INTERÉS COMPUESTO

1. INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la que después de la primera, su monto constituye el capital inicial de la siguiente. Al final del primer período de capitalización, el monto de una operación a interés compuesto coincide con el monto a interés simple, si son iguales las tasas y los capitales iniciales.

2. Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración:1. La tasa nominal ( j )2. La tasa efectiva( i )3. El número de períodos de capitalización en el año (m), el cual se halla relacionando con el año bancario y la frecuencia de capitalización de la tasa de interés.4. La frecuencia de capitalización (f):número de días del período capitalizable.

3. Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración: 5. El horizonte de tiempo (H): número de días de la operación. Si un contrato de préstamo se amortiza en cuotas o partes, entonces H = H1 + H2 + ... + Hn; donde los Hk representan el número de días de cada cuota.6. El número de períodos de capitalización (n)en el horizonte temporal. Se entiende que el número de capitalizaciones debe ser un número entero dado por el cociente H / f.

4. 1. Cálculo del montoSi tenemos un capital P, que gana una tasa i por período de tiempo durante n períodos capitalizables, tendríamos al final del horizonte temporal el monto S siguiente: S = P( 1 + i )n (13 )

5. En esta fórmula y las demás del interés compuesto, la tasa de interés compuesto i se refiere al período de capitalización. El número de períodos a capitalizar n y la tasa i, necesariamente deben estar Expresados en la misma unidad de tiempo años trimestres, meses, días, etc.).

6. El factor (1+i)n es el factor simple de capitalización compuesto FSC. La fórmula (13) entonces puede representarse:S=P.FSCi;n (14)y se lee, el FSC a una tasa i de n períodos transforma una cantidad presente P en un valor futuro S.

7. 1.1 El factor simple de capitalizaciónEl FSC, factor simple de capitalización (1 + i)n es el monto compuesto de I a una tasa i por período, durante n períodos y su función es llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.Ejemplo 1. Calcule el monto de un capital inicial de S/.9 000 colocado durante 6 años a una tasa efectiva anual del 24%.

8. SoluciónDatos: FórmulaS = ? S = P ( 1 + i )np = 9 000 S = 9 000 (1 +0,24)6n = 6 S = 32 716,9359 i = 24%

9. Ejemplo 2. Calcule el moto de un depósito inicial de S/. 14 000 colocado durante 8 meses en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 3.5%.SoluciónDatos: FórmulaS = ? S = P (1 + i )nP =14 000 S =14 000 ( 1+ 0,035 )8n = 8 S =18 435,326 i = 0,035

10. Ejemplo 3. Un banco paga por los depósitos que recibe del público una tasa nominal mensual del 4% con capitalización trimestral. ¿Qué monto se habrá acumulado con un capital inicial de S/. 18 000 colocado durante 6 meses?.Solución Datos: Fórmula:S = ? S = P ( 1 + i )nP = 18 000 S = 18 000 (1 + 0,12 )2n = 2 trim. S = 22 579,2 i = 0,12

11. En los problemas de interés compuesto deben expresarse i y n en la misma unidad de tiempo, efectuando de ser necesario las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo..

12. 1.2 El FSC con n no enteroEl interés es función del tiempo, por ello se considera que el capital devenga un interés continuo que capitaliza discretamente (al final de cada cierto período de tiempo). Entonces para un número no entero de períodos de capitalización, el FSC se ajustará a la función exponencial del tipo (1 + i )H / f

13. En la deducción del monto compuesto queda establecido que:‑ Las capitalizaciones se efectúan a final de cada período.‑ Si la operación a interés compuesto se interrumpe en algún punto del tiempo que no coincide con el momento de capitalización, por esta fracción de período no existe la obligación de pagar interés.‑Por acuerdo entre deudor y acreedor y de acuerdo a las prácticas financieras, el interés compuesto para un número no entero de períodos capitalizados se calcula aplicando exponente fraccionario.

14. S = P ( 1 + i ) H / f (15) Ejemplo 4.‑ Consideremos un capital de S/.12 000 depositado en un banco donde gana una tasa efectiva anual del 10%. ¿Qué monto tendrá que pagarse si el depósito se cancela al finalizar el primer semestre?

15. SoluciónDatos: FórmulaS= ? S = P ( 1 + i ) H / fP= 12 000 S = 12 000 (1 + 0,10)6 / 12i = 0,10 S = 12 585,7056H= 6; f =12

16. Ejemplo 5. Una persona solicita a un banco un préstamo de S/. 12 000, el mismo que se le abona en su cuenta corriente el 20 de abril. ¿Qué monto deberá pagar el 28 de julio, fecha que cancela el préstamo, si él banco cobra una tasa efectiva mensual del 4%?SoluciónDatos: Fórmula:S = ? S = P (1 +i )H / fP = 12 000 S = 12 000 (1 + 0,04) 99 / 30H = 99 S = 13 658,1312f = 30i = 0,04

17. Ejemplo 6. ¿Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario de S/.4 800 vigente desde el 21 al 30 de agosto, si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3.5%?SoluciónDatos: Fórmula:S = ? S = P ( 1 + i ) H / fP = 4 800 S = 4 800 (1 + 0,035)9 / 30H = 9 S = 4 849,79f = 30i = 0,035

18. 1.3 Tasa nominal y tasa efectivaCuando una tasa es susceptible de dividirse o multiplicarse para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de tasa nominal. En este caso la tasa nominal es una tasa referencial mientras la tasa efectiva refleja el número de capitalizaciones que ha experimentado durante un plazo determinado.

19. El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces en un plazo determinado durante n períodos se calcula con la siguiente fórmula: j n S = P 1 + ( 16 ) m

20. Ejemplo 7. Calcular el monto a pagar dentro de 6 meses por un préstamo bancario de S/. 14 000 a una tasa nominal anual del 24% capitalizable mensualmenteSoluciónDatos: FórmulaS = ? j nn = 6 meses S = P 1 + P = 14 000 mj = 0,24%m = 12 S = 14 000 (1 + 0,24/ 12)6S = 15 766,27 j n S = P 1 + ( 16 ) m

21. Ejemplo 8. La empresa ABC S.R.Lda. compró en el Banco del Oriente un Certificado de Depósito a Plazo (CDP) por el importe de SI. 15 000 a un año de vencimiento, ganando una tasa nominal anual del 33% con capitalización trimestral, el cual tuvo que redimirlo al fin del noveno mes. ¿Cuál fue el monto que originó dicha inversión? Solución Datos: Fórmula S = ? j H / fP = 15 000 S = P 1 + m = 12 / 3 = 4 mH = 270 díasf = 90 días S = 15 000 (1 + 0,33/ 4) 270 / 90j = 0,33 S = 19 027,20398

22. 1.4 El FSC con variaciones en la tasa de interésCuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, el FSC capitaliza la unidad monetaria a esa misma tasa durante n períodos:(1 + i) n = ( 1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) …Si la tasa por período varía, las capitalizaciones durante el plazo pactado H, se efectúan cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para cada período de tiempo vigente.

23. Ejemplo 9.‑ Calcule el monto de un capital de SI. 11 000 colocado durante cuatro meses. La tasa efectiva mensual pactada es del 2.5%, 3%, 4% y 4.5% para el primer, segundo, tercer y cuarto mes respectivamente.SoluciónDatos: FórmulaS = ?S = P (1 + i1 ) (1 + i2 ) ( 1 + i3 ) (1 + i4 )P = 11 000 S = 11000 (1+0,025) (1+ 0,03) (1+ 0,04) (1+ 0,045)i1 = 0,025 S = 11 000 (1,1473891)ii = 0,03 S = 12 621,2801i3 = 0,04i4 = 0,045

24. Ejemplo 10. Una empresa solicitó a un banco un préstamo de S/. 75 000 cancelable dentro de 6 meses a una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral. La tasa es variable de acuerdo a las condiciones del mercado. En la fecha de vencimiento del contrato de crédito se conocen las siguientes variaciones de tasas anuales: 36% durante los dos primeros meses y 48% para el resto del período, ambas capitalizables trimestralmente. ¿Qué monto deberá cancelar al vencimiento?SoluciónDatos: FórmulaS = ?S = P ( 1 + i1 ) H1/ f ( 1 + i2 ) H2 / fP = 75 000 S = 75 000 (1 + 0,36/4)2/3 (1 + 0,48/4)4 / 3i1 = 0,09 H1 = 2 meses S = 75 000 (1,09) (1,12)ii = 0,12 H2 = 4 meses S = 75 000 (1,059134216) (1, 03849882)f = 3 meses ( 1 trimestre ) S = 75 000 ( 1.099909634) = 82 493,22254

25. 2. Cálculo del capital inicialDe la ecuación (13) despejarnos PP = S (1 + i)-n (17)El factor ( 1 + i )-n es el factor simple de actualización compuesto FS A. La fórmula (17) entonces puede representarse:P = S.FSAi ; n (18)y se lee: el F.S.A a una tasa i de n períodos transforma una cantidad futura S en un valor presente P

26. 2.1 El factor simple de actualizaciónEl FSA, factor simple de actualización, (1+ i)-n es el valor presente compuesto de 1 a una tasa i por período, durante n períodos y su función es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad del presente.Generalmente n es un exponente entero, pero cuando H y f no sean múltiplos n se expresará en la forma de fracción H / f, adoptando el F.S.A la siguiente expresión( 1 + i )- H / f

27. Ejemplo 12. El 6 de abril la empresa EMDEPALMA descontó en el Banco Internacional un pagaré cuyo valor nominal fue de S/. 60 000 y su vencimiento el 5 de junio. Calcule el importe abonado por el banco a EMDEPALMA. considerando una tasa nominal del 36% anual con capitalización mensual.SoluciónDatos: FórmulaP = P = S (1 + i )-nS = 60 000 P = 60 000(1+ 0,36/12)- 2i = 0,36/12=0,03P = 56 555,7546n = 60 días (2 meses)

28. 2.2 FSA con variaciones en la tasa de interés Cuando la tasa de interés por período varía, la actualización durante el plazo pactado se efectúa cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para cada período de tiempo vigente. En forma similar al FSC, el FSA queda modificado del siguiente modo:(1 + i1 )-(H1/ f) (1 + i2)-(H2/ f) (1 + i3)-(H3/ f ) …Donde H1 + H2 + H3 + ... = H

29. Ejemplo 13. Un Gerente, faltando 15 días para su vencimiento negocia una letra de S/.15 000 en un banco a una tasa nominal anual del 48% con capitalización mensual. ¿Qué importe recibió el Gerente?SoluciónDatos: Fórmula P = ? P = S (1 + ¡ )- (H / f)S = 15 000 P = 15 000 (1 + 0,48 / 12)- (15 / 30)H = 15 días P = 15 000 x 0,980580675f = 30 días P = 14 708,71014i = 0.48 / 12

30. Ejemplo 14. Un pagaré con valor nominal de S/. 20 000 y vencimiento dentro de 60 días es descontado matemáticamente hoy, aplicando una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual. a) ¿Cuál, será el importe a cancelar al vencimiento, si la tasa anual bajó al 24% después de 22 días? b) ¿Cuál hubiese sido el importe verdadero del abono de haber conocido de antemano la disminución en la tasa de interés?

31. Solucióna) Importe a cancelar al vencimiento Debido a que el monto se ha descontado originalmente con la tasa del 36%, hallaremos su valor presente y lo llevaremos al futuro con las variaciones de tasas ocurridas: 22 días al 36% anual y 38 días al 24% anual.1) Cálculo del valor presenteDatos: FórmulaP = ? P = S (1 + i )- nS = 20 000 P = 20 000 (1 + 0,36 / 12)- 2i = 0,36 / 12 P = 18 851,91818n = 60 días ( 2 meses)2) Cálculo del valor futuro (importe al vencimiento)Datos: FórmulaS1 = ? S1= P(1 + i1) H1/ f (1+ i2)H2 / fP= 18 851,91818 S1= 18 851,91818 [(1+0,36/12)22/ 30 (1+ 0,24 /12)38/ 30]i1 = 0,03 H1 = 22 días S1= 18 851,91818 ( 1,047870262)i2 = 0,02 H2 = 38 días S1= 19 754,36f = 30 días (1 mes)

32. b) Cálculo del valor presente con variaciones de tasas.Si se hubiesen conocido en la fecha del descuento las futuras variaciones de tasas (lo cual no es posible, debido a las fluctuaciones de tasas en el mercado), el importe verdadero del valor presente sería calculado del siguiente modo.Solución Datos: FórmulaP1= ? P1 = S (1 + i1 ) - (H1/ f) ( 1 + i2 )- (H2 / f)S = 20 000 P1 = 20 000 (1+ 0,03)- (22/30) (1 + 0,02)- (38/30)i1 = 0,03 H1 = 22 días P1 = 20 000 ( 0,954316613)i2 = 0,02 H2 = 38 días P1 = 19 086,33f = 30 días (1 mes) • En el caso a) se recibe 18 851,92 y se cancela 19 754,36 • En el caso b) se recibe 19 086,33 y se cancela 20 000 al vencimiento del pagaré.