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MÍNIMOS CUADRADOS

MÍNIMOS CUADRADOS. A mxn. A x = b Sistema Inconsistente. A x = b consistente. b está en C A. A x = b inconsistente. b no está en C A. b. A x* es un vector del espacio columna C A. A x* = proy C A b A x* = b* Sistema Consistente.  b – A x*  mínima.

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MÍNIMOS CUADRADOS

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Presentation Transcript

  1. MÍNIMOS CUADRADOS

  2. A mxn A x = b Sistema Inconsistente

  3. A x = b consistente b está en CA A x = b inconsistente b no está en CA

  4. b

  5. Ax* es un vector del espacio columna CA A x* = proy CAb A x* = b* Sistema Consistente

  6. b – A x* mínima

  7. x* es una solución de A x* = b* x* es una solución de aproximación de A x = b

  8. A fin de encontrar x* a partir de A x* = b* podríamos partir de A x* = proyCAb

  9. Existe una mejor manera de conseguirlo ( b – A x* ) es ortogonal a cada vector de CA

  10. Por lo tanto, ( b – A x* ) es ortogonal a cada vector columnade A

  11. c1 . ( b – A x* ) = 0 c2 . ( b – A x* ) = 0 c1T . ( b – A x* ) = 0 c2T . ( b – A x* ) = 0

  12. AT . ( b – A x* ) = 0 AT b – ATA x* = 0 ATA x* = AT b

  13. ATA x* = AT b Ecuaciones Normales

  14. A AT matriz nxn simétrica

  15. A mxn y b en Rm A x = b siempre tiene al menos una solución por mínimos cuadrados ( o por aproximación ) x*

  16. x* es una solución por mínimos cuadrados de A x = b si y sólo si x* es una solución de las ecuaciones normales ATA x* = AT b

  17. A tiene columnas LI si y sólo siATA es InvertibleEn este casola solución de aproximación de A x = b es única y está dada por

  18. x* = ( AT A )-1ATb seudoinversa de A

  19. x - y = 0 x + y = 0 SEL y = 1 Inconsistente A x = b =

  20. Columnas de A LIATA = Invertiblex* única solución por aproximación

  21. x* = ( AT A )-1ATb x* =

  22. x* solución por mínimos cuadrados de A x = b b – A x* error de mínimos cuadrados

  23.  = b – A x* vector de error de mínimos cuadrados

  24. vector de error de mínimos cuadrados 1 - 2 3 = b - A x* = 

  25. error de mínimos cuadrados  =b – A x* 0,2721655

  26. Observar las ecuacionesdel sistema x - y = 0 0 – ( 0 -1/3 ) = 1/31 x + y = 0 0 – ( 0 +1/3 ) = -1/3 2 y = 1 1 – ( 0 +1/3 ) = 2/3 3

  27. Columnas de A LDATA No es Invertible las ecuaciones normales ATA x* = AT b tienen un número infinito de soluciones

  28. Buscaremos entonces la solución x* de menor longitud (la más cercana al origen)

  29. APLICACIONES Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados

  30. Curvas que se ajustan aproximadamentea los datos

  31. Encontrar la recta que da el mejor ajuste para los puntos (1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1) y = b + mx

  32. 4 = b + m 5 = b - 2m -1 = b + 3m 1 = b + 4m Sistema Inconsistente

  33. = Columnas de A LIATA Invertiblex* única solución por aproximación

  34. x* = ( AT A )-1ATy x* = y = 3,57 – 0,88 x

  35. vector de error de mínimos cuadrados = _  _ A x* y =

  36. error de mínimos cuadrados  =b – A x* 2,579224

  37. Observar la primera ecuacióndel sistema 4 = b + m 4 = 3,57 + (- 0,88) 4 – 2,69 = 1,31= 1 (primer componente del vector )

  38. Encontrar el mejor ajuste cuadrático para los puntos(1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1) y = a + bx + cx2

  39. 4 = a + b + c 5 = a - 2b + 4c -1 = a + 3b + 9c 1 = a + 4b + 16c Sistema Inconsistente

  40. = Columnas de A LIATA Invertiblex* única solución por aproximación

  41. x* = ( AT A )-1ATy x* = y = 3,75 – 0,81 x – 0,04 x2

  42. vector de error de mínimos cuadrados _ =  _ y x* A =

  43. error de mínimos cuadrados  =b – A x* 2,5244009

  44. Observar la primera ecuacióndel sistema 4 = a + b + c 4 = 3,75 +(- 0,81)+(- 0,04) 4 – 2,9 = 1,1= 1 (primer componente del vector )

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