[ 解析 ](1) 如图所示，建立坐标系。

1. {范例10.6} 通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场 (1)一个半径为a的圆环，通有电流I，求环电流轴上的磁感应强度和磁矩在轴的远处产生的磁感应强度。磁感应强度随坐标变化的规律是什么？(2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？ [解析](1)如图所示，建立坐标系。 在圆上取一电流元Idl，在距离为r的轴上P点产生磁场dB，dB垂直于dl和r。 dl与r也垂直，所以dB的大小为 dB⊥ = dBsinθ，dBz = dBcosθ。 设r与z轴之间的夹角为θ，将dB进行正交分解，两个垂直分量分别为 z dB θ dBz dB⊥ P r Idl en θ a O I

2. {范例10.6} 通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场 (1)一个半径为a的圆环，通有电流I，求环电流轴上的磁感应强度和磁矩在轴的远处产生的磁感应强度。磁感应强度随坐标变化的规律是什么？ dB⊥ = dBsinθ，dBz = dBcosθ。 由于对称的缘故，B⊥ = 0。 不论电流元取在何处，r和θ保持不变，因此合磁场的大小为 Bz的方向沿z轴正向，与环电流的环绕方向之间满足右手螺旋法则。 设矢量pm = ISen= Iπa2en，pm称为环电流的磁矩，其大小等于IS，方向与线圈平面的法线方向相同。 环电流在轴线产生的磁场用磁矩表示为 z dB θ dBz dB⊥ P r Idl en θ a O I

3. {范例10.6} 通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场 (1)一个半径为a的圆环，通有电流I，求环电流轴上的磁感应强度和磁矩在轴的远处产生的磁感应强度。磁感应强度随坐标变化的规律是什么？ 如果环电流有N匝，则磁场增强了N倍，每匝通有电流I，则磁矩要定义为pm=NISen。 磁矩如同电流一样，是一个物理作用量。 圆心处的磁感应强度最大。 [讨论]①如果r = a或z = 0，可得环电流中心处的磁感应强度 ②如果z >> a，则z ≈ r，场强为 用磁矩表示为 磁矩在轴线远处产生的磁感应强度与距离的立方成反比，与电偶极子在连线远处产生的电场强度的变化规律相同。

4. 环电流在轴线上的磁感应强度在环心处最大，曲线中间下凹，两边上凹，说明磁感应强度先加速下降，后减速下降。环电流在轴线上的磁感应强度在环心处最大，曲线中间下凹，两边上凹，说明磁感应强度先加速下降，后减速下降。 当距离比较远时，例如4a，环电流的磁感应强度就与磁矩的磁感应强度相差无几。

5. {范例10.6} 通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场 (2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？ 2L I I z [解析](2)一个半径为a的环电流在离圆心为z的轴线上产生的磁感应强度大小为 O1 O2 O z P a a 如图所示，设两线圈相距为2L，以O点为原点建立坐标，两线圈在场点P产生的场强分别为 方向相同，合场强为B = B1 + B2。

6. {范例10.6} 通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场 (2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？ 通过观察一个环电流产生的磁感应强度曲线可知：强度曲线中间是上凸的，在两边是上凹的，两边凸凹接合处各有一个拐点。 如果两个环电流相距太近，强度就会叠加太多，曲线就形成更高的凸状； 如果它们相距太远，强度就会叠加太少，曲线的中间部分就会下凹成“谷”，圆环所在处形成两个“峰”。 曲线从谷底向两边的峰之间各有一个拐点，当它们的距离由远而近时，两个拐点就会接近。到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀。

7. {范例10.6} 通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场 (2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？ 拐点处的二阶导数为零。 设B0 = μ0I/2a，则 B对z求一阶导数得 求二阶导数得 在z = 0处令d2B/dz2 = 0，可得a2 = 4L2，所以2L = a。 这是亥姆霍兹线圈最均匀的磁感应强度。 z = 0处的场强为

8. 当两个线圈相距比较远时，轴线中间的磁感应强度比较小，线圈所在处的磁感应强度比较大，磁场不均匀。当两个线圈相距比较远时，轴线中间的磁感应强度比较小，线圈所在处的磁感应强度比较大，磁场不均匀。 当两个线圈的距离等于半径时，轴线中间的磁感应强度在相当大的范围之内相近，磁场十分均匀。 当两个线圈相距比较近时，轴线中间的磁感应强度比较大，磁场也不均匀。