] se modifica j = m-1, sino se modifica i = m+1 y se sigue iterando.

6. Programacion de la Búsqueda binaria publicintbusquedaBinaria(int []a, int x) { int i=0, j=a.length-1; while (i<=j) { int m=(i+j)/2; if (x==a[m]) return m; elseif (x<a[m]) j=m-1; else i=m+1; } return NO_ENCONTRADO; // NO_ENCONTRADO se define como -1 }

7. Eficiencia de la Búsqueda binaria • Todo algoritmo de búsqueda basado en comparaciones corresponde a algún árbol de decisión. • Cada nodo de dicho árbol corresponde al conjunto de elementos candidatos en donde se encuentra el elemento buscado. • Los arcos del árbol corresponden a los resultados de las comparaciones, (mayor que o menor que) • Es decir, es un árbol de decisión binario. • El número de comparaciones realizadas por el algoritmo de búsqueda es igual a la altura del árbol de decisión (profundidad de la hoja más profunda).

8. Eficiencia de la Búsqueda binaria Lema: sea D un árbol binario de altura h. D tiene a lo más 2h hojas. Demostración: por inducción. Lema: un árbol binario con H hojas debe tener una profundidad de al menos Demostración: directo del lema anterior. Si n es el número de nodos de elementos del conjunto, el número de respuestas posibles (hojas del árbol de decisión) es de n+1, el lema anterior implica que el costo en el peor caso es mayor o igual que el logaritmo del número de respuestas posibles. Corolario: cualquier algoritmo de búsqueda mediante comparaciones se demora al menos preguntas en el peor caso. Por lo tanto, la búsqueda binaria es óptima.

9. Métodos auto-organizantes • Idea: cada vez que se accede a un elemento Xk se modifica la lista para que los accesos futuros a Xk sean más eficientes. Algunas políticas de modificación de la lista son: • TR (transpose): se intercambia de posición Xk con Xk-1 (siempre que k>1). • MTF (move-to-front): se mueve el elemento Xk al principio de la lista. • Se puede demostrar que Costooptimo<=CostoTR<=CostoMTF<=2Costooptimo.

10. ¿Arbol Binario de Búsqueda o • Arbol de Búsqueda Binaria(ABB)? • Estructura de datos (recursiva) queestá vacía , o contiene un nodo raíz con un valor y referencias a dos ABBs (izquierdo y derecho) • los valores contenidos en el subárbol izquierdo son menores que el valor en la raíz • los valores contenidos en el subárbol derecho son mayores que el valor en la raíz

22. Árboles AVL(Adelson-Velskii & Landis, 1962) En árboles de búsquedabinaria la complejidad de lasoperacionesencontrar, insertar y eliminar son en el peorcaso: (n). Puedemejorarse! Idea: árbolesbalanceados. Definición: Un árboles un árbol de búsquedabinario en el cualparacada sub-árbolT ' = < L, x, R > se cumpleque| h(L) - h(R) |  1 El factor de balance esfrecuentementeincluidocomoinformación en cadanodo.

23. |h(I) – h(D)| < = 1 Este es un árbol AVL

24. Este no es un árbol AVL (el nodo con un * no cumple la condición requerida)

25. Objetivos 1. Cómopuedenmantenerselascaracterísticas de un árbol AVL (invariante de la estructura de datos) cuando se insertan y eliminannodos? 2. Veremosqueparaárboles AVL la complejidad de lasoperacioneses en el peorcaso = O(altura del árbol AVL) y queestoes = O(log n)

26. Preservación del invariante de un AVL • Despues de insertar y eliminarnodos de un parboldebemosprocurarque el árbolresultantesigamanteniendolascarácterísticas de un árbol AVL. • Porejemplo: siponemos el 1, 2 y 3 en eseórden, al insertar 3 se desbalancea • Al insertar 5,4,7,6 y 9 y luegoeliminar 4 se desbalancea • Solución ? Re-balancing: rotacionessimple y doble

27. Existensólo 2 casos (y susespejos) • Casodesbalanceoporinserción • El nuevoelementoesinsertado en el subárbolderecho (izquierda) del hijoderecho, quienya era más alto que el subárbolizquierdopor un nivel. • El nuevoelementoesinsertado en el sub-arbolizquierdo(derecho) del hijoderecho(izquierdo) el cualya era mayor que el subárbolizquierdo(derecho) en 1

28. Rotacion simple (para el caso en que el subárbol derecho crece demasiado cuando se le hace una inserción en su subárbol derecho) Es transformado en

29. Rotacióndoble (para el caso en que el subárbolderechocrezcademasiadocuando se le haceunainserción en susubárbolizquierdo) Rotacion doble Es transformado en

30. b Primera rotación a c W x y Z nuevo nuevo a Segunda rotación b W c x neu nuevo y Z

31. Re-balanceo después de la inserción: Deapues de unainserción el árbolpuedeaúnestarbalanceado o : teorema: después de unainserción solo se necesitaunarotación simple o doble en el primer nododesbalanceado * pararestablecerlaspropiedades de balance de un árbol AVL. (* : on the way from the inserted node to the root). Razón: despues de la rotación el árbolvuelve a sualtura original !

32. El mismoanálisisparaborrarnodos • Solo 2 casos (y susespejos) • El elementoborrado reduce la altura del subárbolderecho (izquierdo) queya era máschico en 1 que el izquierdo (derecho) • El elementoborrado reduce la altura del izquierdo (derecho) dejando el subárbolizquierdo del derecho (derecho del izquierdo) con unaaltura mayor en 2

33. Gráficamente Nodo borrado 1 1 1 Las situaciones son las mismas que para la insersión

34. Re-balanceo despues de borrado Despues de borrar un nodo el árbolpuedeaúnestarbalanceado o habráque re-balancearlo: Teorema: despues de borrar un nodod en un arbol AVL laspropiedades de balanceo del sub-árbolquetienesuraízcomo primer* nodoque se desbalancea se pouedenrestituir con unarotación simple o doble. (* : on the way from the deleted note to the root). Sin embargo: la altura del sub-arbolresultantepuedehaberseacortado en 1, esosignificaque se puedehaberintroducido un desbalancepor lo quepodría ser necesario (recursivamente) hacerrotacioneshastallegareventualmente a la raíz

35. About Implementation • While searching for unbalanced sub-tree after an operation it is only necessary to check the parent´s sub-tree only when the son´s sub-tree has changed it height. • In order make the checking for unbalanced sub-trees more efficient, it is recommended to put some more information on the nodes, for example: the height of the sub-tree or the balance factor (height(left sub-tree) – height(right sub-tree)) This information must be updated after each operation • It might be convenient to have an operation that returns the parent of a certain node (for example, by adding a pointer to the parent).

36. Complexity analysis– worst case Sea h la altura de un arbol AVL. Búsqueda: como en un árbol de búsquedabinariaO(h). Insert: como en un árbol de búsquedabinaria (O(h)) mas el costo de unarotación simple o doble (solo una!), queesconstante : o sea O(h). delete: como en un árbol de búsquedabinaria (O(h)) más el costo (posible) de unarotación en cadanododesde el nodoeliminadohasta la raíz, quees a lo másórden de la altura del árbol: O(h). Todaslasoperaciones son O(h). ¿Perocuantoes h ?

37. Calculando altura de un árbol AVL Sea N(h) el numoero mínimo de nodos para un árbol AVL de altura h (h altura máxima para n) In an AVL-tree having height h. N(0)=1, N(1)=2, N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2) for h  2. N(3)=4, N(4)=7 Se parece a los números de Fibonacci fibo(0)=0, fibo(1)=1, fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2) fib(3)=1, fib(4)=2, fib(5)=3, fib(6)=5, fib(7)=8 Calculando podemos decir que: N(h) = fibo(h+3) - 1 Principio de construccion 0 1 3 2

38. Sea n el numero de nodos de un árbol AVL de altura h. Entonces se cuplequen  N(h) , pues N(h) es el númeromínimo Recordemosquefibo(n) =(1 /sqrt(5)) (Ф1n - Ф2n) con Ф1= (1+ sqrt(5))/2 ≈ 1.618 Ф2= (1- sqrt(5))/2 ≈ 0.618 Podemosentoncesescribir nfibo(h+3)-1 = (Ф1 h+3 – Ф2h+3 ) / sqrt(5) – 1 n  (Ф1h+3/sqrt(5)) – 3/2, Por lo tanto, aplicando log a ambos lados h+3+log Ф1(1/sqrt(5))  log Ф1(n+3/2), Por lo tanto, hay unaconstante c para la cual h log Ф1(n) + c = log Ф1(2) • log2(n) + c = 1.44… • log2(n) + c = O(log n).

39. Arboles B (búsqueda externa) • Los algoritmosvistos hasta ahorafuncionanbiencuandotodos los datosestan en memoria RAM, la vuales (más) rápida • Grandesconjuntos de datosestánguardadosnormalmente en memoriasecundaria (hard disk) de acceso (más) lento (de 100-1000 vecesmáslento) Acceso: siempre a un bloquecompleto (page) de datos (4096 bytes), queesguardado en RAM (caché) Poreficiencia: mantener el número de accesos a laspáginasbajo! Un nodo = unapágina

40. Preámbulo: Arboles 2-3 • Los nodos internos pueden contener hasta 2 elementos • por lo tanto un nodo interno puede tener 2 o 3 hijos, dependiendo de cuántos elementos posea el nodo.

41. Propiedad • todas las hojas están a la misma profundidad, es decir, los árboles 2-3 son árboles perfectamente balanceados • La altura está acotada por

42. Inserción • se realiza una búsqueda infructuosa y se inserta dicho elemento en el último nodo visitado durante la búsqueda, • implica manejar dos casos distintos:

43. Ejemplos

44. Eliminación • Físicamente se debe eliminar un nodo del último nivel • Si el elemento a borrar está en un nodo interno el valor se reemplaza por el inmediatamente anterior/posterior • Estos necesariamenteestán en último nivel

45. Caso simple • El nodo donde se encuentra Z contiene dos elementos. En este caso se elimina Z y el nodo queda con un solo elemento.

46. Caso complejo 1 • El nodo donde se encuentra Z contiene un solo elemento. En este caso al eliminar el elemento Z el nodo queda sin elementos (underflow). Si el nodo hermano posee dos elementos, se le quita uno y se inserta en el nodo con underflow.

47. Caso complejo 2 • Si el nodo hermano contiene solo una llave, se le quita un elemento al padre y se inserta en el nodo con underflow. • Si esta operación produce underflow en el nodo padre, se repite el procedimiento anterior un nivel más arriba. Finalmente, si la raíz queda vacía, ésta se elimina. • Costo de las operaciones de búsqueda, inserción y eliminación en el peor caso: Θ (log(n))

48. Para búsqueda esterna: una variante de árboles de búsqueda: 1 node = 1 page Multiple way search trees

49. Multiple way-search trees Definición(recursiva) : • La forma básica de un multiple way-search tree es un conjunto vacío de claves {} • Sean T0, ..., Tn multiple way-search trees con claves tomadas de un conjunto común S, y sean k1,...,kn una secuencia de claves tales que k1 < ...< kn. Entonces la secuencia : T0 k1 T1 k2 T2 k3 .... kn Tn Es un multiple way-search tree si se da que: • Para cada claves x de T0 x < k1 • Para i=1,...,n-1, para cada clave x en Ti, ki < x < ki+1 • Para cada clave x de Tn kn < x

50. B-Tree Definicion: Un B-Tree of Order mes un multiple way tree con lassiguientescaracterísticas • 1  #(claves en la raíz)  2m y m  #(claves en el nodo)  2m paratodos los otrosnodos. • Todos los caminos de la raíz a algunahoja son del mismo largo. • Cadanodointerno (no hoja) con s claves tieneexactamentes+1 hijos. • Árboles 2-3 es un caso particular para m=1