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Controle Linear II

Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada. Seja o sistema de controle digital em malha fechada apresentado na figura abaixo . Determine a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau.

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Presentation Transcript

  1. Controle Linear II

  2. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada

  3. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Seja o sistema de controle digital emmalhafechadaapresentadonafiguraabaixo. Determine a resposta no tempodestesistema a umaentradadegrau.

  4. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Como vistoanteriormente, a função de transferênciaemmalhafechada do sistema é: • Sendo G(z) determinadopor:

  5. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Então, a função de transferência do sistemaserá:

  6. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Então, a função de transferência do sistemaserá: • Sendo a funçãodegrau, natransformada Z, dada abaixo, a saída do sistemaserá:

  7. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Saída do sistema: • O valor final de c(kT), quando k ∞:

  8. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Simulação do sistema:

  9. Resposta no Tempo de SistemasemMalhaFechada • Simulação do sistema:

  10. Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

  11. Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

  12. Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

  13. Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z • Matematicamente, também podemos relacionar os pólosentre o plano-S e o plano-Z: • Seja a função de transferência de segundaordem no plano-S: • Os pólosserão: • Essespólos no plano-S serãoequivalentesaos pólos do plano-Z:

  14. Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z • Com a relação dada no slide anterior, e fazendoalgumasmanipulaçõesmatemáticas, obtemososparâmetros de coeficiente de amortecimento, frequência natural e constante de tempopara o sistema de segundaordem: Coeficiente de amortecimento: Frequência natural: Constante de tempo:

  15. EquaçãoCaracterística

  16. EquaçãoCaracterística • Considere o sistema de malhafechadaapresentadonafiguraabaixo: • A função de transferência do sistema é: • A equaçãocaracterística (EC) do sistema é: As raízesda EC sãoospólosdafunção de transferênciaemmalhafechada.

  17. Exemplo • Seja o sistemaapresentadoabaixo: • A função de transferência do sistemaserá: • A equaçãocaracterística do sistema é:

  18. Exemplo • Os pólos do sistemasãocomplexos e localizadosem: • Com esses dados podemosobter o coeficiente de amortaecimento, a frequência natural e a constante de tempo do sistema: Lembrandoque Logo,

  19. Exemplo • Se compararmososvalores do coeficiente de amortecimento, frequência natural e constante de tempo do sistema, veremosqueosvaloresquando o controleé totalmenteanalógicodifere dos valoresquando o controle é digital. Isto se deveaofato do período de amostragem ser alto.

  20. Exemplo • Para que a amostragemnãotenhaefeitosobre o sistema, o período de amostragem T deve ser muitomenor do que a constante de tempo τ do sistema. • A razãoτ/T é simplesmente o número de amostrasporconstante de tempo. ou

  21. Estabilidade de SistemasDiscretos

  22. Estabilidade de SistemasDiscretos • Nestaseçãoseráestudada a estabilidade de sistemas de controlediscretos no tempo. • Considere o seguintesistema: • A estabilidade do sistemaacimaserádeterminadapelalocalização dos pólosemmalhafechada no plano-Z:

  23. Estabilidade de SistemasDiscretos • Assim, tomando a EC do sistemaanalisamos: • Para o sistema ser estável, ospólosemmalhafechadaou as raízesda EC devemestardentro do círculounitário no plano-Z. Qualquerpóloemmalhafechadaqueestiverfora do círculotorna o sistemainstável. • Se um únicopóloestiverem z=1 (oupóloscomplexosem |z|=1), o sistema se tornacriticamenteestável. Mais de um póloemcima do círculounitáriotorna o sistemainstável. • Os zeros emmalhafechadanãoafetam a estabilidadeabsoluta do sistema e portanto, podemestarlocalizadosemqualquerlugar do Plano-Z.

  24. Estabilidade de SistemasDiscretos • Exemplo • Considere o sistema de controledafiguraabaixo. Determine a estabilidade do sistemaquando K =1. • Solução

  25. Estabilidade de SistemasDiscretos • Exemplo • Sendo a função de transferênciaemmalhafechada, • A equaçãocaracterística é:

  26. Estabilidade de SistemasDiscretos • Exemplo • EquaçãoCaracterística: • As raízesda EC são: • Como, • Logo, o sistema é estável.

  27. Estabilidade de SistemasDiscretos – Testes de Estabilidade • Três testes de estabilidadepodem ser aplicadosdiretamente a equaçãocaracterística, P(z) = 0, semterque resolver as raízesdessaequação. • Esses testes são: • Teste de estabilidadeSchur-Cohn • Teste de estabilidade Jury • Transformação bilinear (Critério de Routh-Hurwitz)

  28. Estabilidade de SistemasDiscretos – Testes de Estabilidade • Os doisprimeiros testes revelam a existência de possíveisraízesinstáveis ( raízesque se localizamfora do círculounitário no plano Z); • Ambos os testes ( Schur-Cohn e Jury) podem ser aplicados a equaçõespolinomiais com raízesreaisoucomplexas. • Entre os testes, daremosênfaseaoteste de estabilidade de Jury.

  29. Estabilidade de SistemasDiscretos – Testede Estabilidade de Jury • Um critério de estabilidadeparasistemasdiscretosmuitoutilizado é o critério de Jury (outeste de estabilidade de Jury). • O teste de Jury é aplicado a partir de umaequaçãocaracterística P(z). • Umatabelaseráconstruídasendooselementosdatabela dados peloscoeficientesdaequaçãocaracterística P(z).

  30. Estabilidade de SistemasDiscretos – Testede Estabilidade de Jury • Seja a equaçãocaracterística de um sistemadiscretoexpressacomo: • A tabelapara o teste de Jury é entãoformadacomoapresentadaaolado:

  31. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • As linhas “pares” databelasãooselementosdalinha anterior, mas com a ordeminvertida. • Jáoselementos das linhas “ímpares” sãoformados a partir dos determinantes:

  32. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • As condiçõesnecessárias e suficientesparaque a EC P(z) nãotenharaízesfora do círculounitáriosão: • O teste de Jury pode ser aplicadodaseguintemaneira: • Teste as trêsprimeirascondições (1), (2) e (3). Pare se umadessasnão for satisfeita. • Construa a tabela e teste as condiçõesseguintes. Pare se uma das condiçõesnão for satisfeita. • Para sistemas de ordemn, serãonecessárias um total de n+1restrições.

  33. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • Exemplo 2 • Suponhaque a eq. característica de um sistemadiscretoemmalhafechada é dada pelaexpressão: • Solução A ordem do sistema é 3 (n = 3). Para essa EC temos:

  34. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • Exemplo 2 • Primeiramente, iremosanalisar as trêsprimeirascondições: ok ok ok

  35. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • Exemplo 2 • Passaremospara a construçãodatabela de Jury: Como a ordem do sistema é 3, iremos analisaraté a 4arestrição.

  36. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • Exemplo 2 • Passaremospara a construçãodatabela de Jury: ok

  37. Estabilidade de SistemasDiscretos – Teste de Estabilidade de Jury • Portanto, comotodas as restriçõespossíveisforamsatisfeitas, concluímosque o sistema é estável. • Podemosveressamesmasituação (sistemaestável) aofatorarmos a EC: ok

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