1 / 10

3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e x

3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e x. Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f(x) = k x e x on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e  2,718281828 (laskimella). Eksponenttifunktion f(x) = e x ominaisuuksia M f = R A f = ]0,  [

agalia
Download Presentation

3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e x

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = ex

  2. Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f(x) = kx ex on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e  2,718281828 (laskimella) Eksponenttifunktion f(x) = ex ominaisuuksia Mf = R Af = ]0,[ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen x – akseli Potenssien laskusäännöt säilyy eu = ev u = v y = ex (ks. kirja s. 54 - 55)

  3. E.1. Sievennä • e2xe-x • = e2x– x • = ex b) e3(ex+1)2 =e3e2x+2 =e3+2x+2 = e2x + 5 • E.2. Ratkaise yhtälö • ex+2 = e-x • x + 2 = -x • 2x = -2 • x = -1 b) e3x – 6 = 1 e3x -6 = e0 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2

  4. 3.2.2. Funktion y = ex derivaatta D(ex) = ex Funktio y = ex on oman itsensä derivaatta: käyrän mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan tangentin kulmakerroin on sama kuin pisteen y-koordinaatti.

  5. E.3. Derivoi a) f(x) = 2ex + 3x b) f(x) = (ex + 1)2 a) f’(x) = 2ex + 3 b) f’(x) = 2ex(ex + 1)

  6. Olkoon f derivoituva funktio. D(ef(x)) = ef(x) · f ´(x) E.4. Derivoi a) f(x) = e2x d) f(x) = e2x ·x3 a) f‘ (x) = 2e2x b) f‘(x) = 2e2x· x3 +e2x ·3x2 = x2e2x(2x + 3)

  7. Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f ´(1), kun f(x) = e2x - x3 f’(x) = 2e2x – 3x2 f’(1) = 2e2 - 3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, kT = f ´(x0) E.6. Mikä on käyrän y = e1-x kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f ’ (x) = –e1-x f ’ (1) = -e1-1 = -e0 = -1

  8. E.7. Määritä a ja b, kun f(x) = eax + b sekä f(0) = 2 ja f ´(0) = 3 f(0) = e0 + b = b + 1 b +1 = 2 b = 1 f’(x) = aeax ae0 = 3 a = 3

  9. E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f(x) = e4x + e-4x f ’ (x) = 4e4x – 4e-4x f ’ (x) =0: 4e4x – 4e-4x = 0 4e4x = 4e-4x e4x = e-4x 4x = -4x 8x = 0 x = 0

  10. Kirjan esimerkki 3, sivu 57 Mitä arvoja f(x) = 2x + e-2x saa? Funktio on jva ja dva kaikkialla Derivaatan nollakohdat: f ’ (x) = 2 – 2e-2x = 2(1 – e-2x) f ’ (x) = 0: 1 – e-2x = 0  e-2x = 1  e-2x = e0 -2x = 0  x = 0 Kulkukaavio: f’(-1) = 2(1-e2)  -12,8 < 0 f’(1) = 2(1-e-2)  1,7 > 0 0 f ’ f - + min Pienin arvo: Kulkukaavion perusteella f(0) = 1 Suurin arvo: Koska lim f(x) =  , niin funktiolla x ->  ei ole suurinta arvoa, vaan funktio saavuttaa mielivaltaisen suuria arvoja. V: Funktio f saavuttaa kaikki ne arvot, jotka ovat  1

More Related