Compositionaliteit, bereik en lambda’s

1. Compositionaliteit, bereik en lambda’s Henriëtte de Swart

2. Meer dan woorden… • Betekenis van constituenten, zinnen. • Vraag: hoe wordt de betekenis van complexe gehelen opgebouwd uit die van woorden. • ‘Jan slaat Piet’  ‘Piet slaat Jan’ • Woordvolgorde  Subject-Object relatie  Agens-Patiens relatie.

3. Compositionaliteit • Principe van Compositionaliteit van betekenis (Frege): betekenis van geheel is functie van de betekenis van de samenstellende delen en van de manier waarop ze zijn samengesteld. • Woorden + structuur • Dus: semantiek altijd afhankelijk van syntaxis.

4. Semantische representaties • Semantische representaties worden geformuleerd in logische talen (b.v. 1e orde propositie/predikatenlogica). • Logische talen respecteren principe van compositionaliteit: regels voor interpretatie volgen regels voor wffs.

5. Probleem I • Eerste orde logica is niet voldoende om alle natuurlijke taaluitdrukkingen te representeren (modificatie, kwantificatie over predikaten, tweede orde kwantoren).

6. Modificiatie • Joost is een Nederlandse taalkundige • T(j)  Nl(j) • Pim is een grote muis/een kleine olifant • Niet: M(p)  Gr(p) • Niet: O(p)  Kl(p)

7. Kwantificatie over eigenschappen • Jan heeft alle eigenschappen van Sinterklaas. • P [P(s)  P(j). • Geen eerste orde logica! • In eerste orde logica alleen predikaatconstanten (geen predikaatvariabelen).

8. Tweede orde kwantoren • Alle studenten houden van taalkunde. • x [St(x)  Hvt(x)] • De meeste studenten houden van taalkunde. • Niet: Mx [St(x)  Hvt(x)] waarom niet? • Niet: Mx [St(x)  Hvt(x)] waarom niet?

9. Probleem II • Probleem: syntaxis van natuurlijke taal syntaxis van propositie/ predikatenlogica. • Is het wel mogelijk om een compositionele interpretatie van natuurlijke taal te geven m.b.v. deze logica’s?

10. 1e orde logic en compositionaliteit • Zinnen met individuele constanten/ variabelen: compositionele vertaling . • Hanna slaapt. Hanna slaapt (S) S(h) / \ functie applicatie Hanna h Slaapt S (NP) (VP)

11. Kwantoren en compositionaliteit • Zinnen met kwantoren: geen compositionele vertaling. B.v. Iedere student danst. Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student Danst D (NP) (VP) / \ Iedere ?? student S (Det) (N)

12. Kwantoren en compositionaliteit • Zinnen met kwantoren: geen compositionele vertaling. B.v. Iedere student danst. Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student ?? Danst D (NP) (VP) / \ Hoe komen we Iedere ?? student S compositioneel (Det) (N) van hier naar daar?

13. Lambda abstractie • Gebruik van lambda abstractie maakt het mogelijk semantische representaties te geven voor delen van een syntactische boom, zodat we een compositionele vertaling van de zin kunnen geven. • Lambda abstractie ook met 2e orde logica.

14. Essentie • 1-plaatsige predikaten (praten, dansen, student,…) denoteren verzamelingen. • Vertaling als predikaat: hoofdletters (P, D,S,…). • Vertaling als lambda abstract: xP(x). •  bindt individuele variabele x. •  pikt alle waarden van x eruit die de formule P(x) waar maken, en definieert daarmee de verzameling van P’s (karakteristieke functie).

15. Lambda’s: formeel • Als  een formule is, en x een variabele (die normaliter voorkomt in ), dan is ||x||M, g die functie h van het universum U naar {0,1} zodanig dat voor alle individuen e in U, h(e) = 1 als ||x||M, g[x/e] = 1, en h(e) = 0 anders.

16. Lambda conversie • Toepassing van lambda abstract op constante/variabele leidt tot lambda conversie: [x S(x)](h) = S(h) • x S(x): 1-plaatsig predikaat. Functie applicatie: toepassen op individuele constante h. Lambda conversie: deletie van  en vervanging van x door h.

17.  conversie: formeel • Voor  een open propositie, en x een individuele variabele die voorkomt in , en c een individuele constante, dan x (c)  [c/x], waar [c/x] is de formule  met vervanging van alle voorkomens van x door c.

18. Compositionaliteit met  • Hanna slaapt • Hanna slaapt (S) xS(x)(h) = S(h) / \ functie applicatie Hanna h Slaapt xS(x) (NP) (VP)

19. Abstractie over predikaten • Een kleine olifant x (K(O))(x). een kleine olifant (NP) x(K(O))(x) / \ een ?? kleine olifant (A(N)) yK(O)(y) / \ functie applicatie kleine (A) olifant (N) PyK(P)(y) O

20. NPs als verzameling eigenschappen • Hanna: h (individuele constante) • Hanna: P P(h) (bundel eigenschappen • Hanna slaapt: S(h) • Slaapt(Hanna): x S(x)(h) = S(h) • ‘Hanna is een slaper.’ • Hanna(Slapen): P P(h)(Slapen) = S(h) • ‘Slapen is een eigenschap van Hanna.’

21. Lambda’s met kwantoren • Iedereen danst x D(x) • Kwantoren verwijzen niet naar een vast individu, dus geen representatie als constante, maar: P x P(x) • ‘Dansen is een eigenschap van iedereen.’ • P x P(x)(Dansen) = x D(x)

22. Compositionaliteit met kwantoren Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student ?? Danst D (NP) (VP) / \ Iedere ?? student S (Det) (N)

23. Compositionaliteit met kwantoren Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student Danst Qx[S(x)Q(x)] yD(y) / \ Iedere student zS(z) PQx[P(x)Q(x)]

24. Tweede orde kwantoren • De meeste studenten dansen • De meeste: PQ[|PQ| > |P-Q|] • Relatie tussen twee verzamelingen: abstractie over twee predikaten.

25. Reflexieven I • Zichzelf: RxR(x,x), waarbij R een 2-plaatsige relatie. • Hanna bewondert zichzelf. • Zichzelf bewonderen: RxR(x,x)(Bewonderen) = xB(x,x) • Hanna bewondert zichzelf: xB(x,x)(h) = B(h,h).

26. Reflexieven II • Iedereen bewondert zichzelf. • Zichzelf bewonderen: RxR(x,x)(Bewonderen) = xB(x,x) • Iedereen: PyP(y). • Iedereen bewondert zichzelf: • PyP(y)(xB(x,x)) = yB(y,y)

27. Van buiten naar binnen • Mo kust Peter  Peter kust Mo. • yx Kussen(y)(x)(p) = x Kussen(p)(x) • Eigenschap ‘Peter kussen’ • x Kussen(p)(x)(m) = Kussen(p)(m) • Kussen(p)(m) = Kussen(m,p) • ‘Mo kust Peter’

28. Van buiten naar binnen • Mo kust Peter  Peter kust Mo. • xy Kussen(y)(x)(p) = y Kussen(y)(p) • ‘gekust worden door Peter’ • y Kussen(y)(p)(m) = Kussen(m)(p) • Kussen(m)(p) = Kussen(p,m) • ‘Peter kust Mo’

29. Passief constructie • Actieve vorm van het werkwoord: yx Kussen(y)(x) ‘kussen’ • Passieve vorm van het werkwoord: • xyKussen-(x)(y) ‘gekust worden door’ • Lexicale operatie: vorm een passief uit een actief.

30. Bereiksambiguïteiten • Buiten iedere ambassade wapperde een vlag. • xy (Amb(x)  Vlag(y) & Wapper(x,y)) • yx (Vlag(y) & Amb(x)  Wapper(x,y))

31. Direct bereik • Iedere ambassade > een vlag. • Combineer een vlag met predikaat wapperen, daarna iedere ambassade. • Qx[Amb(x)Q(x)] • z[y [Vlag(y) & Wap(z,y)]] • x[Amb(x) y [Vlag(y) & Wap(x,y)]]

32. Omgekeerd bereik • Een vlag > iedere ambassade. • Combineer iedere ambassade met predikaat wapperen, daarna een vlag. • Py [Vlag(y) & P(y)] • zx [Amb(x)  Wapperen(x,z)] • y [Vlag(y) & x [Amb(x)  Wap(x,y)]]

33. Conclusie • -abstractie en -conversie maken het mogelijk delen van de syntactische boom te interpreteren. • Handhaving principe van compositionaliteit. • Toepassing op andere verschijnselen: reflexiviteit, passiefvorming, bereik.