390 likes | 956 Views
BENZET İ M. 8. Ders. Prof.Dr. Berna Dengiz. BENZETİM . GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ BELİRLENMESİ Varışlar arası zamanlar veya talep genişlikleri gibi rassal girdileri kullanan bir benzetimi gerçekleştirmek için bu girdilerin olasılık dağılımlarının belirlenmesi gerekir.
E N D
BENZETİM • 8. Ders Prof.Dr.Berna Dengiz
BENZETİM GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ BELİRLENMESİ • Varışlar arası zamanlar veya talep genişlikleri gibi rassal girdileri kullanan bir benzetimi gerçekleştirmek için bugirdilerin olasılık dağılımlarının belirlenmesi gerekir. • Benzetim bu dağılımlardan üretilen rassal değerleri kullanır. • Uygulamada karşımıza çıkan sistemler genellikle bir ya da daha fazla rassallık kaynağına sahiptirler.
BENZETİM Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler: SİSTEMRASSALLIK KAYNAĞI Üretim İşlem zamanları , arızalanma aralıkları, tamir süresi
BENZETİM Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler: SİSTEMRASSALLIK KAYNAĞI Bilgisayar İşlerin varışlar arası zaman aralığı , iş tipleri , işlem zamanı
BENZETİM Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler: SİSTEMRASSALLIK KAYNAĞI Haberleşme Mesajların varışlar arası zaman aralığı, mesaj tipleri, mesaj uzunlukları
BENZETİM Girdi Dağılımlarının Belirlenmesinde 4 Adım: • veri toplama • dağılım ailesinin belirlenmesi ( üstel, normal , vb.) • parametre tahmini • uygunluk testi Uygunluk testi ile seçilen dağılım kabul edilmez ise , 2. adıma geri dönülür ve farklı bir dağılım seçilerek prosedür tekrarlanır. Toplanan veri bilinen dağılımlardan hiçbirine uymuyor ise , AMPİRİK DAĞILIM tanımlaması yapılır.
BENZETİM 1. VERİ TOPLAMA Model girdileri için gerçek sistemden verilerin toplanması işlemidir. Veri toplamada uyulması gereken kurallar: • Sistem önceden gözlenmeli ve hangi verilerin toplanması gerektiğine , hangi zamanlarda verinin toplanacağına karar verilmelidir. Veri toplamak için gerekli formlar hazırlanmalıdır. • Girdi dağılımını belirlemek için yeterli verinin toplanması gerekir.
BENZETİM • Sistemi iyi temsil edecek şekilde veri ( homojen veri ) toplanmalıdır. Bu nedenle ardışık günlerin aynı zaman peryotlarında ve aynı günün ardışık zaman periyotlarında veri toplanarak verinin homojenliği kontrol edilmelidir. • Homojenliği kontrol etmek için kullanılan testlerden biri 2 örnekli t-testidir. Bu test ile dağılımların ortalamalarının eşit olup olmadığı test edilir. • İki değişken arasında bir ilişkinin olup olmadığının belirlenmesi gerekir. Scatter diyagramları kullanarak ilişkinin varlığı gözlemlenebilir. Regresyon analizi de değişkenler arasında ilişkinin belirlenmesinde kullanılmaktadır
BENZETİM 2. DAĞILIM AİLESİNİN BELİRLENMESİ Nokta İstatistikleri • Bazı özel dağılımlar özel istatistik değerlere sahiptir. Bu istatistikler veriden elde edilir ve teorik dağılımın nokta istatistikleri ile karşılaştırılır. • Ortalama , median , varyans
BENZETİM Değişim Katsayısı Ve Lexis Oranı Değişim katsayısı sürekli dağılımın şekli hakkında bilgi sahibi olmayı sağlar. • Üstel dağılım için, ise , dağılımın üstel olduğunu gösterir.
BENZETİM Bazı Sürekli Dağılımlar İçin Değişim Katsayısı
BENZETİM Lexis Oranı ; kesikli dağılımlar için kullanılır. Değişim katsayısı ile aynı işleve sahiptir.
BENZETİM Çarpıklık Ve Basıklık Katsayısı Çarpıklık katsayısı , bir dağılımın simetrikliğinin ölçüsüdür. • 3 = 0 ise dağılım simetrik; 3 > 0 ise dağılım sağa çarpık ; 3 < 0 ise dağılım sola çarpıktır. • normal dağılımda 3 = 0 • üstel dağılımda 3 = 2
BENZETİM Basıklık Katsayısı; dağılımın yüksekliğinin ölçüsüdür. • Normal dağılımda 4 = 3 • Uniform Dağılımda 4 = 1. 8 • Üstel Dağılımda 4 = 9
BENZETİM Histogramlar • Bir histogram , toplanan verinin dağılımı ile ilgili olasılık fonksiyonunun grafiksel tahminidir. • Bir histogram, veri için uygun bir model olarak araştırılan dağılımlar ile ilgili iyi bir ipucu verir. • Veriden yararlanılarak elde edilen histogram teorik dağılımın şekli ile karşılaştırılır.
BENZETİM • x1,x2 , . . . . . ,xn gözlemler olsun. Açıklık eşit uzunlukta k aralığa bölünür. • Bir aralığın genişliği ∆b olsun; ∆b : [b0,b1], [b1,b2],…… [bk-1,bk] Genel olarak aralık genişliği ∆b = [bj-bj-1] olarak yazılır. • hj : [bj-1-bj] aralığına düşen x oranını göstersin.
BENZETİM • Çizilen histogramlar , teorik dağılımın şekli ile karşılaştırılarak verinin hangi dağılımdan geldiği belirlemeye çalışılır
BENZETİM Aralık Sayısının Belirlenmesi
BENZETİM Aralık Genişliğinin Belirlenmesi • Bir histogramın çiziminde aralık genişliğinin belirlenmesi önemlidir. • Aralık genişliğinin çok büyük ya da küçük alınması ile çizilen histogram , verinin hangi dağılımdan geldiğine ilişkin iyi bir bilgi vermez.
BENZETİM • Bu nedenle farklı b değerleri için histogram çizilerek standart dağılımlardan birisinin yoğunluk fonksiyonuna benzeyenhistogramseçilmelidir.
BENZETİM Quantile (Çeyrek) Özetleri • Quantile özeti; veriye giydirilen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ya da olasılık fonksiyonu)’ nun simetrik, sağa ya da sola çarpık olduğunu belirlemek için kullanılır
BENZETİM Tablo1. Quantile özeti yapısı
BENZETİM • XI 'lerin dağılımı simetrikse, • median • quartile • octile ve • extramum nokta değerleri yaklaşık olarak birbirine eşittir. XI'lerin dağılımı; • Sağa çarpık ise; orta nokta değerlerinde artış • Sola çarpık ise; orta nokta değerlerinde azalış söz konusudur.
BENZETİM 3) Parametre Tahmini • Veri için uygun bir dağılım belirlendikten sonra , bu dağılımın benzetimde kullanımı için parametre değerlerinin belirlenmesi gerekir. • Elde edilen x1,x2, . . . .xn veri seti, dağılımın parametrelerinin tahmin edilmesinde kullanılır. • Bir tahminci, verinin numerik bir fonksiyonudur. Bu dağılımın parametresini ( ya da parametrelerini) tahmin etmek için kullanılan çeşitli metotlar vardır.
BENZETİM Parametre Tahmini Metotları • maximum likehood tahmin edici (MLE) • en küçük kareler tahmin edici • moment metodu Burada MLE metodu anlatılacaktır
BENZETİM MAXİMUM LIKELIHOOD METODU Veriye uydurulan dağılımın bir kesikli dağılım olduğunu kabul edelim. Bu dağılımın bir parametresi ; olsun..(Dağılımın parametresi) Pө(x) : Dağılımın olasılık fonksiyonu x1 , x2 ,,,,,,,,xn : gözlemlenen değerler verildiğinde ; Likehood fonksiyonu L() aşağıdaki gibi tanımlanır. L()=Pө(x1) Pө(x2)….. Pө(xn) L();"bileşik olasılık fonksiyonu" dur.
BENZETİM ; bilinmeyen parametrelerin değeri ise L() gözlemlenen verinin elde edilme olasılığını verir. ‘ nın bilinmeyen değerinin MLE; L()‘ u maksimize eden değeri olarak tanımlanır ve θ ile gösterilir. MLE max L() θ
BENZETİM 1- ln.L() fonksiyonu artan bir fonksiyondur. 2- L()'nın maximizasyonu lnL() 'nın maksimizasyonuna Eşdeğerdir ve hesaplanması daha kolaydır. elde edilir.
BENZETİM Sürekli Dağılım İçin: f ө(x) : Olasılık yoğunluk fonksiyonu L(θ)= f ө(x1). f ө(x2)…. f ө(xn) lnL(θ) alınır. ile θ parametresi tahmin edilir.
BENZETİM ÖRNEK: Üstel dağılımın β parametresinin MLE ile tahmin edilmesi
BENZETİM 4) Uygunluk Testleri • Uygunluk testi , Fˆ dağılım fonksiyonu giydirilen x1,x2,,,,,,,,xn gözlemlerinin özel bir dağılımdan bağımsız örnekler olup olmadığını belirlemek için kullanılan bir istatistiksel hipotez testidir. • Bir uygunluk testi aşağıdaki hipotezi test etmek için kullanılır. • H0 : xi gözlemleri , Fˆ dağılım fonksiyonu ile bağımsız özdeş dağılmış rassal değişkenlerdir.
BENZETİM Ki-Kare (X2) Testi • X2 testi; veriye ait histogram ile giydirilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun karşılaştırılmasıdır. • Sürekli ya da kesikli durumda X2 test istatistiğini hesaplamak için giydirilen dağılımın tüm alanı k ardışık alana bölünür. • [a0,a1),[a1,a2), ……[ak-1,ak) • a0= - ise [- , a1) , ak= + ise [ak-1, ) • x1,x2,,,,,,,,xn gözlem değerleri olduğunda ; • Nj : J. aralıktaki gözlem sayısı ; [aj-1, aj) j. aralık
BENZETİM Pj : j. aralığa düşme olasılığı . (Giydirilen dağılımdan örnekleme yapılsaydı ; Pj : j. aralığa düşen xi' lerin oranı )
BENZETİM • E[(aj-1, aj)] aralığına düşen gözlem sayısının beklenen değeri, E[(aj-1, aj)]= n.Pj • Test istatistiği; ise (1-) güvenlik düzeyinde veri, düşünülen dağılıma uygundur. H0 hipotezi kabul edilir.
BENZETİM m = k – s - 1 k : aralık sayısı s: tahmin edilen parametre sayısı