Transformations discrètes et relation discret - continu

1. Transformations discrètes et relation discret - continu Lyon, Juin 2006 Eric ANDRES Laboratoire SIC Signal – Image - Communications Université de Poitiers

2. Applications Quasi-Affines et relation discret-continu • Les travaux présentés ce matin sont en grande partie ceux de Philippe Nehlig, Marie-Andrée DaCol (pour les AQAs) et Gaëlle Largeteau (pour les transformations discret-continues). • Applications Quasi-Affines : transformations peu connues liées aux pavages, à des dynamiques intéressantes, à la compréhension de certains phénomènes calculatoires. • Transformation discret-continue : définir des opérations en utilisant les deux espaces discret et continu. • Mettre en place un cadre plus théorique pour parler des fondements de la géométrie discrète (changements d’échelles, analyse non standard, aspect effectif des algorithmes) dans l’idée d’aborder de définitions d’opérations (par ex. les rotations par aqa) et d’étudier les propriétés.

3. Le discret : un monde bien étrange

4. Le discret : un monde bien étrange

5. Le discret : un monde bien étrange 2 droites discrètes orthogonales Avec une intersection vide

6. Relations Continu - Discret Il existe une relation « paramétrable » entre les deux

7. Relations Continu - Discret Taille des voxels diminue plus vite que l’épaisseur de la droite n’augmente

8. A la limite on obtient une droite continue Relations Continu - Discret

9. Relations Continu - Discret • Continu Objet A avec propriété 1,2,3, … Objet A1 Avec prop 1,3,15, … Objet Ak Avec prop k1, k2, k3, … Discret

10. Relations Continu - Discret Classe d’équivalence Discrétisation et Reconstruction

11. Droite analytique discrète J.-P. Reveillès (1991) Représentation en compréhension Equation analytique : a,b entiers, a/b pente de la droite, w épaisseur arithmétique, c constante de translation.

12. 7 9 12 1 2 3 8 5 11 10 6 4 5 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 4 -28 -23 -18 -13 -8 -3 2 7 w = sup(|a|,|b|) = 7 droite 8-connexe des 0-tunnels 3 -21 -16 -11 -6 -1 4 9 14 2 w = |a|+|b| = 12 droite 4-connexe Plus de tunnels -14 -9 -4 1 6 11 16 21 1 -7 -2 3 8 13 18 23 28 0 0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 6 7 Propriétés 0  5x – 7y < w w < sup(|a|,|b|) droite non connexe des 1-tunnels

13. Propriétés de la droite Prenons a/b = 5/17 et la suite y(xi) = {axi / b} 4 0 16 0

14. Propriétés de la droite 5 / 17 c c c d c c d c c c d c c d c c d A tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L1…Lb à la suite r(i)={ai/b} avec i=1,…,b où une lettre Li vaut “c” si r(i)<r(i+1) et “d” sinon. Comme les deux dernières lettres valent tjs “dc” on appelle le mot de Christoffel le mot Ch(a/b) = L1… Lb-2 On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète.

15. Propriétés de la droite Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction continue de a = a/b avec 0<a<1. Soit a = [s,s1, …, sn] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots gn, Cn, dn

16. Propriétés de la droite Avec On a donc s=3, s1=2, s2=2 et n=2. Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c1 g2 g1 g avec g=c2, c1=c2d, d1=c3d g1=c1=c2d, c2=c1d1=c2dc3d, d2=c12d1=c2dc2dc3d g2=c2=c2dc3d.

17. Propriétés de la droite Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c1 g2 g1 g avec g=c2, c1=c2d, g1=c2d, g2=c2=c2dc3d. Soit au final Ch(5/17) = c2d.c2dc3d.c2d.c2 Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot c3d par L et c2d par C On retrouve un condensé du mot et surtout : 5 / 17 L C L C C

18. Propriétés de la droite

19. Propriétés de la droite

20. Applications Quasi-Affines Definition : [Reveilles 1991] En général Avec la matrice et le vecteur

21. Di -1 F (i,j) D'j Application Quasi-Affine F(x,y) =

22. Dynamique • Si pour toutes les droites Dm : ax+by  [mw,(m+1)w[ et • D’n:cx+dy  [nw,(n+1)w[ ont une intersection alors tous les arbres de l’AQA ne sont pas bornés (chaque point à un antécédent). • Les feuilles correspondent à des couples (n,m) de droites qui ne s’intersectent pas.

23. Pavages A(2,2) appartient à l’intersection de D0 et D’1. L’image de A par l’AQA est par conséquent (0,1). Def. Pavé Pi,j = Di D’j = F-1(i,j) Le pavé P0,0 est égal à l’intersection entre D0 et D’0

24. Pavages Définition : 2 pavés sont arithmétiquement identiques si leurs premiers restes sont égaux pour chaque point des pavés. Propriété : des pavés arithmétiquement égaux sont géométriquement égaux (la réciproque est fausse).

25. Cas plus général : Nombre de pavés Le nombre de pavés différent à l’ordre 1 est égal à : Avec d = ad-bc. Si w = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et contiennent w points.