Bezkontextové gramatiky a jazyky

1. Bezkontextové gramatiky a jazyky

2. Bezkontextové gramatiky BKG sú gramatiky s pravidlami A α Kde A N α(N  T)* Pripúšťame teda e-pravidlá ( e na pravej strane), ale vieme, že tento problém možno ošetriť rozšírenou gramatikou

3. BKG, BKJ a Programovacie jazyky • BGK sú základným špecifikačným prostriedkom programovacích jazykov • Nie sú celkom dostatočné, niekedy sa „vyžaduje“ kontext • Problém „nedostatočnosti“ sa rieši dohodou na úrovni jazyka • Neopúšťa sa úroveň bezkontextovosti – je to podstatne jednoduchšie a účinnejšie

4. Derivácia a jej reprezentácia • Pri analýze nás zaujíma nielen „výsledok“ (generované slovo), ale aj proces, ako sme sa k danému slovu dostali – proces derivácie • Umožňuje nám zistiť vlastnosti gramatiky • Existuje viacero spôsobov reprezentácie derivácie • Najčastejšie sa používa: • Klasická postupnosť vetných foriem • Postupnosť čísiel pravidiel použitých v derivácii – rozbor • Derivačný strom

5. Derivačný strom Derivačný strom je orientovaný, vrcholovo ohodnotený strom s usporiadanými nasledovníkmi každého vrcholu (ak vrchol má nasledovníkov). Nech G = (N, T, P, S) je BKG. Potom orientovaný, vrcholovo ohodnotený a usporiadaný strom D je derivačným stromom pre G, ak má nasledujúce vlastnosti:

6. Derivačný strom df • Každý vrchol je ohodnotený symbolom z N  T { e } • Ohodnotenie koreňa stromu je S • Ak vrchol má aspoň jedného nasledovníka, potom je ohodnotený symbolom z N • Ak u1 , u2, …. , uk sú priami nasledovníci vrchola u, ktorý je ohodnotený symbolom A N a jeho nasledovníci sú ohodnotený zľava doprava symbolmi A1, A2, ... , Ak , potom musí v P existovať pravidlo A  A1A2 ... Ak

7. Príklad Majme gramatiku G = ({A, B, C, D, E, F, G}, { +, -, ., 0, 1, …, 9, z}, P, A) P: A  B | BzD B  CE C  + | - | e D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9

8. Reprezentácia derivácie Najprv zistime, či reťazec 34.25z-13 je z jazyka L(G). Pokúsime sa ho získať deriváciou z A (začiatočného symbolu gramatiky G) A  môžeme vybrať jednu z alternatív pravidla A B | BzD. Vyberieme druhú. Dostaneme: A  BzD na ďalšiu deriváciu môžeme vybrať neterminál B alebo D. Budeme postupovať „systémovo“ a vyberať vždy neterminál „prvý zľava“. Dostaneme:

9. A  BzD A  B | BzD B  CE C  + | - | e D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9 A  BzD  CEzD použijeme pravidlo C  e a dostaneme A  BzD  EzD použijeme pravidlo E  F.F a dostaneme A  BzD  EzD  F.FzD postupujeme analogicky ďalej a postupne dostaneme

10. A  BzD  EzD  F.FzD A  B | BzD B  CE C  + | - | e D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9 A  BzD  EzD  F.FzD  FG.FzD  GG.FzD  3G.FzD  34.FzD  34.FGzD  34.GGzD  34.2GzD  34.25zD  34.25zCF  34.25z-F

11. A  B | BzD B  CE C  + | - | e D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9 A * 34.25z-F  34.25z-FG  34.25z-GG  34.25z-1G  34.25z-13 Reťazec34.25z-13 je z jazyka L(G), pretože existuje derivácia A * 34.25z-13.

12. Zodpovedajúci derivačný strom A D B z C C F E . F F F G - e F G F G G 3 G G 4 5 1 3 2

13. Niektoré vlastnosti DS Neukazuje postup, ako bol vytvorený Má štruktúru Zo štruktúry sa dajú zistiť vlastnosti derivácie i samotnej gramatiky

14. Rez DS Rezom DS D nazývame množinu vrcholov C s vlastnosťami • Žiadne dva vrcholy z C neležia na jednej ceste z koreňa DS • K C nemožno pridať žiadny vrchol aby sa neporušila prvá vlastnosť

15. Rez DS a Vetná forma Zreťazením vrcholov rezu DS v usporiadaní zľava doprava dostaneme VF Príklady rezov DS z nášho príkladu C1 = {B, z, D} VF: BzD; A *BzD C2 = { C, E, z, -, F, G} C3 = {C, 3, 4, ., 2, 5, z, -, 1, 3}

16. Ľavá a pravá derivácia Reprezentácia derivácie klasickou postupnosťou VF v derivácii sa robí systematickou deriváciou neterminálu v každom kroku derivácie Deriváciou neterminálu prvého zľava dostávame – ľavú deriváciu Deriváciou neterminálu prvého sprava dostávame – pravú deriváciu Vetné formy v ľavej / pravej derivácii nazývame ľavé / pravé vetné formy

17. Viacznačné gramatiky Majme gramatiku G1 = ({ S }, {a, b, if, then, else}, P, S) P: S  if b then S else S S  if b then S S  a Do jazyka L(G1) patrí aj veta if b then if b then a else a Pretože existuje derivácia S  if b then S if b then if b then S else S if b then if b then a else S if b then if b then a else a

18. Jedinečnosť a nejedinečnosť derivácie Otázky: • existuje k uvedenej vete jazyka L(G1) viac derivácií ? Aj viac ľavých alebo pravých derivácií? • Môže to mať nejaké dôsledky?

19. Príklad Majme gramatiku pre zjednodušený AV G2 = (N, T, P, S) P: E  E + T | T T  T * F | F F  ( E ) | a | b | c Zistime, či reťazec – výraz (a + b) * c patrí do jazyka L(G2)

20. (a + b) * c E  E + T | T T  T * F | F F  ( E ) | a | b | c Ľavá derivácia D1: E  T  T * F  F * F  ( E ) * F  (E + T) * F  (T + T) * F  (F + T) * F  (a + T) * F  (a + F) * F  (a + b) * F  (a + b) * c Daný reťazac patrí do jazyka L(G2). Pravá derivácia D2: E  T  T * F T * c  F* c  ( E )* c  ( E + T )* c  ( E + F )* c  ( E + b )* c  ( T + b )* c  ( F + b )* c  ( a + b )* c Aj táto derivácia ukazuje že daný reťazec je „výrazom“ a patrí do L(G2)

21. Reprezentácia derivačným stromom E T T F * F E c ( ) T E + T F F b a

22. Derivačný strom pre D2 • Derivácii D2 zodpovedá rovnaký derivačný strom – strom s rovankou štruktúrou • Derivačný strom jasne ukazuje aj „viazanie“ operandov operátormi + a *. • Pozrime sa na deriváciu výrazu a + b * c • Otázka? Ako sú teraz viazané operandy a operátory

23. a + b * c Derivácia E  E + T  T + T  F + T  a + T  a + T * F  a + F * F  a + b * F  a + b * c

24. a + b * c Derivačný strom E T E + T F T * F F c b a

25. a + b * c Derivačný strom • Z DS vidieť„správne“ viazanie operátorov a operandov • Otázka. Je jediný? Skúste pravú deriváciu

26. Iná G pre jednoduchý AV Majme gramatiku G = ({E}, {+, *, (, ), a, b, c }, P, E) P: E  E + E | E * E | (E) | a | b | c Zistime znova, či reťazec a + b * c patrí do jazyka L(G)

27. Derivácie a + b * c D1: E  E + E  a + E  a + E * E  a + b * E  a + b * c - je to ľavá derivácia D2: E  E * E  E + E * E  a + E * E  a + b * E  a + b * c - je to tiež ľavá derivácia Obe derivácie ukazujú že reťazec a + b * c patrí do jazyka L(G) Otvorená je otázka viazanosti operátorov a operandov. Lepšie to bude vidieť z derivačného stromu.

28. Derivačný strom a + b * c D1: E E D2 E E E + E * E E E E * + a c a b b c

29. Závery z reprezentácie derivácie • Derivačné stromy D1 a D2 k tomu istému výrazu – slovu jazyka majú rôznu štruktúru • D1 a D2 ukazujú rôznu viazanosť operátorov a operandov, čo má za následok rôzne významy daných výrazov

30. Viacznačná gramatika df BKG gramatika G = (N, T, P, S) je nejednoznačná – viacznačná, ak existuje aspoň jedno slovo w  L(G) pre ktoré existuje viac derivačných stromov s odlišnou štruktúrou. Ekvivalentne platí, že gramatika G je viacznačná ak existuje aspoň jedno slovo w  L(G) pre ktoré existuje viac ľavých (pravých) derivácií.

31. Príklad s príkazom if Majme gramatiku G1 = ({ S }, {a, b, if, then, else}, P, S) P:S  if b then S else S S  if b then S S  a Do jazyka L(G1) patrí aj veta if b then if b then a else a K tejto vete však existujú nasledujúce dve ľavé derivácie a teda je viacznačná: D1: S  if b then S  if b then if b then S else S  if b then if b then a else S  if b then if b then a else a D2: S  if b then S else S  if b then if b then S else S  if b then if b then a else S  if b then if b then a else a

32. Nejednoznačnosť gramatík a jazyky • Nejednoznačnosť gramatiky sa nemusí týkať jazyka • Gramatiku možno často transformovať na jednoznačnú • Jazyky pre ktoré nemožno gramatiku transformovať na jednoznačnú nazývame inherentne nejednoznačné

33. Transformácia gramatík • Existencia ekvivalentných gramatík, t.j. gramatík špecifikujúcich ten istý jazyk, vedie na myšlienku „prechodu“ alebo transformáciu jednej gramatiky na druhú – ekvivalentnú gramatiku. • Rozoberieme si niektoré algoritmy zisťujúce vlastnosti gramatík a jazykov i transformáciu pri zachovaní ekvivalentnosti.

34. Je L(G) neprázdny ? • Vstup: BKG • Výstup: Áno – ako L(G) , inak Nie Postup: Algoritmus A1 • N0 := ; i := 1; • Ni := { A /A α P, α(Ni-1 T)*}  Ni-1 • Ak Ni Ni-1 tak i := i + 1 a prejdi na krok 1 inak Ne := Ni • Ak S Ne tak Áno inak Nie

35. Príklad Daná je gramatika G = ({A, B, C, D, E, F, G}, { +, -, ., 0, 1, …, 9, z}, P, A) P: A  B | BzD B  CE C  + | - | e D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9 Treba zistiť, či L(G) je neprázdny.

36. P: A  B | BzD B  CE C  + | - | e D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9 Postup • N0 =  • N1 = {C, G} • N2 = {C, G, F} • N3 = {C, G, F, D, E} • N4 = {C, G, F, D, E, B} • N5 = {C, G, F, D, E, B, A} • N6 = {C, G, F, D, E, B, A} • N5 = N6 algoritmus končí a keďže A N6 jazyk L(G) je neprázdny.

37. Príklad Majme „modifikovanú“ gramatiku z predchádzajúceho príkladu (nemáme čísla so znamienkom, tak „vypustíme“ toto pravidlo) G = ({A, B, C, D, E, F, G}, { +, -, ., 0, 1, …, 9, z}, P, A) P: A  B | BzD B  CE D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9

38. P: A  B | BzD B  CE D  CF E  F. | F.F | .F F  G | FG G  0 | 1 | … | 9 Postup • N0 =  • N1 = {G} • N2 = {G, F} • N3 = {G, F, E} • N4 = {G, F, E} • N3 = N4 algoritmus končí a keďže A N4 jazyk L(G) je prázdny.

39. Nedostupné a nadbytočné symboly Definícia gramatiky ako štvorice (N, T, P, S) evokuje (právom) otázku, či sa všetky symboly „využijú“ Druhým dôvodom je, že gramatika vymedzuje gramatické pravidlá jazyka, ktorý špecifikuje a tie vedú priamo na jej množinu pravidiel. Preto sa často hovorí, že • neterminály sú tie symboly, ktoré sa objavia aspoň raz na ľavej strane niektorého pravidla, ostatné sa implicitne považujú za terminály

40. Nedostupné symboly Nech G = (N, T, P, S) je BKG. Potom symbol X  N  T nazývame nedostupným, ak sa neobjaví v žiadnej VF gramatiky G. Teda neexistuje také αXβ, že platí A +αXβ, pre nejaké α, β z (N  T)*. Takýto symbol možno z G vylúčiť.

41. Vylúčenie nedostupných symbolov – Algoritmus A2 Vstup: BKG G = (N, T, P, S) Výstup: G’ = (N’, T’, P’, S), pre ktorú platí: • L(G’) = L(G) • pre všetky X  N’  T’existuje také α, β z (N’  T’)*, že:S G’*αXβ

42. Postup • V0 := { S } ; i := 1; • Vi := { X / A αXβ P, A Vi-1 } Vi-1 • Ak Vi Vi-1 , potom i := i + 1 a pokračuj krokom 2. Inak N’ := Vi N T’ := Vi T P’ := {A α / A Vi , αVi* , A α P } G’ = (N’, T’, P’, S)

43. Nadbytočné symboly Nech G = (N, T, P, S) je BKG. Potom symbol X  N  T nazývame nadbytočným, ak neexistuje derivácia S * wXy *wxy, pre w, x, y T*

44. Vylúčenie nadbytočných symbolov – algoritmus A3 Vstup: BKG G = (N, T, P, S), taká, že L(G)   Výstup: G’ = (N’, T’, P’, S), pre ktorú platí: • L(G’) = L(G) • žiadny symbol z N’  T’ nie je nadbytočný

45. Postup 1. Použitím algortimu A1 získame množinu neterminálov Ne, z ktorých možno generovať terminálne reťazce. Vytvoríme gramatiku G1 = (Ne , T, P1, S ), kde P1 = {A α / A  Ne , α(Ne T) *, A α P} Vylúčime tým tie neterminály, z ktorých nemožno generovať terminálne reťazce 2. Použitím algoritmu A2 na G1vylúčime symboly, ku ktorým sa nemôžeme dostať a dostaneme gramatiku G’ = (N’, T’, P’, S)

46. Príklad Majme gramatiku G = ( {S, A, B}, { a, b}, P, S) P: S  a | A A  AB B  b Aplikáciou algoritmu A3 vylúčime nadbytočné symboly.

47. Postup Krok 1. Aplikácia A3 – vytvoríme množinu neterminálov, Ne, z ktorých možno generovať terminálne reťazce. N0 =  N1 = {B, S} N2 = {B, S} N1 = N2 = > Ne = {B, S} G1 = ( {S, B}, { a, b}, P1, S) P1 : S  a B  b

48. Postup Krok 2 Krok2. Aplikácia A2 – vylúčime nedostupné symboly V0 = { S } V1 = { S, a } V2 = { S, a } Výslednou gramatikou bude gramatika G’ = ({ S }, { a }, { S  a }, S )

49. Gramatika bez e – pravidla BKG G = (N, T, P, S) budeme nazývať gramatikou bez e pravidla , ak P neobsahuje pravidlo A e, okrem prípadného pravidla S  e Niekedy je výhodné gramatiku transformovať tak, aby sme dostali ekvivalentnú gramatiku, ale bez e pravidla. Umožňuje nám to algoritmus A4.

50. Vylúčenie e pravidiel Vstup : BKG G = (N, T, P, S) Výstup: ekvivalentná gramatika G’ = (N’, T, P’, S) bez e pravidiel