nierówności

1. Rozwiązywanie nierówności w których po jednej stronie jest iloczyn lub iloraz funkcji liniowych, a po drugiej zero. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2. Czy nierówność może rozwiązać uczeń VI-tej klasy szkoły podstawowej ? Wszyscy uczniowie zgodnym chórem odpowiedzą : nie. Wszyscy licealiści z poczuciem wyższości stwierdzą, tą nierówność rozwiążesz dopiero w 2-giej klacie liceum. Pokazując rozwiązanie będą konstruować tabelkę, lub kreślić jakąś krzywą. Na pytanie, dlaczego buduje taką tabelkę, czy co ta krzywa prezentuje, odpowiedzi najczęściej brak, bądź usłyszymy, „ bo tak się uczyłem ”. Niestety, często uczniowie ze szkoły podstawowej zwracając się do starszych o pomoc przy rozwiązaniu zadania, słyszą, umiem rozwiązać to zadanie, ale nie na twoim poziomie. Niestety, starsi nie umieją, albo zapomnieli prostych, arytmetycznych sposobów rozwiązywania wielu zadań. W szkole uczymy się na ogół sztuczek potrzebnych do rozwiązywania zadań. Hokus, pokus i wyciągamy królika z kapelusza. Nic dziwnego, że na tych którzy umieją matematykę, większość społeczeństwa patrzy jak na iluzjonistów.

3. Zatem, czy nierówność może rozwiązać uczeń VI-tej klasy szkoły podstawowej ? Prawidłowa odpowiedź brzmi : może, a bardzo dobry uczeń na dwa sposoby. powinien rozwiązać tą nierówność i to Warto zwrócić uwagę na pytanie, które brzmi: „ czy możerozwiązać ? ”, a nie „ czy potrafirozwiązać ? ” Fakt, że nie potrafię, nie oznacza, że nie mam wiedzy, możliwości, aby problem rozwiązać. Często brakuje nam wiary w siebie, wiary, że nasze umiejętności i wiedza wystarczą do wykonania zadania. Uczniowie nie potrafią wykorzystać swojej wiedzy, bo nie są tego uczeni. Jest to wynikiem nieskutecznego sposobu nauczania matematyki i nie tylko matematyki, ale obecnego systemu nauczania i wychowania. Aby rozwiązać nierówność wystarczy wiedzieć : 1 .kiedy iloczyn jest ujemny ? 2 . jak określić znaki czynników ?

4. 1 .kiedy iloczyn jest ujemny ? Choć odpowiedź jest prosta dla uczniów kl. VI-tej, licealiści , nie od razu dają odpowiedź : iloczyn jest ujemny, gdy ma nieparzystą ilośćczynników ujemnych i żaden nie jest zerem. na znak iloczynu. Wniosek : Czynniki dodatnie nie wpływają …… Korzystając z tego twierdzenia wnosimy, że nasz iloczyn, jest ujemny, gdy ma dokładnie jeden czynnik ujemny ( pozostałe dodatnie), lub wszystkie trzy czynniki są ujemne. Stąd nasza nierówność układów nierówności. jest równoważna alternatywie Aby wszystko było jasne i zrozumiałe, należy precyzyjnie rozumieć znaczenie spójników logicznych i , lub. Spójniki te, wtedy będziemy poprawnie stosować, gdy będziemy kojarzyć je z następującymi słowami : i ------- równocześnie lub --- zachodzi ( spełniony jest ) przynajmniej jeden warunek.

5. 2. jak określić znaki czynników ? Znak którego z czynników określimy natychmiast ? Oczywiście , o ile wiemy kiedy różnica jest ujemna. O ile odpowiedź w tym konkretnym przypadku nie sprawia kłopotu, to odpowiedź w przypadku ogólnym, kiedy przysparza trudności licealistom, choć, wiedzieli o tym w szkole podstawowej. Skorzystajmy z okazji i przypomnijmy kilka pojęć z arytmetyki. Jaką usłyszymy odpowiedź od pierwszoklasisty, gdy damy mu do wykonania odejmowanie Nie da się od mniejszej liczby odjąć większą. Odpowiedź w klasach początkowych jest poprawna. Ale na wyższym etapie edukacji matematycznej, należy zapytać : „ co oznacza, że a jest mniejsze od b ?” Często można usłyszeć narzucającą się określenie Czy jest ono poprawne ? Nie i to z dwu powodów. Po pierwsze, mniejszość wyjaśniamy za pomocą mniejszości, ( przysłowiowe masło maślane ).

6. Po drugie, czy jest to wyjaśnienie, skoro uczeń początkowych klas podstawowej, nie zna liczb ujemnych. Trzeba wrócić do naturalnej interpretacji mniejszości, ( mniejsze, to trzeba dołożyć ). istnieje liczba dodatnia c, taka, że Warto by teraz dowieść znane własności nierówności. Do rozwiązania naszej nierówności, przypomnijmy jeszcze własność odejmowania : aby odjąć można dodać liczbę przeciwną. Wróćmy do rozwiązywania nierówności przez ucznia szkoły podstawowej. Dla wygodnego określania znaków czynników, napiszmy je w postaci różnic Teraz widać kiedy czynniki są ujemne, i łatwo wyznaczyć znak iloczynu dla liczby np.

7. Gdy do iloczynu za podstawimy to pierwszy czynnik jest dodatni, bo drugi czynnik też dodatni, bo i trzeci ujemny,bo Zatem iloczyn jest ujemny i liczba spełnia nierówność, czyli jest rozwiązaniem nierówności. Jak znaleźć wszystkie rozwiązania ? Oczywiście, nie będziemy postępować jak wyżej. Od czego zależą znaki czynników Od tego, czy są mniejsze, czy większe od Aby „ widzieć ” jakie liczby rozpatrywać, zaznaczmy liczby na osi liczbowej. x Teraz każdy powie, że należy rozważyć liczby z czterech wyróżnionych przedziałów.

8. Jak bez gadaniny, bez długiego zapisu słownego, krótko zaznaczyć symbolicznie nasze spostrzeżenie, o znakach czynników ( różnic ) w poszczególnych przedziałach. Ustalmy znaki różnic dla zielonych liczb ( mniejszych od 5 ) Należy bacznie uważać, czy odejmujemy mniejszą liczbę od większej, czy odwrotnie. _ x + pierwszy czynnik + + _ + + drugi czynnik _ + _ + + trzeci czynnik Iloczyn ujemny I mamy rozwiązanie nierówności Rozwiązaniem jest każda liczba z Jak widać do rozwiązania tej nierówności wystarczyła wiedza z arytmetyki na poziomie szkoły podstawowej. Czy ten proces można by uprościć ? Kiedy to rozwiązanie sprawiało trochę kłopotu ? Przy ustalaniu znakówczynników.

9. Jak ustalać znaki iloczynu mechanicznie, bez zbytniego zastanawiania się. W przypadku którego czynnika mogły być zawahania ? Oczywiście, chodzi o wyrażenie Jak go zatem przedstawić ? Teraz ustalanie znaków czynników jest zupełnie proste. I jeszcze jedno usprawnienie, Dobrze by było gdyby czynniki były w takiej kolejności jak ich miejsca zerowe. Pierwszy czynnik, zwany współczynnikiem liczbowym jest ujemny. Znaki pozostałych łatwo wyznaczamy. _ x + + _ + _ + _ + _ _ + Iloczyn łącznie z -1 ujemny Widać regułę w określaniu znaków czynników. Proste ? Mamy odpowiedź : Rozwiązaniem jest każda liczba z

10. można inaczej rozwiązać ? Czy tą nierówność Pomysłów może być kilka. Oto techniczny zapis, ciut inny od poprzedniego rozwiązania : _ x + + + Ustalajmy znaki w kolejnych przedziałach _ _ + + _ _ _ + _ _ + + Iloczyn wraz ze współczynnikiem liczbowym Rozwiązaniem jest każda liczba z Widzimy rozwiązanie nierówności za pomocą tabelki. Inny techniczny pomysł oparty na obu rozwiązaniach, a raczej na ostatnim fragmencie , ostatniej linijce rozwiązania. _ _ x + + To oś i ostatnia zmodyfikowana linijka tabelki, którą można ja nazywam „ krzywą znaków ”. Jak ją kreślić bez tabelki omówimy w prezentacji @ Równania, nierówności wielomianowe. @

11. Zanim przejdziemy do rozwiązania nierówności przez gimnazjalistów, zaproponuję rozwiązać nierówność Licealiści zdziwią się, że i z tą nierównością poradzą sobie nawet uczniowie szkoły podstawowej. Rozwiązując jakiekolwiek nowe zadanie, zastanawiamy się, czy z takim lub podobnym mieliśmy już do czynienia. Na ogół udaje się nowe zadanie sprowadzić do znanego, które już rozwiązywaliśmy. Właśnie o to chodzi, czy nierówność można sprowadzić do nierówności lub podobnej. Macie pomysł ? W szóstej klasie wszyscy wiedzą, że kwadrat liczby jest liczbą dodatnią lub równy zeru ( nieujemną ), - fałsz, bzdura ! że czynnik dodatni nie wpływa na znak iloczynu, oraz, że źle, błąd ! Czyli Opuściliśmy kwadraty Wyrzucony czynnik może być równy zero. Dalej już wiadomo co robić. Okazało się, że potrafimy rozwiązywać nierówności postaci

12. Jak nierówność rozwiążą ci, którzy chcą tylko pisać, rozwiązywać nierówności ? za pomocą Rozpiszą tą nierówność liniowych nierówności. Nierówność ta jest równoważnaalternatywie czterech układów nierówności : lub lub Odpowiedź : Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z suma przedziałów Jak widać, do rozwiązania tej nierówności, nie była potrzebna wiedza, nawet na poziomie gimnazjum.

13. Jak gimnazjaliści zaproponują rozwiązać nierówność Mają przewagę nad uczniami szkoły podstawowej, gdyż znają pojęcie funkcji liniowej, jej własności i wykres. Sądzę, że wszyscy już wiedzą, bo tak rozwiązywaliśmy równania i nierówności z wartościami bezwzględnymi. _ + + + _ + + + _ x _ + + Szkicujemy wykresyfunkcji liniowych, ustalamy znaki funkcji w odpowiednich przedziałach i …. badamy znak iloczynu i mamy gotowe rozwiązanie. Rozwiązaniem jest każda liczba z Ten sposób rozwiązania jest ciekawy i wygodny do rozwiązania każdej nierówności postaci gdy znamy ich wykresy.

14. Warto zwrócić uwagę, że nie wykraczając poza program gimnazjum, potrafimy rozwiązać równania, którymi w szkole spotykamy się dopiero w drugiej klasie liceum. Umiemy rozwiązać równania postaci : Czy damy radę rozwiązać równanie Jak na razie odpowiedź jest jedna ; jeżeli doprowadzimy równanie do postaci : to niestety, nie. to rozwiążemy, jeżeli nie Kto pamięta i opanował rozkład sumy na czynnikisposobem grupowania, to zauważa, że jest szansa. i tak dalej ……

15. Rozwiązać nierówności : * bo zawsze dodatnie Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od 2. * Ponieważ umówiliśmy się równania i nierówności rozwiązywać metodą równań równoważnych musimy zadbać o ich dziedzinę. W poprzednich przykładach nie badaliśmy dziedzin, bo zawsze były one zbiorem liczb rzeczywistych ( na ogół taka umowa ). Tym razem jest inaczej. źle. błąd bo zawsze nieujemne bo zawsze dodatnie Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z

16. Rozwiązujemy nierówności coraz bardziej skomplikowane. Jakkolwiek rozwiązujemy nierówności, z których nie spotkaliśmy w gimnazjum, ale ciągle są to nierówności pewnych postaci. Pokażmy jeszcze, że i te nierówności : z którymi spotyka się licealista dopiero w drugiej klasie, a które potrafi rozwiązać gimnazjalista. Czym te nierówności różnią się od poprzednich ? Oprócz postaci ( poprzednio iloczyny, a tu ilorazy ), różnią się tylko dziedziną. Jeżeli uświadomimy sobie, że w klasie szóstej wiedzieliśmy, iż reguły ustalanie znaków iloczynu i ilorazu, są takie same, to jesteśmy w domu. Jak rozwiązywać te nierówności ? Tak jak poprzednio, trzeba wpierw tylko ustalić dziedzinę. W tym momencie warto zauważyć, że każdy licealista, powyższe ilorazy, zamieni na iloczyny. Po co ? Dlaczego ? Odpowiedzi na ogół brak, lub „ bo tak uczyliśmy się ”.

17. Gdzie matematyka ? Gdzie uzasadnienie swoich tez, które jest nieodłączną metodą postępowania w matematyce ? Przyrodnik akceptuje rzeczywistość, matematyk żąda dowodu. Pokażmy rozwiązanie dwu nierówności : * Poziom gimnazjum : wykresy funkcji liniowych Trochę logiki ( prawa de Morgana ). _ + + + _ _ _ + _ x _ + + Iloraz ujemny Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z Uwaga na dziedzinę !

18. * Rozwiążmy tą nierówność jeszcze raz, za pomocą krzywejznaków x Widać, że dla dużych x-sów ( większych od ) wartości ilorazu są dodatnie, dlatego krzywą znaków kreślimy od końca i od góry, na przemian przez miejsca zerowe. Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z * bo zawsze dodatnie _ _ _ Miejsca zerowe + D _ Iloraz dodatni + + + czynników x _ _ + + „widać” Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z

19. Rozwiążmy tą nierówność jeszcze raz, za pomocą krzywejznaków. Tak jak poprzednio, widać, że dla dużych x-sów ( większych od ) wartości ilorazu są dodatnie, dlatego krzywą znaków kreślimy od końca i od góry, na przemian przez miejsca zerowe. * Miejsca zerowe D x Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z Przy rozwiązywaniu dwu ostatnich nierówności z pomocą krzywej znaków, kreśliliśmy ją od końca i od góry, a w pierwszym ćwiczeniu ( slajd 10 ) od końca i z dołu.

20. Należy ustalić, od czego to zależy ( krótkie wyjaśnienie było), i czy krzywa zawsze będzie przechodzić na przemian przez kolejne miejsca zerowe. Odpowiedziami na te pytania zajmiemy się w prezentacji @ Równania i nierówności wielomianowe. @. Pomimo, że wykorzystywaliśmy podstawowe wiadomości o równaniach i nierównościach liniowych, potrafiliśmy rozwiązywać nierówności o dosyć skomplikowanej postaci. Ale są to takie równania, które za pomocą znanych wzorów z gimnazjum, potrafiliśmy przekształcić do postaci Iloczynu lub ilorazu funkcji liniowych, bądź dzięki bystremu oku ( doświadczeniu ), zobaczyliśmy powtarzające się wyrażenie, za które podstawiając nową niewiadomą otrzymaliśmy proste równanie. Stąd przed nami zadanie, by znaleźć dalsze sposoby zamiany sumy na iloczyn, zwany rozkładem sumy na czynniki. W tej prezentacji odwoływałem się do sposobu grupowania, omawianego w drugiej klasie liceum, choć znają go gimnazjaliści.

21. Przy okazji badania własności wielomianów, poznamy nowe wzory i nowe twierdzeniapozwalające na rozkład wyrażeń na czynniki. Na razie w następnej prezentacji @ Równania, nierówności kwadratowe. @ wyznaczymy szybszą drogę rozwiązywani równań kwadratowych a rozwiązywane teraz nierówności, rozwiążemy jeszcze szybciej. Zapraszam Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl tel. 14 690 87 61 Koniec prezentacji