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grafici. equazioni. Funzioni goniometriche. disequazioni. Formule fondamentali. Goniometria. P(cos a , sin a ). a. Funzioni goniometriche. sin 2 a + cos 2 a =1 tan a = sin a / cos a. tan a. p. 2 p. Dalla definizione al grafico della funzione. Funzioni goniometriche.
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grafici equazioni Funzioni goniometriche disequazioni Formule fondamentali Goniometria Paola Suria Arnaldi
P(cosa , sina) a Funzioni goniometriche sin2 a + cos2a =1 tan a = sin a / cos a tan a Paola Suria Arnaldi
p 2 p Dalla definizione al grafico della funzione Paola Suria Arnaldi
Funzioni goniometriche Paola Suria Arnaldi
FUNZIONI GONIOMETRICHE Domf: R Imf [-1, 1] Funzione non iniettiva (perché periodica) Funzione non suriettiva (imf ≠ R) Funzione non biiettiva Funzione periodica T = 2p Monotona ad intervalli Funzione non invertibile (non monotona) Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [-p/2, p/2] Funzione inversa così definita si chiama f(x) = arcsenx Paola Suria Arnaldi
FUNZIONI GONIOMETRICHE f(x) = cos x Domf: R Imf [-1, 1] Funzione non iniettiva (perché periodica) Funzione non suriettiva (imf ≠ R) Funzione non biiettiva Funzione periodica T = 2p Monotona ad intervalli Funzione non invertibile (non monotona) Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [0, p] Funzione inversa così definita si chiama f(x) = arcos x Paola Suria Arnaldi
FUNZIONI GONIOMETRICHE f(x) = tan x Domf: R -{(2k+1)*p/2}, k є Z Imf R Funzione non iniettiva (perché periodica) Funzione suriettiva (imf ≡ R) Funzione non biiettiva Funzione periodica T = p Monotona ad intervalli Funzione non invertibile (non monotona) Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [-p / 2,p / 2] Funzione inversa così definita si chiama f(x) = arctan x Paola Suria Arnaldi
Senx e arcsenx f[-p/2, p/2] (x) = sin x Dom f: [-p/2, p/2] Imf: [- 1, 1] funzione iniettiva funzione non suriettiva funzione dispari funzione invertibile f (x) = arcsin x Dom f: [- 1, 1] Imf: [-p/2, p/2] funzione iniettiva funzione non suriettiva funzione dispari funzione invertibile Paola Suria Arnaldi
Cosx e arcosx f[0, p] (x) = cos x Dom f: [0, p] Imf: [- 1, 1] funzione iniettiva funzione non suriettiva funzione monotona decrescente funzione invertibile f (x) = arcos x Dom f: [- 1, 1] Imf: [0, p] funzione iniettiva funzione non suriettiva funzione decrescente funzione invertibile Paola Suria Arnaldi
Tanx e arctan x f(-p/2, p/2) (x) = tan x Dom f: (-p/2, p/2) Imf: R funzione iniettiva funzione suriettiva funzione monotona crescente funzione dispari funzione invertibile f (x) = arctan x Dom f: R Imf: (-p/2, p/2) funzione iniettiva funzione non suriettiva funzione monotona crescente Funzione dispari funzione invertibile Paola Suria Arnaldi
Andiamo oltre nel nostro programma e facciamo un salto nel programma di analisi Le funzioni esponenziale, logartimica, goniometriche hanno una legge matematica che non è di tipo polinomiale. Sarebbe difficile calcolare la f(x), nota la x, anche con una calcolatrice, che in fondo è solo una addizionatrice, se per ognuna di queste funzioni non ci fossero dei polinomi che le approssimano bene.. Queste approssimanzioni si chiamano di Taylor, se l’approssimazione viene fatta a partire da un punto noto, qualsiasi, o di Mac Laurin se il punto scelto è x = 0. Vediamo il loro significato su casi particolari. Paola Suria Arnaldi
L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione seno ---- La curva disegnatain blue è f(x)=sinx ---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x ----la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3! ---- La curva disegnatain blue è f(x)=sinx ---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x-x3/3! ----la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3!+x5/5! Paola Suria Arnaldi
L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione coseno ---- La curva disegnatain blue è f(x)=cosx ---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2! ----la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x2/2!+x4/4! ---- La curva disegnatain blue è f(x)=cosx ---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2! ----la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x2/2!+x4/4!-x6/6! Paola Suria Arnaldi
Sin x Equazioni goniometriche sin x = k l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1 • sin x = ½ x = p / 6 + 2 k p V x = 5/6 p + 2 k p • s in x = - ½ x =- p / 6 + 2 k p V x = 7/6 p + 2 k p cos x = kl’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1 • cos x = ½ x = p / 3 + 2 k p V x = - p/3 + 2 k p • cosx = - ½ x = 2/3 p + 2 k p V x = - 2/3 p + 2 k p Paola Suria Arnaldi
1 2 6 7 Equazioni goniometriche sin x = h l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1 • sin x = ½ x = p / 6 + 2 k p V x = 5/6 p + 2 k p • s in x = - ½ x =- p / 6 + 2 k p V x = 7/6 p + 2 k p • sin x = 0 x = k p • sin x = 1 x = p / 2 + 2k p • sin x = - 1 x = 3/2 p + k p cos x = hl’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè - p/3 1 ≤ h ≤ 1 • cos x = ½ x = p / 3 + 2 k p V x = -p / 3+2 k p • cosx = - ½ x = 2/3 p + 2 k p V x = - 2/3 p + 2 k p • cos x = 0 x = p/2 + k p • cos x = 1 x = 2 k p • cos x = -1 x = p + 2 k p Paola Suria Arnaldi
1 2 3 4 Equazioni goniometriche sin x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1 • sin x = √3/2 x = p / 3 + 2 k p V x = 2/3 p + 2 k p • sin x = - √3/2 x =- p / 3 + 2 k p V x = 4/3 p + 2 k p cos x = hl’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1 • cos x = √3/2 x = p / 6 + 2 k p V x = - p/6 + 2 k p • cosx = - √3/2 x = 5/6 p + 2 k p V x = - 5/6 p + 2 k p Paola Suria Arnaldi
Equazioni goniometriche tan x = h l’eq. è possibile qualsiasi h є R • tan x = √3/3 x = p / 6 + k p • tan x = - √3/3 x =- p /6+ k p V x = 4/3 p + 2 k • tan x = √3 x = p / 3 + k p • tan x = - √3/3 x = 5/6 p + k p • tan x =0 x = k p • tan x = 1 x = p/4 + k p • tan x = -1 x = - p / 4 + kp 1 2 3 4 Paola Suria Arnaldi
