Vorlesung 4:

1. Vorlesung 4: • Roter Faden: • Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen • Evolution des Universums in der ART • Roter Faden: • Evolution des Universums

2. Zum Mitnehmen: • Licht empfindet Gravitation. Lichtquant (Photon) • hat effektive Masse m = E/c2 = hν/c2 • Materie krümmt den Raum und Weltlinien • folgen Raumkrümmung. • Diese gekrümmte Weltlinien erzeugen für Licht Gravitationslinsen und Schwarze Löcher

3. Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik • Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen • Newtonsche Mechanik • + Krümmungsterm k/S2 • + E=mc2 (oder u=c2) • + Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.) • + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante) • Dies sind genau die Ingredienten die man braucht • für ein homogenes und isotropes Universum, • das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)

4. Zum Mitnehmen • Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. • Daraus folgt mit p = αc2 : • (t)  S(t) -3(1+α) • S(t)  t 2/3(1+α) • 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½ • 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3 • 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt • (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) • 5. Alter des Universums für  = 0.7: t  1/H0 14 .109 yr • statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)

5. Minkowski 4-dimensionale Raum-Zeit

6. Metrik = Vorschrift zur Längenmessung

7. Mathematische Beschreibung der Krümmung

8. Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

9. Krümmung im 3-dim. Raum -> 4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer Raum

10. Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor. Für ein homogenes und isotropes Universum gilt: Metrik unabh. von ,θ, d.h. d = dθ = 0

11. Längen im gekrümmten Raum

12. Friedmann Gleichungen

13. Erste Friedman Gleichung nach Newton M m v =Friedmann für k=-2E/m Dimensionslose Dichteparameter:

14. (1) (2) Berücksichtigung der Expansionsenergie Differenziere (1) und benutze u=c2 ergibt die zweite Friedm. Gl dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.

15. Kosmologische Konstante p

16. Kosmologische Konstante

17. Energieerhaltung aus Friedmann Gl.

18. Zeitentwicklung der Dichte

19. Zeitentwicklung der Dichte

20. Zeitentwicklung des Universums

21. Zeitentwicklung des Universums

22. Inflation bei konstantem 0 Oder S(t) e t/ mit Zeitkonstante  = 1 /H Alter des Univ., d.h.beschleunigte Expansion durch Vakuumenergie jetzt sehr langsam, aber zum Alter t10-36s sehr schnell! Dieser Inflationsschub am Anfang, die durch die Symmetriebrechung einer vereinheitlichter “Urkraft”, wie durch GUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt, ist die einzige Erklärung warum Univ. so groß ist und soviel Materie hat.

23. Alter des Universums mit ≠ 0

24. Alter des Universums mit ≠ 0

25. Alter des Universums mit ≠ 0

26. Zum Mitnehmen • Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. • Daraus folgt mit p = αc2 : • (t)  S(t) -3(1+α) • S(t)  t 2/3(1+α) • 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½ • 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3 • 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt • (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) • 5. Alter des Universums für  = 0.7: t  1/H0 14 .109 yr • statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)