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Capitulo 11: Modelos dinámicos. Causas Modelos autoregresivos Modelos de retardos distribuidos Modelos AD Modelos ARMAX Multiplicadores Retardo medio, retardo mediano Teorema de Mann-Wald Estimación por Variables Instrumentales Regressores estocásticas Expectativas
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Capitulo 11: Modelos dinámicos Causas Modelos autoregresivos Modelos de retardos distribuidos Modelos AD Modelos ARMAX Multiplicadores Retardo medio, retardo mediano Teorema de Mann-Wald Estimación por Variables Instrumentales Regressores estocásticas Expectativas Hipótesis de ajustamiento
Información • Estos transparencias no son completas. • La idea con las transparencias es dar una estructura general y asegurar que gráficos y ecuaciones están reproducidos correctamente. • Cada estudiante debe tomar notas adecuadas para completar las transparencias.
Introducción • La variable endógena retarda como variable explicativa. Bajo ciertas circunstancias MCO no es consistente y hay que usar alternativas. • El efecto de una variable explicativa puede ser repartida a largo del tiempo, es decir, efectos a corto y largo plazo.
Causas • Causas psicológicas: • Costumbres, hábitos. Ejemplos: precio de tabaco, nuevo peaje, nuevo impuesto. • Incertidumbre y expectativas del futuro. Ejemplos: tipo de interés en préstamos e hipotecas.
Causas • Causas tecnológicas: • Ejemplos: subida de precio de petróleo y una preferencia para coches de bajo consumo o alternativas. Cambiar de coche no es instantáneo. • Causas institucionales: • Retrasos cuando se trata de tomar decisiones.
Causas • Incercia: • Persistencia, es decir valores (muchas veces) son muy parecidos para observaciones cercano en el tiempo. La frecuencia de los datos (diarios, mensuales, anuales) influye si captamos este efecto.
Tipos de modelos dinámicos • Modelos autoregresivos • Modelos de retardos distribuidos • Modelos AD • Modelos ARMAX
Modelos autoregresivos, AR(p) • Esto es una generalización del modelo autoregresivo unívariado; ahora el modelo incluye otras variables explicativas.
Modelos autoregresivos, AR(p) • La dinámica viene (aparte del termino determinista ; que puede incluir un constante, tendencia lineal, variables ficticias estacióneles) a través de la variable endógena retarda. • Para un modelo estacionario: • es necesario que las raíces del polinomio caen fuera del círculo unidad • y que las variables explicativas son estacionarios.
Modelos autoregresivos, AR(p) • Se puede estimar el modelo con MCO: • si el termino de perturbación no esté autocorrelacionado. (consistente y sesgado).
Modelos de retardos distribuidos, • La dinámica está introducida por retardos de las variables explicativas. Si el modelo solo contiene una variable explicativa, RD(r);
Modelos de retardos distribuidos • Cada variable explicativa puede entrar con un número de retardos diferentes.
Modelos de retardos distribuidos • La variable es estacionaria si todas las variables explicativas son estacionarias. • Estimacion: Entonces, y si los requisitos básicos del MCO son cumplidas, MCO es insesgado y consistente.
Modelos de retardos distribuidos • Normalmente el modelo da una alta multicolinealidad entre los regresores; Contrastes de significación individual son poco fiables y es mejor contrastes conjuntas. • Se puede decidir el orden adecuado de los retardos con criterios de información, como Akaike; ( es la varianza residual y m el numero de parámetros en el modelo).
Modelos de retardos distribuidos • Si el orden del modelo es infinito, es decir el número de retardos es infinito hay que imponer supuestos sobre la distribución o evolución de los coeficientes. (¡Si no hay demasiados parámetros para estimar!) Dos soluciones: Koyck y Almon.
Modelos de retardos distribuidos • Modelo de Koyck • Supongamos el modelo ;
Modelos de retardos distribuidos • Esta estructura aparece en modelos con expectativas adaptativas.
Modelos de retardos distribuidos • Para estimar el modelo se puede… - poner diferentes valores de y buscar el valor que minimizar la suma de los residuos cuadrados: (“Grid search”, “Cerca per graella”, “red de buscada”). • multiplicar el modelo por y tener un modelo con un termino de perturbación que sigue un . • Este es el modelo ARMAX(1,0,0,1) que vamos a estudiar luego.
Modelos de retardos distribuidos • Modelo de Almon • La hipótesis de Almon es que los parámetros evolucionan siguiendo una relación polinómica. • En esta manera los infinitos parámetros , se quedan reducidas a m+1 coeficientes .
Modelos de retardos distribuidos Ejemplo en el caso de m=2. • Bajo este supuesto el modelo se puede escribir como;
Modelos AD, • Si combinamos un modelo autoregresivo y un modelo de retardos distribuidos tenemos un modelo .
Modelos AD • Si las variables explicativas son estacionarios, las propiedades de MCO son las mismas que tienen los modelos AR(p).
Modelos ARMAX • Este es una generalización del modelo AD adonde se permite que el termino de perturbación sigua un proceso .
Modelos ARMAX • Ejemplo: Un es; • Los modelos ARMA, AD, RD i AR son casos particulares del modelo ARMAX.
Modelos ARMAX Si tiene todas sus raíces fuera del círculo unidad el modelo ARMAX se puede escribir en la forma de función de transferencia: Esta es la base para los multiplicadores.
Modelos ARMAX • Estimación del ecuación con MCO normalmente da un estimador inconsistente como consecuencia de una correlación entre la variable endógena retarda el termino de error . Tenemos que usar alternativas (Sección 3.1).
Multiplicadores • ¿Cuanto varia la variable y si la variable x cambia con una determinada cuantidad, después que 0, 1 , 2, 3 … periodos? • Nota: el parámetro no es la respuesta, porque sólo capta el efecto directo. Para conocer los efectos completas tenemos que calcular multiplicadores.
Multiplicadores • Ejemplos:
Multiplicadores • Por ejemplo: indica la cantidad que varia y después que dos periodos como consecuencia de un incremento de una unidad de en periodo t. El multiplicador contemporáneo, el efecto inmediato, es . • Si las variables vienen expresadas como logaritmos los multiplicadores indican una elasticidad (en corto placo).
Multiplicadores • Los multiplicadores se calculan a través de la representación en términos de función de transferencia del modelo:
Multiplicadores • recoge el efecto sobre de una variación unitaria de una vez que han transcurridoperiodos.
Multiplicadores • La secuencia de coeficientes del polinomio se llama función de respuesta al impulso.
Multiplicadores • Multiplicador total o ganancia: • El multiplicador total o ganancia asociada a la variable se define como: • Es la suma de todos los multiplicadores dinámicos (o los coeficientes de la función de respuesta al impulso).
Multiplicadores • La suma tiene sentido calcular si tentemos una serie estacionario, • Si las variables están expresadas en logaritmos tendremos una elasticidad a largo placo.
Multiplicadores • La forma más sencilla de calcular el multiplicador total es: • Donde es el polinomio valorado para L=1.
Retardo medio • Si todo los coeficientes en el polinomio son positivas, es decir; todo los multiplicadores son positivas, se puede calcular el retardo media del efecto de x sobre y.
Retardo medio para todos i. En el retardo 0 se ha producido una fracción del efecto total. En el retardo 1 una fracción es el efecto en total.
Retardo medio • Se puede calcular el retardo medio como; • Nota; • Entonces:
Retardo medio • Dado que • se puede escribir; • Y el retardo medio es:
Retardo medio • [EJEMPLO 8]
Estimación de modelos con regresores estocásticas. • El teorema de Mann-Wald especifica condiciones suficientes para que MCO fuera consistente con distribución normal, aunque haya regresores estocásticas (es decir no deterministas).
Mann-Wald • 1: indica que la correlación muestral entre regresores y el término de perturbación converge a cero, el valor poblacional.
Estimación por Variables Instrumentales • Cuando hay regresores correlacionadas con el término de perturbación, es decir cuando el supuesto no está cumplido, se puede usar estimadores con variables instrumentales.
