Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

1. Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales Procesos estocásticas Función de autocovarianza, autocorrelación y autocorrelación parcial. Procesos de ruido blanco y paseo aleatorio Teorema de Wold Procesos AR(p) Procesos MA(q) Procesos ARMA(p,q) Procesos ARIMA(p,d,q)

2. Procesos estocásticos • Definición: Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias ordenadas en el tiempo (en el caso de series temporales). • Definición: Una serie temporal es una realización del proceso estadístico, es decir, es una observación de T variables aleatorias ordenadas en el tiempo.

3. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. Restricciones de Estacionaridad • Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto o fuerte cuando la distribución de probabilidad conjunta de cualquier parte de la secuencia de variables aleatorias es invariante del tiempo.

4. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido débil si los momentos del primero y segundo orden de la distribución (esperanzas, varianzas, covarianzas) son constantes a largo del tiempo. • para todos los . • para todos y .

5. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Restricciones de memoria del proceso, ergodicidad. • La relación entre dos variables aleatorios de un proceso es más débil cuando las variables son más lejanas en el tiempo. • Al aumentar el número de observaciones de la serie temporal aumenta el número de covarianzas, pero no el número de parámetros de estimar.

6. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Definición: Homogenización de una serie temporal es cuando a través de una transformación el serie temporal es estacionar. • Queremos tener una serie temporal con una media y varianza (más o menos) constante a largo del tiempo.

7. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Transformación Box-Cox:

8. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

9. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Funciones de autocorrelación miden la relación lineal entre variables aleatorias de procesos separadas de una cierta distancia en el tiempo. • Estimación de estas funciones permiten determinar la forma del procesos estocástico.

10. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • La función de autocovarianza Si el proceso es estacionario, su esperanza es constante a largo del tiempo, y la función de autocovarianza no depende del momento en tiempo, sólo la distancia temporal.

11. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Para cada retardo hay un valor diferente para la función de autocovarianzas, autocovarianza de orden . • Función de autocorrelación simple (FAS),

12. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Si el proceso es estacionario, los momentos de segunda orden no depende de . • Una correlograma enseña la FAS en función de .

13. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • La función de autocorrelación parcial (FAP) enseña la relación lineal cuando se ha eliminado la correlación que estas variables tienen con otras variables.

14. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Se puede obtener los coeficientes de FAS a través regresiones. • Nota: Si la esperanza de no es cero, hay que añadir una constante en cada regresión.

15. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Se puede demostrar que los coeficientes de FAS se pueden escribir como una función de coeficientes de FAP. Esta relación se llama el sistema de ecuaciones de Yule-Walker.

19. Estimación de los momentos muéstrales • Para un proceso estocástico estacionario con ergodicidad, con una sola serie temporal, podemos estimar;

20. La función de autocovarianza • La función de autocovarianza se puede estimar a través de la función de autocovarianza muestral:

21. Función de autocorrelacion simple • Función de autocorrelacion simple muestral,

22. Función de autocorrelacion simple

23. función de autocorrelación parcial • Para hacer la función de autocorrelación parcial muestral se puede aplicar MCO.

24. Procesos de ruido blanco Definición: • es un proceso estocástico de ruido blanco si; • Es un proceso con media = 0, varianza constante, y sin autocorrelación. No se puede predecir a partir de su pasado.

25. Procesos de paseo aleatorio Definición (18) • Un proceso estocástico sigue un paseo aleatorio si; • El valor en un momento es el valor del periodo anterior más un efecto aleatorio ruido blanco.

26. Procesos de paseo aleatorio

27. Procesos de paseo aleatorio • Se puede generalizar el modelo e incorporar una deriva.

28. Procesos de paseo aleatorio • Memoria permanente; todo los efectos aleatorios tienen un efecto permanente. • es una pendiente de una tendencia determinista. • está formado por la suma de todo las perturbaciones pasadas.

29. Procesos de paseo aleatorio • El primero momento; • Si el proceso no es estacionario en media.

30. Procesos de paseo aleatorio • La varianza; • No es estacionario en varianza; tiene una tendencia (incrementa linealmente). Paseo aleatorio tiene una tendencia en varianza o tendencia estocástica.

31. Procesos de paseo aleatorio • Otra manera de llegar al mismo resultado;

32. Procesos de paseo aleatorio • Autocovarianza; • La autocovarianza tampoco es constante

33. Procesos de paseo aleatorio • Conclusión: Paseo aleatorio no es estacionar. Esto complica la inferencia. De todos modos, hay un camino definida de variación a largo del tiempo.

34. Procesos de paseo aleatorio • Si transformamos el proceso a través de una diferencia, la transformación sería estacionaria.

35. Procesos de paseo aleatorio • Es importante detectar si un serie está generada por un pasea aleatorio. • 1) La función de autocorrelación simple puede dar una indicación. • Una correlograma presentará los primeros coeficientes muy cerca de 1, y esta va decreciendo suavemente.

36. Procesos de paseo aleatorio • La FAP, resultaría en un primero coeficiente significativo y cerca de uno, mientras los siguientes coeficientes serán cero.

37. Procesos de paseo aleatorio • Normalmente un FAS que está decreciendo muy lento con un primer FAP cerca uno y los restos cero, indica que podemos diferenciar para conseguir un serie temporal estacionario.

38. Procesos de paseo aleatorio • Otra manera para saber si se debe diferenciar una serie temporal son los contrastes de raíces unitarias. • Constaste de raíces unitarias. “unit roots”. Estima la ecuación;

39. Procesos lineales • Definición: Un proceso estocástico es lineal cuando lo podemos escribir como una función de una combinación lineal (posiblemente infinita) de variables aleatorios de ruido blanco.

40. Procesos lineales • Hay tres tipos de procesos estocásticos lineales; • Autoregresivas (AR) • Media móvil (MA) • ARMA (la combinación de AR y MA)

41. Procesos lineales • Se puede introducir una constante para tener procesos con una media . • Se puede expresar los procesos con un polinomio de operadores de retardos. El operador de retardos L esta definido por; • Este operador retarda la serie tantas periodos como el exponente indica.

42. Procesos lineales • Utilizando el operador de retardos y la generalización con el constante, , podemos escribir los procesos: • Se puede transformar procesos AR y ARMA en procesos MA.

43. Procesos lineales Teorema de Wold. Cualquier proceso estocástico estacionario se puede representar con una suma de dos procesos. Donde es linealmente determinista y es un proceso : Donde es ruido blanco.

44. Procesos lineales • El proceso se puede aproximar a través modelos lineales, cuando el polinomio infinito se puede aproximar bien con un cociente de dos polinomios en • Transformaciones puede hacer series estacionarios y la teorema permite crear modelos relativamente sencillas a partir de modelos lineales.

45. Procesos autoregresivos (AR) • Un proceso autoregresivo se puede escribir,

46. Procesos autoregresivos (AR) • Para que un proceso AR sea estacionario el polinomio en el operador de retardos asociados al proceso tiene que ser estable, es decir, al calcular las raíces del polinomio, estas tienen de caer fuera del círculo unidad. Los valores de que satisfacen esto cumple .

47. Procesos autoregresivos (AR) • Si hay alguno raíz igual a 1 (raíz unitario) el proceso AR no es estacionario, y no se pueden expresar como procesos . Si hay alguna raíz inferior a 1 el proceso será explosivo y tampoco estacionario.

48. Procesos autoregresivos (AR) • Las condiciones para estacionariedad son: • (necesaria, pero no suficiente): • (suficiente, pero no necesario):

49. Procesos autoregresivos (AR) • AR(1) estacionariedad • Condición necesaria y suficiente:

50. Procesos autoregresivos (AR) • Un proceso estacionario se puede escribir como un proceso . • Se puede llegar a la misma solución a través de substitución recursiva.