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ELIPSE. Bloque II * Tema 077. LA ELIPSE. LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF+PF’ = 2a Elementos Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c

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Presentation Transcript

  1. ELIPSE Bloque II * Tema 077 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. LA ELIPSE • LA ELIPSE • La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. • PF+PF’ = 2a • Elementos • Semieje mayor: a • Semieje menor: b • Semidistancia focal: c • Focos: F(0, c) , F(0, -c) • Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), • B(0, b), B’(0, -b) Y P(x, y) B 2b A’ F’ F A X 2c B’ 2a Matemáticas Acceso a CFGS

  3. RELACIÓN FUNDAMENTAL • RELACIÓN FUNDAMENTAL • Por definición, la suma de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2a. • PF+PF’ = 2.a • Tomamos el vértice superior B(0, b) y tenemos que se nos forma un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: • Excentricidad • Se define como la relación: • e = c / a • Como siempre c < a • 0 < e < 1 en una elipse Y B(0, b) a a b A’ F’ c F A X 2c B’ 2a Matemáticas Acceso a CFGS

  4. ECUACIÓN REDUCIDA • ECUACIÓN REDUCIDA • Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el centro geométrico de la elipse. • Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: • PF+PF’ = 2.a • √((x+c)2+ y2)) + √((c – x)2+ y2))=2.a • √((x+c)2+ y2)) = 2.a – √((c – x)2+ y2)) Y b P(x, y) y F A x X F’ B’ • Elevando todo al cuadrado: • x2+ 2xc+c2 + y2 = 4a2 + x2– 2xc+c2 + y2 – 4.a√(c2 – 2xc + x2+ y2) • xc – a2 = – a√(c2 – 2xc + x2+ y2) • x2c2 – 2xca2 + a4 = a2c2 – 2xca2 + x2a2+ y2a2  Como c2 = a2 – b2 • x2a2 – x2b2+ a4 = a4 – a2b2 + x2a2+ y2a2 • Quedando: x2b2 + y2a2= a2b2 Matemáticas Acceso a CFGS

  5. Ejercicios • Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: • 1º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0), B(0, 3) y B’(0, -3) • El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2) ,, C(0,0) • Eje mayor: 2.a = 10 ,, a =5 ,, Eje menor: 2b = 6 ,, b = 3 • Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2  9x2+ 25y2= 225 • 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Focos: F(3, 0) y F’(-3, 0) • El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0) • Semieje mayor: a = 5 ,, Distancia focal: 2c = 6  c =3 • Semieje menor: b = √ (52 – 32 ) = 4 • Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2  16x2+ 25y2= 400 • 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(3, 0), F’(-3, 0) y P(4, 2’4) • Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2  16.b2+ 5’76.a2= a2.b2 • Relación: a2 = b2 + c2  a2 = b2 + 9 • Resolviendo el sistema: b2 = 16 ,, b = 4 y a2 = 25 ,, a = 5 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. ECUACIÓN GENERAL • ECUACIÓN REDUCIDA • Teníamos: x2b2 + y2a2= a2b2 • Dividiendo todo entre a2b2 • Queda: x2 y2 • --- + --- = 1 • a2 b2 • ECUACIÓN GENERAL • Lo normal es que el centro de la elipse • no sea el origen de coordenadas: • Resultando: (x – k)2 (y – h)2 • --------- + ---------- = 1 • a2 b2 • ECUACIÓN DESARROLLADA • Operando en la ecuación general: • x2b2 + y2a2– 2kb2x – 2ha2y + (b2k2 + a2h2 – a2b2) = 0 • Que es la ecuación general desarrollada. Y P(x, y) F F’ X O Matemáticas Acceso a CFGS

  7. Ejercicios • Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: • 4º.- Vértices: A(8,3), A’(-8,3), B(0, 7) y B’(0, -1) • El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2) ,, C(0,3) • Eje mayor: 2.a = 16 ,, a =8 ,, Eje menor: 2b = 8 ,, b = 4 • Ecuación: b2 x2 + a2 (y – 3)2 = a2 b2 •  16x2+ 64y2– 384y + 576 – 1024 = 0 •  Simplificando entre 16 queda: x2+ 4y2– 14y – 28 = 0 • 5º.- Vértices: A(17,2), A’(-9,2),, Distancia focal: 2c=10 • El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2) ,, C(13,2) • Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13 • Semieje menor: b = √ (a2 – c2 ) = √ (132 – 52 ) = 12 • Ecuación: b2 (x – k)2 + a2 (y – h)2 = a2 b2  • 144(x – 13)2 + 169(y – 2)2 = 144.169 • 144x2+ 169y2– 3744x – 676y + 676 = 0 Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Ejercicios • Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: • Ecuación general: b2x2 + a2 y2– 2b2kx – 2a2hy + b2k2 + a2h2 – a2b2 = 0 • 6º.- P: x2 + 9y2 – 8x – 36y + 28 = 0 • Identificando términos, tenemos: • b2 = 1  b=1 ,, a2 = 9  a= 3 • 2b2k = 8  8k = 8  k = 1 ,, 2a2h = 36  18h = 36  h = 2 • C(1, 2) ,, c =√(a2 – b2) = √8 = 2√2 ,, F(1+ 2√2 , 2) y F’(1 - 2√2, 2) • Comprobando: b2k2 + a2h2 – a2b2 = 28  1.1 + 9.4 – 9.1 = 28 • 7º.- P: 3x2 + 5y2 – y – 14’95 = 0 • Identificando términos, tenemos: • b2 = 3  b= √3 ,, a2 = 5  a= √5 • 2b2k = 0  6k = 0  k = 0 ,, 2a2h = 1  10h = 1  h = 0,1 • C(0 , 0’1) ,, c =√(a2 – b2) = √2 ,, F(√2 , 0’1) y F’(- √2 , 0’1) • Comprobando: b2k2 + a2h2 – a2b2 = m  3.0 + 5.0’01 – 5.3 = – 14’95 Matemáticas Acceso a CFGS

  9. Ejercicios • Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: • Ecuación general: b2x2 + a2 y2– 2b2kx – 2a2hy + b2k2 + a2h2 – a2b2 = 0 • 8º.- P: 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + m = 0 • Identificando términos, tenemos: • b2 = 4  b=2 ,, a2 = 9  a= 3 • 2b2k = 8  8k = 8  k = 1 ,, 2a2h = - 36  18h = - 36  h = – 2 • C(1, - 2) ,, c =√(a2 – b2) = √5 ,, F(1+ √5 , -2) y F’(1 - √5, - 2) • b2k2 + a2h2 – a2b2 = m  4.1 + 9.4 – 9.4 = 4 • 9º.- P: 16x2 + 9y2 – 8x + m = 0  b > a  Girada 90º • Identificando términos, tenemos: • b2 = 16  b=4 ,, a2 = 9  a= 3 • 2b2k = 8  32k = 8  k = 0,25 ,, 2a2h = 0  18h = 0  h = 0 • C(0,25, 0) ,, c =√(b2 – a2) = √7 ,, F(0,25, √7) y F’(0,25, - √5) • b2k2 + a2h2 – a2b2 = m  16.0,0625 + 9.0 – 9.16 = – 143 Matemáticas Acceso a CFGS

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