Tehnici (Transformate) utilizate in procesarea semnalelor analogice

1. Tehnici (Transformate) utilizate in procesarea semnalelor analogice • Convolutia: • concept de baza in procesarea semnalelor care afirma ca semnalul de IN poate fi combinat cu diferite functii ale sistemului pt. determinarea marimii de IE; • Transformata Fourier • Descompune un semnal intr-un sir de componente sinusoidale de frecvente diferite, facand trecerea din domeniul frecventa in domeniul timp, realizand calculul amplitudinii si fazei semnalului transformat • Transformata Laplace • Transformata Fourier generalizata care transforma un semnal sau un sistem intr-un nr. complex

2. Analiza Fourier • Analiza Fourier este extrem de utilă pentru procesarea datelor, deoarece descompune un semnal într-un şir de componente sinusoidale de frecvenţe diferite, făcând trecerea din domeniul timp în domeniul frecvenţă, realizând calculul amplitudinii şi fazei variabilelor (datelor, semnalelor) transformate. • Pentru eşantionarea datelor vectoriale, analiza Fourier utilizează transformata Fourier discretă (discrete Fourier transform-DFT). • Transformata Fourier rapidă - FFT (Fast Fourier Transform) este un algoritm foarte eficient pentru calcularea transformatei Fourier, sau a transformatei Fourier discrete (DFT).

3. Transformata Fourier • Unealta matematică pentru analiza unui semnal în domeniul frecvenţei care poate lua diferite forme în funcţie de semnalul analizat. • Ceea ce au în comun aceste semnale este faptul că sunt alcătuite dintr-un număr de componente sinusoidale de frecvenţe diferite, fiecare având o anumită amplitudine şi fază iniţiale. • Transformata Fourier face conversia unui semnal din domeniul timp într-un semnal discret în domeniul frecvenţei. • Dacă g(t) este un semnal neperiodic exprimat ca funcţie de timp, transformata Fourier a funcţiei g(t) este dată de expresia integrala:

4. Transformata Fourier Rapida-FFT • Transformata Fourier rapidă (FFT) este o metodă eficientă de calcul a transformatei Fourier discrete. • Transformata Fourier discretă poate fi exprimată prin relaţia: • FFT reduce numărul de calcule matematice necesare pentru calculul transformatei Fourier discrete (DFT). De exemplu, dacă o secvenţă are N puncte, pentru calculul DFT sunt necesare N2 operaţii iar pentru calculul FFT sunt necesare doar N/2 log2(N) înmulţiri şi împărţiri complexe. • FFT poate fi utilizată si pentru calculul spectrului puterii unui semnal, pentru filtrarea digitală a semnalelor sau pentru obţinerea corelaţiei dintre 2 semnale.

5. Distorsiunea Totala a Armonicilor unui Semnal-THD(Total Harmonic Distorsion) • Distorsiunea armonică aproximează forma de undă a unui semnal (curent, tensiune, putere etc.) cu fundamentala acestuia. • Pentru seria Fourier, distorsiunea armonică procentuală, pentru fiecare componentă este dată de una din relaţiile:

6. Transformata Laplace • Transformata Laplace a unui semnal in timp continuu x(t) poate fi exprimata prin relatia: • Poate fi reprezentata in planul s in doua dimensiuni, cu σ de-a lungul axei reale si pulsatia Ω pe axa imaginara.

7. Tehnici (Transformate) utilizate in procesarea semnalelor digitale • Corelatia (autocorelatia); • Convolutia (produsul de convolutie); • Transformata Fourier Discreta (TFD-fft); • Transformata z; • Transformata Hilbert; • Transformata Wavelet.

8. CORELATIA • Permite recunoasterea sau identificarea semnalelor emise (radar, ECG); • Pt. un semnal (secventa) de IN x[n] si o secventa data(sablon) h[n] de lungime ct. M, corelatia se defineste:

9. CONVOLUTIA • Este unul dintre cei mai importanti algoritmi utilizati in procesarea numerica a semnalelor; • La convolutia dintre coeficientii unui sistem liniar si semnalul de IN (x[n]), esantionul curent de IE se obt. ca suma ponderata a ultimelor N esantioane ale semnalului de IN;(pt. calculul esantionului de IE sunt necesare N inmultiri si N-1 adunari); • Convolutia semnalelor poate fi determinata: • Direct:utilizand formula de def.; • Indirect: utilizand transformata Fourier (se calculeaza transf. Fourier, se face produsul semnalelor si apoi se calculeaza transformata Fourier inversa);

10. Transformata Fourier discreta-TFD • Ofera informatii despre spectrul de frecventa al unui sistem (spectrul unui semnal discret); • Este utilizata pt. esantionarea datelor vectoriale (multimea semnalelor armonice in care semnalul discret poate fi descompus); • Transforma N esantioane ale unui semnal din domeniul timp in N valori complexe din domeniul frecventa;

11. Conversia din domeniul timp in domeniul frecventa utilizand TFD

12. Legatura dintre Transformata Fourier si Transformata Fourier discreta • Considerand ca tensiunea u[nTe] provine din tensiunea u(t), esantionata cu frecventa fe=1/Te, atunci TFD poate fi privita ca un caz particular al Transformatei Fourier in care:

13. Transformata Fourier discreta rapida • Algoritm de calcul f. eficient pt. analiza unui semnal in raport cu frecventa; • Reduce nr. de calcule matematice de la N2 operatii la N/2 * log2(N); • Daca aplicam TFD unei secvente de N date, semnalul caruia ii va corespunde spectrul rezultat se obtine multiplicand prin periodicitate aceasta secventa (daca secventa nu contine un nr. intreg de perioade spectrul rezultat nu este corect);

14. Spectrul dat de TFD pt. o secventa de date

15. Transformata z • Este o unealta matematica f. utila pt. analiza si proiectarea semnalelor in timp discret; • Plecand de la Transf. Fourier in timp discret a unui semnal x[n] si notand variabila complexa z=ejω se obtine transformata z a semnalului:

16. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Procesorul de semnal (DSP) nu poate opera cu ambele concepte simultan. Pentru a calcula ieşirea unui sistem pentru un semnal de intrare dat, trebuie să-i furnizăm o metodă de calcul a rezultatului logică, pas cu pas. Suntem deci în faţa unei dileme: dacă semnalul de intrare este o serie secvenţială de pulsuri numerice, deci un semnal în domeniul timp şi sistemul este descris prin răspunsul său în frecvenţă, cum va executa DSP –ul acest program ? • Transformăm semnalul de intrare în domeniul frecvenţă; • Transformăm răspunsul sistemului în domeniul timp. Amândouă tipurile de transformări sunt utilizate în procesarea numerică a semnalului. Adesea transformăm răspunsul în frecvenţă în domeniul timp pentru a ne permite să construim filtre numerice.

17. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă • Cu filtrele FIR sau IIR producem o reprezentare în domeniul timp a răspunsului filtrului, pe care îl combinăm cu semnalul de intrare pentru a calcula ieşirea rezultantă. • Altă metodă este de a converti semnalul de intrare în domeniul frecvenţă, care este extrem de util când dorim să înţelegem caracteristicile de frecvenţă ale unui semnal. De exemplu, cunoaşterea răspunsului în frecvenţă a unui canal de telecomunicaţii este extrem de utilă. Aceasta ne permite să decidem care este frecvenţa maximă pe care o putem transmite şi ce distorsiune va căpăta semnalul după străbaterea canalului.

18. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă • Alt exemplu este în analiza vorbirii. Prin transformarea semnalului de vorbire în componente de frecvenţă, putem distinge între vorbitori şi putem determina cuvintele rostite. Aceasta este foarte util în recunoaşterea şi identificarea vorbirii, două aplicaţii care au crescut în interes o dată cu creşterea performanţelor DSP –urilor. • Alt exemplu foarte evident al transformării unui semnal din domeniul timp în domeniul frecvenţă este în analizoarele de spectru, care sunt acum în uz general în majoritatea laboratoarelor electronice. Analizoarele de spectru pot fi utilizate pentru a examina ieşirea de la senzorii ataşaţi structurilor mecanice, de exemplu: poduri, unde o schimbare semnificativă în răspunsul în frecvenţă poate însemna o solicitare excesivă a unei anume părţi a structurii şi ruperea în viitorul imediat.

19. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Jean Baptiste Joseph Fourier a obţinut formulele sale clasice în anul 1822 ! În lucrarea lui Fourier intitulată Mémoire sur la propagation de la chaleur dans lescorpssolides, la paginile 218 și 219, se pot citi următoarele: • Înmulțind ambele părți cu • și apoi integrând de la la rezultă:

20. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Modelul fazorului Ca un punct de plecare, avem nevoie de o metodă simplă pentru descrierea unui semnal. Vom utiliza modelul fazorului. Un fazor este de fapt un vector care se roteşte în planul complex, cu o amplitudine A şi o viteză de rotaţie ω rad/sec.

21. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Dacă luăm un moment instantaneu de timp, putem vedea că semnalul în acel moment, x(t) este dat de: X(t) = (coordonata reală) + j (coordonata imaginară) = a + jb unde:

22. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Cealaltă metodă, este forma polară, unde: x(t) = A ej(ωt) şi ej(ωt) = cos (ωt) + j sin(ωt)

23. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Descrierea fazorului poate fi cu uşurinţă extinsă la timpul discret sau sisteme numerice, unde semnalul se produce numai la intervale specifice de timp, definite prin intervalul de eşantionare TS: x(n) = Aej(nωTs) Astfel în loc de variabila continuă timp t, avem acum o variabilă discretă n, astfel că fazorul avansează în salturi de TS. Luând oricare dintre cazuri, continuu sau discret, dacă avem o valoarea iniţială pentru x: x(0) = Aej(α) Putem obţine forma generală pentru ambele ecuaţii, după cum urmează: x(t) = Aej(ωt + α) sau x(n) = Aej(nωTs + α) Aceste simple ecuaţii formează baza tuturor analizelor următoare.

24. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Modelarea sinusoidelor Întorcându-ne la descrierea lui ej(ωt) putem să îl rescriem astfel: ejθ = cosθ + jsinθ de asemenea: e-jθ = cosθ – jsinθ. unde θ = (ωt + α) sau (nωTS + α) Din aceste două ecuaţii putem obţine următoarele relaţii:

25. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Aceasta înseamnă că un semnal general sinus sau cosinus, x(t) poate fi definit ca suma a doi fazori. De exemplu Astfel semnalul nostru cosinus poate fi reprezentat prin doi fazori care formează o pereche conjugată.

26. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Aceasta înseamnă că au aceeaşi valoarea reală (a) şi valori egale şi de semn contrar pentru b. Putem calcula forma fazorului a unei forme de undă sinusoidale şi vom găsi că aceasta constă de asemenea într-o pereche conjugată de fazori, însă semnul va fi diferit.

27. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă Să ne reamintim că fazorii noştri se rotesc în oricare direcţie, în sensul acelor de ceasornic sau în sens contrar şi că putem obţine o proprietate foarte interesantă şi anume că toate semnalele reale trebuie făcute din perechi conjugate de fazori, astfel că suma vectorilor va fi întotdeauna legată de axa reală.

28. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă • Serii Fourier Formele de undă mai complicate pot să fie de asemenea împărţite în mai multe forme de undă sinus sau cosinus. De exemplu, un tren de pulsuri dreptunghiulare constă într-un număr infinit de forme de undă sinusoidale de o amplitudine variabilă. Astfel, putem descrie orice semnal periodic complex ca o sumă de mai mulţi fazori. O metodă de descriere a semnalului în acest mod este numită serii Fourier, care presupune că setul fazorilor are frecvenţe care sunt multipli de anumite frecvenţe fundamentale, f0 (sau frecvenţe unghiulare ω0)

29. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă • Serii Fourier Orice semnal periodic poate fi reprezentat printr-o serie Fourier cu condiţia ca N să fie destul de mare. Componentele individuale de frecvenţă sunt cunoscute ca şi armonici. Putem construi modelul Fourier mai general prin utilizarea fazorilor ai căror frecvenţe nu sunt legate armonic care este în general cazul când un semnal complex nu este periodic (majoritatea cazurilor în aplicaţiile reale): Orice formă de undă arbitrară poate fi reprezentată printr-o serie Fourier de acest tip general.

30. Serii Fourier Discrete • Acum avem nevoie să translatăm aceste ecuaţii continue în timp în domeniul discret sau numeric pentru a ne permite să obţinem anumite formule folositoare pentru DSP –uri. • Analiza de mai sus poate fi extinsă la sisteme cu timp discret. Tot ceea ce e necesar este să înlocuim funcţia continuă t, cu una care progresează în salturi de ω0TS astfel că pentru cazul periodic Este interesant de remarcat că atunci când saltul fazei pentru armonica de ordinul k este dat de: k ω0TS = 2πm unde m este un întreg, faza nu se distinge de cazul când k = 0.

31. Aceasta se întâmplă deoarece 2 π = 3600 şi are loc când: Aceasta înseamnă că răspunsul în frecvenţă al unui semnal discret este periodic, cu o perioadă de 1/TS. Am utilizat acum modelul de fazor simplu pentru a descrie un semnal discret general. Utilizând această descriere putem merge mai departe să explicăm cum putem face transformarea între domeniile timp şi frecvenţă.

32. Semnale neperiodice – Transformata Fourier În aplicaţiile reale, cele mai multe semnale nu sunt periodice, deci trebuie să modificăm seria noastră Fourier ca să cuprindă aceasta. Hai să considerăm seria Fourier generală unde toate frecvenţele sunt legate armonic, deci ωk = ωk0 Faptul că semnalul final nu este periodic poate fi reprezentat prin ω0 0 Această ecuaţie pur şi simplu stabileşte că nu există “cel mai mic numitor comun” în frecvenţele tuturor fazorilor noştri separaţi. Când numărul fazorilor tinde către infinit şi suma noastră devine o integrală:

33. În ecuaţia de mai sus am presupus că amplitudinea semnalului poate fi definită ca o funcţie de frecvenţă (ω), deci x(ω). Ecuaţia “inversă” care defineşte pe x(ω) este dată de: Astfel, avem acum o ecuaţie care ne permite să calculăm amplitudinea răspunsului unui semnal continuu în domeniul frecvenţă utilizând răspunsul său în domeniul timp. Aceste două ecuaţii sunt numite perechea de transformate Fourier. Aceste formule sunt foarte utile pentru matematicieni însă, din nefericire, nu este posibil să le implementăm pe un DSP. Evident, acum este necesar un număr infinit de măsurători pentru a determina funcţia x(ω). În practică, transformatele Fourier nu sunt în realitate calculate; pur şi simplu utilizăm tabelele de perechi de transformate Fourier care se găsesc tipărite în majoritatea cursurilor de matematică sau de DSP

34. Transformata Fourier discretă (DFT) Pentru a găsi echivalentul discret al transformatei Fourier, trebuie să înlocuim variabila continuă t cu variabila discretă nTS. În afara intervalului ±π/TS, spectrul se repetă; astfel putem schimba limitele de integrare ωTS şi integrala devine acum: Transformata inversă este:

35. Consideratii practice Până acum, am introdus o metodă de descriere a unui semnal care variază în timp, numită modelul fazorului. Am raportat acest model la formele de undă sinus şi cosinus şi am introdus seriile Fourier, care ne spun că orice semnal periodic poate fi reprezentat printr-un număr de forme de undă sinusoidale raportate armonic. După ce am făcut seriile Fourier mai generale prin eliminarea relaţiei dintre armonici am aplicat forma discretă a ecuaţiei care în final ne-a dat perechea de DFT. Astfel acum avem o pereche de ecuaţii care ne va permite să transformăm orice semnal discret între domeniile timp şi frecvenţă, însă cum programăm DSP –ul pentru a face-o DFT ?

36. Referindu-ne în urmă la ecuaţia DFT pentru x(ω), există două probleme evidente: • Prima, în lumea reală o adunare infinită nu este posibilă, că nu vom furniza niciodată un răspuns. • A doua, suntem limitaţi în timp când trebuie să calculăm o ieşire – chiar şi cu un DSP. Astfel, suntem restrânşi în numărul frecvenţelor la care putem face calculele matematice.

37. Prima problemă este uşor de depăşit: Trebuie să luăm doar o secţiune din mărimea de intrare x(n). Aceasta este de obicei referită ca deschidere şi este utilizată în multe alte aplicaţii. Dacă executăm DFT asupra lui x(n) deschis, spectrul rezultant este dat de: XN(ω) = X(ω) * W(ω) unde XN(ω) denotă spectrul deschis cu N – numărul de eşantioane utilizate, W(ω) denotă spectrul deschiderii cu * denotă convoluţia dintre W(ω) şi x(ω).

38. Fereastra ideală ar trebui să aibă un spectru dreptunghiular în domeniul frecvenţă. Spectrul de frecvenţe va fi periodic cu frecvenţa ωS, un spectru dreptunghiular în domeniul frecvenţă implică faptul că nu vom produce nici o interferenţă între buclele adiacente ale răspunsului. Din nefericire, un răspuns în frecvenţă dreptunghiular este practic imposibil de realizat. • Să presupunem că am ales o funcţie de deschidere. Trebuie să ştim cum are sens să utilizăm numai un număr limitat de frecvenţe şi cât de multe frecvenţe sunt necesare pentru a menţine o suficientă acurateţe. În principiu nu este un răspuns simplu. În general, numărul optim de fazori este egal cu numărul punctelor iniţiale în x(n) deci, N. Calea cea mai simplă ca să ne inaugurăm aceasta este să presupunem că porţiunea noastră deschisă din x(n) constă într-o perioadă dintr-o secvenţă lungă cu perioada NTS şi frecvenţa ωS/N. Dacă facem aceasta putem trata secvenţa ca pe o serie Fourier şi putem vedea că spectrul va consta în N fazori.

39. Am remarcat mai devreme că spectrul unei DFT este periodic cu perioada ωS, astfel dacă spunem că fazorii sunt separaţi între ei prin δ atunci: Nδ = ωS Aceasta ne-a permis să digitizăm scala de frecvenţe astfel că spectrul nostru poate acum fi scris în termeni de k în loc de ω:

47. Transformate Fourier • Obiectiv: descompunerea unui semnal complex intr-o suma de semnale simple • semnale simple: set de semnale sinusoidale • pentru ca sunt ortogonale • nu isi schimba forma la trecerea printr-un sistem liniar (se schimba amplitudinea si faza, dar semnalul ramane sinusoidal si de aceeasi frecventa) • Mai multe tipuri de transformate Fourier pentru diferite tipuri de semnale:

48. Transformate Fourier • Mai multe tipuri de transformate Fourier pentru diferite tipuri de semnale

49. Transformata Fourier Discreta • se aplica numai semnalelor discrete periodice • pentru ca are un numar finit de termeni • se poate calcula printr-un numar finit de pasi • semnalele digitale aperiodice pot fi “transformate” artificial in semnale periodice • transformata Fourier discreta (DFT) transforma un set de N esantioane de intrare (din domeniul timp) in 2 seturi de N/2+1 esantioane de iesire din domeniul frecventa • un set de amplitudini pentru functii cosinus – partea reala • ReX[k], pentru functii ck[i] = cos (2πki/N) – cos() esantionat • un set de amplitudin pentru functii sinus – partea imaginara • ImX[k], pentru functii Sk[i] = sin (2πki/N) – sin() esantionat unde k=0 - N/2, iar i=0 – (N-1)

50. Sinteza unui semnal pe baza coeficientilor transformatei Fourier discrete: • unde sunt valorile normalizate ale coeficientilor din transformata Fourier discreta