Reducción al primer cuadrante

1. Reducción al primer cuadrante Cuando los ángulos son mayores que 90º, se expresa como un ángulo entre 0º y 90º, teniendo en cuenta el signo correspondiente. Esto permite calcular las razones trigonométricas de ángulos de cualquier cuadrante.

2. Razones trigonométricas que difieren en • Estos ángulos se expresan como “a y a + 2 pi” En la figura se observa que <a y <(a + 2pi) tienen el mismo lado Inicial y el mismo lado terminal.

3. Cada una de las razones que difieren en 2pi tienen el mismo valor. • Sen(a + 2pi) = sen a • Cos(a + 2pi) = cos a • Tg(a + 2pi) = tg a • Cosec( a + 2pi) = cosec a • Sec(a + 2pi) = sec a • Cotg(a +2pi) = cotg a

4. Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas para un ángulo de 420º. • Como el 420º = 60º + 360, entonces: • Sen420º = sen60º = …. • Calcula las otras razones.

5. Razones trigonométricas de ángulos cuya suma es cero o 2p. • Estos ángulos se expresan como a y (-a) o bien como (a) y (2p – a) • En la figura se observa que (2p – a) y (-a), tienen el mismo lado terminal OR. Triángulo OPQ congruente con triángulo ORQ, luego OR representa a sen(-a) Y OQ a cos(-a)

6. Así entonces: • Sen(2pi – a) = sen(-a) = -sen(a) • Cos(2pi – a) = cos(-a) = cos (a) • Tg(2pi – a) = tg(-a) = -tg(a) • Cosec(2pi – a) = cosec(-a) = -cosec(a) • Sec(2pi – a) = sec(-a) = sec(a) • Cotg(2pi – a) = cotg(-a) = -cotg(a)

7. Ejemplo: calcular las razones trigonométricas para un ángulo de 330º. Como 330º = 360º - 30º, se tiene entonces: Sen330º= sen(-30º) = -sen30º = … Calcula las otras razones.

8. Razones trigonométricas de ángulos que difieren en pi • Los ángulos cuya diferencia es pi, se expresan como (a) y (a + pi) Triángulo OAB congruente con triángulo OCD

9. Como OA y OC representan al cos(a) y además CD y AB representan al sen(a), con las medidas respectivas negativas para ángulos del tercer cuadrante, así: • Sen(a + pi) = -sen(a) • Cos(a + pi) = -cos(a) • Tg(a + pi) =tg(a) • Cosec(a + pi) = -cosec(a) • Sec(a + pi) = -sec(a) • Cotg( a + pi) = cotg(a)

10. Ejemplo: Calcular las razones de un ángulo de 225º. • Como 225º = 180º + 45º, entonces. • Sen225º= -sen45 = … • Calcula las otras razones.

11. Razones trigonométricas de ángulos suplementarios. Estos ángulos llamados suplementarios se expresan como (a) y (pi – a) Triángulo OAB congruente con triángulo OCD. Se sabe que AB y CD representan al sen(a) y OA con OC representan a cos(a)

12. De lo anterior entonces: • Sen(pi – a) = sen(a) • Cos(pi – a) = -cos(a) • Tg(pi – a) = -tg(a) • Cosec(pi – a) = cosec(a) • Sec( pi – a) = -sec(a) • Cotg(pi –a) = -cotg(a) • Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º. • Recordar 150º = 180º - 30º

13. Razones de ángulos que difieren en (pi/2) Estos ángulos cuya diferencia es (pi/2), se expresan como (a) y (pi/2 +a) Triángulo OAB congruente con triángulo OCD, con CD = OA = sen(a) Además OC = AB = cos(a), siendo sen(a) positivo y cos(a) negativo

14. Se tiene entonces: • Sen(pi/2 + a) = cos(a) • Cos(pi/2 +a) = -sen(a) • Tg(pi/2 +a) = -cotg(a) • Cosec(pi/2 +a) = sec(a) • Sec(pi/2 +a) = -cosec(a) • Cotg(pi/2 + a) = -tg(a) • Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º, recordar 150º = 90º + 60º