520 likes | 877 Views
Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding. 3.1. Centrummaten – Gemiddelden 3.2. Kwantielen 3.3. De spreidingsmaten. Centrummaten. het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen.
E N D
Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding • 3.1. Centrummaten – Gemiddelden • 3.2. Kwantielen • 3.3. De spreidingsmaten
Centrummaten • het rekenkundig gemiddelde • de mediaan • de modus • bij niet-gegroepeerde waarnemingen • bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen
Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig) b. alle waarnemingen spelen een rol bij de bepaling van het kengetal c. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk zijn d. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteitbezitten e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn
Het rekenkundig gemiddelde Wat? Het rekenkundig gemiddelde van een reeks waarnemingsresutaten is gelijk aan de som van alle resultaten gedeeld door het aantal waarnemingen (dit is de steekproef- of popultieomvang) Symbool: Formule:
Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (1) • 1. Vermindert men alle waarnemingen met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde verminderd met dat getal men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren • 2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde met dit getal vermenigvuldigd (idem delen) men mag alle resultaten vereenvoudigen
Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (2) • 3. De som van de afwijking van alle waarnemingsresultaten ten opzichte van hun rekenkundig gemiddelde is nul Opm. : het rekenkundig gemiddelde wordt in de statistiek altijd berekend op één rang meer dan de waarnemingsresultaten.
Het gewogen rekenkundig gemiddelde (1) Wat? Als niet aan alle waarnemingen een zelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt men elke waarde met een wegingsfactor en bepaalt men pas dan het rekenkundig gemiddelde
Het gewogen rekenkundig gemiddelde (2) Voorbeeld: examenuitslagen student D.V. Rekenkundig gemiddelde: Gewogen rek.gemiddelde:
Het rekenkundig gemiddelde van gegroepeerde gegevens Formule: De klassemiddens worden representatief voor elke klasse: alle frequenties worden vermenigvuldigd met de overeenkomende klassemiddens
Centrummaten • het rekenkundig gemiddelde • de mediaan • de modus • bij niet-gegroepeerde waarnemingen • bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen
De mediaan (1) Wat? De mediaan van een reeks waarnemings-resultaten is de middelste van de naar grootte gerangschikte resultaten. De mediaan verdeelt een reeks resultaten in twee gelijke groepen: aantal waarden < Me = aantal waarden > Me Symbool: Me Synoniem: midscore
De mediaan (2) • bij oneven aantal waarnemingen: Me = middelste van naar grootte gerangschikte • bij even aantal waarnemingen: Me = rek. gemiddelde van middelste twee • Bij gegroepeerde frequentieverdelingen: • Me = tweede kwartiel (Q2) • mediaanklasse: zie cumulatief frequentiehistogram
De modus Wat? De modus van een reeks waarnemingsresultaten is de waarneming die het meest voorkomt (= de uitslag met de hoogste frequentie) Symbool: Mo Opmerkingen: • hebben alle resultaten in een reeks dezelfde frequentie, dan is er geen modus • de modus is de enige centrummaat ook te gebruiken voor kwalitatieve kenmerken • unimodale, bimodale, multimodale verdelingen
De modus bij gegroepeerde waarnemingen (1) • de modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie • nauwkeuriger: f = frequentie modale klasse fl = frequentie (lagere) voorgaande klasse fh= frequentie (hogere) volgende klasse b = benedengrens modale klasse i = klasse-interval
De modus bij gegroepeerde waarnemingen (2) Grafische bepaling van de modus bij frequentieverdelingen: modale klasse Mo
Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig) b. alle waarnemingen spelen een rol bij de bepaling van het kengetal c. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk zijn d. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteitbezitten e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn
Keuze van de centrummaten (2) De keuze hangt af van: • het meetniveau • de scheefheid van de verdeling • extreme waarden
Keuze van de centrummaten (3) De keuze hangt af van: • het meetniveau • de scheefheid • mogelijke extreme waarden
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1a) • Symmetrische verdelingen normale verdelingen b.v. IQ-scores, de meeste natuurlijke verschijnselen
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1b) • Bimodale symmetrische verdelingen Mo1 Mo2
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (2) • Scheef naar links (negatief scheef) b.v. lichaamsgewicht mannelijke 40-plussers in België Mo staart
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (3) • Scheef naar rechts (positief scheef) b.v. belastbaar inkomen Belgische bevolking in € Mo staart
Keuze van de centrummaten (4) De keuze hangt af van: • het meetniveau • de scheefheid • mogelijke extreme waarden
Keuze centrummaat in functie van mogelijke extreme waarden Extreme waarden (= uitbijters): beïnvloeden het gemiddelde de mediaan is hier beter geschikt dan het rekenkundig gemiddelde Voorbeeld: 1 2 2 3 4 5 5 7 9 118 = 15,6 Me= 4,5
Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding • 3.1. Centrummaten – Gemiddelden • 3.2. Kwantielen • 3.3. De spreidingsmaten
Kwantielen Wat? Kwantielen verdelen een frequentieverdeling in een aantal gelijke stukken (= stukken met gelijke frequentie) Doel? Kwantielen dienen om een uitkomst te situeren ten opzichte van andere uitkomsten
Kwantielen (2) Soorten kwantielen: • Kwartielen: Q1, Q2 , Q3 verdelen de frequentieverdeling in 4 gelijke intervallen, elk met 25% van de uitkomsten • Decielen: D1,D2 , … , D9 verdelen de frequentieverdeling in 10 gelijke intervallen, elk met 10% van de uitkomsten • Percentielen: P01, P02 , … , P99 verdelen de frequentieverdeling in 100 gelijke intervallen, elk met 1% van de uitkomsten
Kwantielen (3) De interkwartielafstand (IKA) geeft de range aan van de middelste helft van de resultaten. De IKA is ongevoelig voor uitbijters.
Percentiel percentiele rang • percentiel (P) b.v. P57 = 173,5 cm 57% van de resultaten zijn kleiner of gelijk aan 173,5 cm • percentiele rang (p) b.v. p168cm = 48,3% een lengte van 168cm komt overeen met de 48,3% kleinste resultaten
5-getallen-résumé Een frequentieverdeling kan omschreven worden met 5 kengetallen:
Boxplot (boxdiagram) Een boxplot is de grafische voorstelling van het 5-getallen-résumé: • de randen van de box: Q1 (bodem) Q3 (deksel) • het tussenschot in de box: Me • twee « bakkebaarden »: van de box tot aan Xmin en Xmax Doel: een snelle vergelijking van verschillende frequentieverdelingen
Boxplot (5-getallen-résumé) Xmax Q3 Me Q1 Xmin
Grafische bepaling van kwantielen 96 percentiel: P27 = 133 percentiele rang: P528 = 96% 27 133 528
Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding • 3.1. Centrummaten – Gemiddelden • 3.2. Kwantielen • 3.3. De spreidingsmaten
Spreiding, dispersie, variatie 3 invalshoeken: • de verschillen tussen de uitkomsten onderling • de range op de meetschaal, waarbinnen een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt • de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten
De variatiebreedte of de range (1) Wat? het verschil tussen de uiterste resultaten Voordelen: zeer snel en eenvoudig te bepalen Nadeel: maximaal beïnvloed door uitbijters
De variatiebreedte of de range (2) Bij gegroepeerde gegevens is de range:
De interkwartielafsand (IKA) Beter dan de range: Voordeel: totaal ongevoelig voor uitbijters! Ook: IDA = interdecielafstand (D9 – D1)
Spreiding, dispersie, variatie 3 invalshoeken: • de verschillen tussen de uitkomsten onderling • de range op de meetschaal, waarbinnen een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt • de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten
Spreiding Algemeen: de afstand tussen een centrummaat C en de waarnemingsresultaten Xi Spreiding: waarin
De gemiddelde absolute afwijking Wat? het gemiddeld verschil tussen elke uitslag en het rekenkundig gemiddelde van alle uitslagen Symbool: Formule: voor gegroepeerde gegevens: Xi mi
De variantie en de standaardafwijking Wat? de variantie van een reeks uitslagen geeft aan in hoeverre deze afwijken van het gemiddelde Symbool: Formule: mi
De standaardafwijking (1) Variantie: wordt uitgedrukt in de tweede macht van de meeteenheid de standaardafwijking is de vierkantswortel uit de variantie de standaardafwijking is de belangrijkste spreidingsmaat in de statistiek
De standaardafwijking (2) Formule: of fi . mi² voor gegroepeerde gegevens: Xi fi.mi
De standaardafwijking (3) De standaardafwijking is de meest gebruikte spreidingsmaat: • normale verdelingen worden gekarakteriseerd door het rekenkundig gemiddelde en de standaardafwijking • in een Gauss-curve is de afstand van de buigpunten tot de symmetrieas steeds gelijk aan de standaardafwijking • in een normale verdeling ligt steeds een zelfde percentage van de waarnemingen tussen het gemiddelde vermeerderd/verminderd met 1, 2 of 3 keer de standaardafwijking
Normale verdelingen (1) b.v. N(63;12,7) 16%
Normale verdelingen (2) vlakke normale verdeling spitse normale verdeling