Bab 8 Momentum linear dan perlanggaran

1. Bab 8 Momentum linear dan perlanggaran Prinsip fizik asas pelancaran roket dan pergerakannya ditentukan oleh keabadian momentum linear.

2. Major Concepts • Momentum linear dan keabadianya • Impulse dan mementum • Perlanggaran dalam 1-D • Perlanggaran dalam 2-D • Pusat Jisim • Gerakan sistem zarah-zarah • “Rocket Pulsulsion”

3. Mengapa momentum linear? • Jasad-jasad berinteraksi di antara mereka melalui berbagai jenis daya • Kesan-kesan interaksi tersebut mungkin amat komplikated, melibatkan tabii daya, tempoh interkasi, kedudukan jasad-jasad yang terlibat (contoh: bayangkan perlanggaran pin-bowling), geometri sistem dsb. • Analisa and perihaln interaksi dalam sistem yang komplikated melalui HN adalah kadang-kadang mustahil • Jadi kita cari jalan lain yang lebih mudah dan ekonomik • Guna konsep momentum linear dan keabadiannya

4. Momentum linear • Momentum linear suatu zarah atau objek yang extended dalam dimensi yang boleh dimodelkan sebagai suatu zarah dengan jisim m bergerak dengan halaju vditakrifkan sebagai hasildarab jisimnya dengan halajunya: • p = mv • Kita akan guna istilah “momentum” sebagai kata ganti kepada momentum linear m v v m 

5. Momentum linear, samb • ML ialah suatu kuantiti vektor, arahnya sama dengan arah v • Dimensi = ML/T • Unit SI = kg · m / s • Ia boleh dileraikan kepada komponen-komponennya: • px = m vxpy = m vy • pz = m vz y p py= py x pz = pz px= px z

6. Quick Quiz 9.1 Two objects have equal kinetic energies. How do the magnitudes of their momenta compare? (a) p1 < p2 (b) p1 = p2 (c) p1 > p2 (d) not enough information to tell

7. Quick Quiz 9.1 Answer: (d). Two identical objects (m1 = m2) traveling at the same speed (v1 = v2) have the same kinetic energies and the same magnitudes of momentum. It also is possible, however, for particular combinations of masses and velocities to satisfy K1 = K2 but not p1 = p2. For example, a 1-kg object moving at 2 m/s has the same kinetic energy as a 4-kg object moving at 1 m/s, but the two clearly do not have the same momenta. Because we have no information about masses and speeds, we cannot choose among (a), (b), or (c).

8. Quick Quiz 9.2 Your physical education teacher throws a baseball to you at a certain speed, and you catch it. Now the teacher is going to throw you a medicine ball whose mass is ten times the mass of the baseball. You are given the following choices: You can have the medicine ball thrown with (a) the same speed as the baseball, (b) the same momentum, (c) the same kinetic energy. Rank these choices from easiest to hardest to catch. (a) a, b, c (b) a, c, b (c) b, c, a (d) b, a, c (e) c, a, b

9. Quick Quiz 9.2 Answer: (c): b, c, a. The slower the ball, the easier it is to catch. If the momentum of the medicine ball is the same as the momentum of the baseball, the speed of the medicine ball must be 1/10 the speed of the baseball because the medicine ball has 10 times the mass. If the kinetic energies are the same, the speed of the medicine ball must be the speed of the baseball because of the squared speed term in the equation for K. The medicine ball is hardest to catch when it has the same speed as the baseball.

10. Newton dan momentum • HN 2 dapat digunakan untuk mengkaitkan momentum suatu zarah dengan daya bersih yang bertindak padanya • di mana jisim zarah adalah malar • Interpretasi: daya bersih F pada zarah menyebabkan momentum zarah berubah dengan kadar dp/dt m Fx px berubah pada kadar Fx= dpx/dt

11. Sebenarnya F = dp/dt adalah bentuk asal Newton membentangkan hukum keduanya • Bentuk HN2 ini adalah lebih umum daripada F = ma • Bentuk F = dp/dt juga membenarkan kira perihalkan dimamik zarah jika melibatkan jisim yang berubah • Ia terutamanya adalah amat powerful untuk memerihalkan sistem zarah-zarah

12. Quick quiz • Mula-mulanya ia menghujan • Kemudian hujan turun menjadi ‘hail’ yang turun pula • Katakan • 1) kadar titik hujan mengena payung adalah sama dengan kadar biji hail mengenai payung • 2) jisim titik hujan = jisim biji hail, • 3) kelajuan mereka kena permukaan payung juda sama • Tanya: adalah daya yang diperlukan untuk memegang payung semasa hail sama, lebih besar atau kurang berbanding dengan kes hujan?

13. Jawapan • Daya yang lebih besar dalam kes hail turun • Kerana kadar perubahan momentum biji hail adalah lebih kurang dua kali lebih besar daripda kes untuk titui hujan • Mengapa: kerana air hujan tidak ‘melantun’ tapi ‘splatter and run off” manakala biji hail akan melantun ke atas yang bertentangan

14. Keabadian momentum • Bila-bila sahaja dua atau lebih zarahj dalam sistem terpencil berinteraksi, jumlah momentum sistem akan tetap malar (terabadikan) • Jumlah momentum sistem terabadi tidak bermakna momentum individu mesti tak berubah • Ini juga mengimplikasikan bahawa jumlah momentum sisterm terpencil bersamaan dengan nilai awal jumlah momentumnya

15. Keabadian momentum, samb. • Boleh dibuktikan dengan HN3 dan HN2 bahawa jumlah momentum suatu sistem terpencil adalah malar • Keabadian mementum dapat dinyatakan secara matematik sebagai • ptotal = p1 + p2 = pemalar, atau • p1i + p2i = p1f + p2f , atau • pi= pf • Jumlah momentum komponen-komponen sistem zarah-zarah juga mesti masing-masing terabadi secara merdeka, iaitu • (pi)x = (pf)x (pi)y = (pf)y (pi) z = (pf)z • Keabadian momentum boleh diaplikasikan ke atas sistem yang mengandungi sebarang numbor zarah

16. Terbitan kebabadian momentum • Pertimbangkan sistem terpencil dua zarah yang berinteraksi melalui Fij: • Mengikut HN3, dua zarah yang berinteraksi untuk suatu sela masa dt melalui daya Fijmestilah mematuhi F12 = - F21 • Mengikut HN2 pula, • Pasangan daya tindakan-tindakbalas ini menghasilkan pecutan pada zarah-zarah yang ditindak oleh mereka masing-masing: m2a2 = - m1a1 m2 dv2/dt = - m1dv1/dt m2 dv2/dt + m1 dv1/dt = 0 d/dt (m2 v2 + m1 v1) = 0 Tapi, mengikut definasi, (m2 v2 + m1 v1) = p2 + p1 Jadi kita sampai kepada d/dt (p2 + p1) = 0, atau p2 + p1 = pemalar =sama sebelum dan selepas interaksi

17. Quick Quiz 9.3 A ball is released and falls toward the ground with no air resistance. The isolated system for which momentum is conserved is (a) the ball (b) the Earth (c) the ball and the Earth (d) impossible to determine

18. Quick Quiz 9.3 Answer: (c). The ball and the Earth exert forces on each other, so neither is an isolated system. We must include both in the system so that the interaction force is internal to the system.

19. Quick Quiz 9.4 A car and a large truck traveling at the same speed make a head-on collision and stick together. Which vehicle experiences the larger change in the magnitude of momentum? (a) the car (b) the truck (c) The change in the magnitude of momentum is the same for both. (d) impossible to determine

20. Quick Quiz 9.4 Answer: (c). From Equation 9.4, if p1 + p2 = constant, then it follows that Δp1 + Δp2 = 0 and Δp1 = -Δp2. While the change in momentum is the same, the change in the velocity is a lot larger for the car!

21. Contoh keabadian momentum boleh diaplikasikan • Pemanah berdiri di atas permukaan tanpa geseran (ais) • Pendekatan: • Tak boleh guna HN2 kerana tiada maklumat F atau a • Pendekatan tenaga? Tak, kerana tak ada maklumat kerja atau tenaga • Tapi boleh guna meometum

22. Contoh kiraan • Pemanah berjisim 60 kg, berdiri di atas permukaan tanpa geseran (ais) , memanah anak panah berjisim 0.5 kg secara mengufuk pada kelajuan 50 m/s. Apalah halaju si pemanah bergerak selepas anak panah dilepaskan?

23. Penyelesaian • Takrifkan sistem dulu: • Pemanah dengan bow (zarah 1) dan • anak panah (zarah 2) • Tiada daya luar dalam arah x, jadi ia sistem terpencil untuk momentum dalam arah x • Jumlah momentum sebelum lepaskan anak panah = 0 • Jumlah momentum selepas anak panah dilepaskan ialah p1f + p2f dan mesti sama dengan Jumlah momentum sebelum lepaskan anak panah = 0: p1f + p2f = 0

24. m1v1f + m2v2f = 0 • Jadi, v1f = -m2v2f / m1 = - (0.5/60) 50 m/s = - 0.42 m/s • Iaitu pemanah bergerak dengan arah yang bertentangan dengan arah anak pana • Halaju akhir pemanah juga lebih kecil kerana jisimnya besar • Halaju pemanah ini dipanggil “recoil velocity”

25. Apa kata jika… • Jika pemanah memanah pada arah yang buat suatu sudut q dengan ufukan, bagaimanakah halaju pemanah berubah? • Jawapan • Recoil velocity pemanah akan berkurangan magnitudnya kerana momentum komponen x anak panah berkurangan dalam kes ini, menjadi p2i  = (p2i )x = p2f cosq (p1f )x= - (p2f )x = - p2f cosq m1(v1f )x= - m2(v2f )x = - m2 v2f cosq (v1f )x== - m2 v2f cosq / m1 [banding dengan (v1f) x = -m2v2f / m1] p2f (P1f)x (P2f)x Keabadian momentum sistem dalam kes ini hanya berlaku dalam arah-x saja; arah-y ada daya luar (N dan mg)

26. Contoh keabadian momentum dalam Kaon • Kaon reput kepada zarah-zarah p positif dan pnegatif • Momentum sebelum dan selepas adalah sifar • Jadi, selepas reputan jumlah momentum akhir mesti sama dengan sifar • p+ + p- = 0 atau p+ = -p- • Walaupun sistem ini amat berbeza dengan sistem pemanah tadi, mereka mematuhi hukum fizik yang sama: keabadian momentum

27. Impuls dan momentum • Daya bersih menyebabkan perubahan momentum suatu zarah • Aplikasikan HN2 keatas suatu zarah, F = dp/dt • Atau, dp = Fdt • Kamirkannya untuk mendapatkan perubahan dalam momentum untuk suatu sela masa: • Kamiran ini dikenali sebagai impuls, I, daya pada objek tersebut untuk suatu sela Dt

28. Teorem momentum-impuls • Persamaan ini adalah teorem impuls-momentum: Impuls daya F yang bertindak pada suatu zarah bersamaan dengan perubahan dalam momentum zarah tersebut • Ini juga bentuk alternatif untuk HN2

29. Nota tamhanan tentang Impuls • Impuls kuantiti vektor • Magnitud impuls sama dengan luas di bawah graf F lawan t • Dimensi impuls ialah M L / T • Impuls bukan sifat zarah tapi suatu ukuran perubahan momentum zarah itu

30. Impuls, terakhir • Impulse juga boleh diwakili dengan daya min dalam sela masa Dt • I = Dt • di mana luas bawah lengkung F lawan t bersamaan dengan luas segiempat yang diberikan oleh daya min untuk sela masa yang sama Dt • Daya min tersebut memberikan kesan impuls yang sama kepada zarah dalam sela masa ini dengan kesan daya impul yang berubah-masa

31. Penghampiran impuls • Dalam banyak kes, daya pada suatu zarah mungkin lebih besar daripada daya-daya lain yang juga bertindak pada zarah yang sama • Dalam penghampiran impuls kita sentiasa menganggap daya impulse sentiasa lebih besar daripada daya-daya lain yang juga bertindak pada zarah pada ketika yang sama • Juga kita mengganggap bahawa anjakan zarah-zarah semasa daya impulse bertindak adalah amat kecil dan boleh diabaikan

32. Contoh real life di mana penghampiran impuls adalah benar

33. Quick Quiz 9.5 Two objects are at rest on a frictionless surface. Object 1 has a greater mass than object 2. When a constant force is applied to object 1, it accelerates through a distance d. The force is removed from object 1 and is applied to object 2. At the moment when object 2 has accelerated through the same distance d, which statements are true? (a) p1 < p2 (b) p1 = p2 (c) p1 > p2 (d) K1 < K2 (e) K1 = K2 (f) K1 > K2

34. Quick Quiz 9.5 Answer: (c) and (e). Object 2 has a greater acceleration because of its smaller mass. Therefore, it takes less time to travel the distance d. Even though the force applied to objects 1 and 2 is the same, the change in momentum is less for object 2 because Δt is smaller. The work W = Fd done on both objects is the same because both F and d are the same in the two cases. Therefore, K1 = K2.

35. Quick Quiz 9.6 Two objects are at rest on a frictionless surface. Object 1 has a greater mass than object 2. When a force is applied to object 1, it accelerates for a time interval Δt. The force is removed from object 1 and is applied to object 2. After object 2 has accelerated for the same time interval Δt, which statements are true? (a) p1 < p2 (b) p1 = p2 (c) p1 > p2 (d) K1 < K2 (e) K1 = K2 (f) K1 > K2

36. Quick Quiz 9.6 Answer: (b) and (d). The same impulse is applied to both objects, so they experience the same change in momentum. Object 2 has a larger acceleration due to its smaller mass. Thus, the distance that object 2 covers in the time interval Δt is larger than that for object 1. As a result, more work is done on object 2 and K2 > K1.

37. Quick Quiz 9.7a Rank an automobile dashboard, seatbelt, and airbag in terms of the impulse they deliver to a front-seat passenger during a collision, from greatest to least. (a) dashboard, seatbelt, airbag (b) dashboard, airbag, seatbelt (c) seatbelt, airbag, dashboard (d) seatbelt, dashboard, airbag (e) airbag, dashboard, seatbelt (f) airbag, seatbelt, dashboard (g) All three are the same.

38. Quick Quiz 9.7a Answer: (g). All three are the same. Because the passenger is brought from the car’s initial speed to a full stop, the change in momentum (equal to the impulse) is the same regardless of what stops the passenger.

39. Contoh impuls-momentum: “Kecelakaan jalanraya” • Dalam suatu “Kecelakaan jalanraya”, halaju awal dan akhir sebuah kereta ialah • Soalan: jika perlanggaran itu berlaku untuk sela masa 0.15 s, tentukan impulse yang disebabkan oleh perlanggaran itu kepada kereta, dan daya impuls min yang bertindak kepadanya.

40. Penyelesaian • Anggapkan penghampiran impulse adalah benar • Momentum awal, • Maka impuls pada kerata • Daya min:

41. Perlanggaran – sifat-sifatnya • Istilan “perlanggaran” merujuk kepada perkara yang mana dua zarah mendekati sata sama lain and berinteraksi melalui daya • Sela masa dalam mana perubahan halaju berlaku dianggap pendek berbanding dengan skala (scale) tompoh pencerapan/pengukuran eksperimen • Daya impuls adalah dianggap jauh lebih besar berbanding dengan daya-daya luar yang bertindak pada zarah (mislanya graviti, daya perintang etc.) – penghampiran impuls teraplikasikan

42. Perlanggaran secara kontak terus • Perlanggaran boleh jadi hasil daripada kontek secara terus • Daya impuls mengkin berubah-masa dengan cara yang amat komplikated • Daya impuls adalah daya dalam sistem • misalnya perlanggaran billard ball-billard ball Deformed ball hit

43. Perlanggaran secara tidak berkontak (penyerakan) • Perlanggaran tidak semestinya berkontak secara fizikal di antara objek-objek • Kadang-kadang dikenali sebagai penyerakan (scattering) • Dalam kes ini daya yang mengiteraksikan mesti dapat bertindakan melalui ruang (misalnya daya elektromagnetik, daya graviti) • Perlanggaran sedemikan masih boleh dianalisakan sepertimana yang dilakukan ke atas sistem yang berlanggar melalui kontak fizikal (tapi mungkin lebih komplikated)

44. Jenis-jenis perlanggaran • Perlanggaran elastik: momentum dan tenaga kinetik terbabadikan • Perlanggaran elastik penuh berlaku pada skala mikroskopik (misalnya penyerakan elektron-elektron) • Dalam perlanggaran makroskopik hanya perlanggaran elastik • Koefisien elastik, e = 1 utk kes ini • Perlanggaran tak elastik, KE tidak terabadi, hanya momentum yang terabadi • Jika objek terlekat bersama selepas perlanggaran, ia dikenali sebagai perlanggaran tak elastik penuh • Koefisien elastik, e = 0 utk kes ini

45. Jenis-jenis perlanggaran, samb • Dalam perlanggaran tak elastik, terdapat KE yang terlesap (hilang), tapi objek tak lepat bersama • Perlanggaran elastik penuh dan perlanggaran tak elastik penuh adalah kes-kes limit bagi perlanggaran yang lebih umum • Kebanyakan perlanggaran tertelak di antara dua jenis perlanggaran limit tersebut

46. Mengapa mometum linear terabadi? • Momentum sentiasa terabadi dalam mana-mana perlanggaran • sebenarnya momentum adalah terabadi dalam semua proses fizik yang pernah dicerap, tiada pengecualian) • Teorem Noether (teorem matematik) mengatakan setiap symmetri yang terabadi mesti bersepadanan dengan suatu kuantiti • Wujud dalam alam semester kita simetri translasi ruang (spatial translation symmetry): hukum fizik pada x = hukum fizik pada kedudukan x’. • ini merupakan punca kepada keabadian momentum linear.

47. Perlanggaran tak elastik penuh • Oleh kerana objek terlekat bersama mereka berkongsi halaju selepas perlanggaran (v2f= v1f) • m1v1i + m2v2i= (m1 + m2) vf • Takrifkan koefisien perlanggaran: • e = v2f– v1f / (v1i – v2i) • e = 0 untuk perlanggaran tak elastik penuh Active fig.9.8.

48. Contoh real life • Kereta bertembang muka-dengan-muka adalah hampir perlanggarangan tak elastik penuh

49. Perlanggaran elastik • Kedua-dua momentum dan KE terabadi • koefisien perlanggaran: • e = v2f– v1f / (v1i – v2i) = 1 untuk perlanggaran elastik penuh Active fig.9.9.

50. Perlanggaran elastik, samb • Secara tipikal, ada dua unknown untuk diselesaikan (misalnya halaju akhir bagi dua objek yang terlibat) • Kedua-dua unknow in dapat diselesaikan kerana kita ada dua persamaan yang merdeka daripada satu sama lain (K. mom dan K. KE) • Persamaan kinetik mungkin susah diselesaikan kerana melibatkan kuasadua halaju • Sebagai alternatif yang lebih mudah dalam menyelesaikan persamaan serentak K. mom dan K. KE, kita boleh guna persamaan alternatif yang lebih mudah untuk menggantikan persamaan K. KE: dangan v2f– v1f = v1i – v2i • yang diperolehi daripada e = v2f– v1f / (v1i – v2i) = 1 • Hanya boleh digunakan ke atas kes perlanggaran elastik penuh dua jasad dalam 1-D