Matematinė analizė ir tiesinė algebra

1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 3-4 paskaitos.

2. Funkcijos išvestinė • Tegu y=f(x) ir Δxyra funkcijos argumento pokytis taške x, o Δy=f(x+Δx)-f(x) – atitinkamas funkcijos pokytis. Funkcijosišvestine taške x (žymima f’(x)) vadinama riba • Jei riba neegzistuoja, sakoma, kad funkcija išvestinės taške neturi. • Jei funkcija turi išvestinę taške x, tai ji vadinama diferencijuojama taške x. Išvestinės skaičiavimas vadinamas funkcijos diferencijavimu. • Jei funkcija f(x)turi išvestinę taške x, tai ji yra tolydi šiame taške.

3. Išvestinės interpretacijos • Išvestinės f’(x)geometrinė interpretacija: tai yra kampo, kurį sudaro funkcijos f(x) liestinė taške (x, f(x)) su Ox ašimi, tangentas. • Kita vertus, santykis Δy/Δx yra funkcijos kitimo vidutinis greitis, kai argumentas kinta intervale [x; x+Δx]. Vadinasi, riba rodo funkcijos kitimo momentinį greitį (funkcijos kitimo greitį momentu x). • Pavyzdžiui, tegu K=K(x)yra gamybos kaštų K priklausomybė nuo produkcijos kiekio x. Šios funkcijos pokytis ΔK=K(x+Δx)-K(x) yra gamybos kaštų pokytis, atitinkantis produkcijos kiekio pokytį Δx. Tuomet santykis ΔK/Δx yra vidutinis kaštų kitimo greitis produkcijos kiekio intervale [x; x+Δx] ir momentinis (ribinis) gamybos kaštų kitimo greitis, esant gamybos lygiui x, gaunamas apskaičiavus ribą

4. Diferencijavimo taisyklės • Pastoviosios funkcijos išvestinė lygi nuliui. • Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija, tai su bet kuria konstanta c • Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai • Išvada. Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai su bet kuriomis konstantomis a ir b

5. Diferencijavimo taisyklės • Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai • Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija ir f(x)≠0, tai • Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos ir g(x)≠0, tai

6. Diferencijavimo taisyklės Pažymėję u=f(x), v=g(x), galime parašyti

7. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė

8. Diferencijavimo taisyklės • Teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama ir monotoniška intervale (a; b). Tada f(x) turi atvirkštinę funkcija g(x), funkcija g(x) yra diferencijuojama savo apibrėžimo srityje (c; d), ir kiekvienam x iš intervalo (c; d) • Teorema (sudėtinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama taške x, o funkcija g(y) yra diferencijuojama taške y=f(x). Tuomet sudėtinė funkcija F(x)=g(f(x)) taip pat yra diferencijuojama taške x ir arba

9. Diferencialas • Funkcijos f(x)diferencialu dy taške x vadinama sandauga f’(x)Δx, t.y. • Vietoje Δx galime rašyti dx, nes dx=x’Δx=Δx.Taigi arba t.y. funkcijos išvestinė yra lygi funkcijos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui. Šiuo santykiu dažnai žymima išvestinė. • Kai argumento pokytis Δx yra mažas, tai Δy ≈ dy. Todėl diferencialas yra naudojamas skaičiuojant funkcijų reikšmes ir vertinant paklaidų didumą. Tarkime Δy yra f(x) pokytis taške x, atitinkantis argumento pokytį Δx. Tuomet, jei f(x) yra žinoma, tai funkcijas reikšmes x aplinkoje galima įvertinti kaip

10. Aukštesniųjų eilių išvestinės • Funkcijos f(x)n-oji išvestinė yra (n-1)-osios išvestinės išvestinė. Šios išvestinės žymimos arba • Leibnico formulė

11. Elementariųjų funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinių lentelė

12. Išvestinės taikymai. Elastingumas Dar viena ekonomikoje taikoma rodiklių kitimo greičio charakteristika yra elastingumas. Funkcijos y=f(x)santykine išvestine, arba elastingumu, kintamojo x atžvilgiu taške x vadinama riba Elastingumas nesunkiai išreiškiamas funkcijos y=f(x) išvestine Elastingumo ekonominė prasmė yra procentinis funkcijos y pokytis argumento reikšmei pakitus vienu procentu: Ex(y) didumas rodo, keliais procentais pakito y, kai kintamasis x pakito vienu procentu.

13. Išvestinės taikymai. Netiesinių lygčių sprendimas Niutono metodu. • Sprendžiamelygtį f(x)=0. Jei pradinis artinys x0 toks, kad tai kur a yra lygties šaknis: f(a)=0, o

14. Išvestinės taikymai. Lopitalio taisyklė • Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos taško a aplinkoje, išskyrus galbūt patį tašką a, g(x)≠0 ir g’(x)≠0 toje aplinkoje, ir Tuomet: jei dešinės pusės riba egzistuoja arba yra +∞ arba -∞. • Pastaba. Lopitalio taisyklė taikytina ir tada, kai f(x)/g(x) yra neapibrėžtumas ∞/∞ taške a. Taisyklė galiojo ir kai a=∞ arba a=-∞.

15. Išvestinės taikymai. Teiloro formulė Tarkime, kad funkcija f(x) turi visas išvestines taško a aplinkoje. Tuomet toje aplinkoje

16. Išvestinės taikymai. Funkcijosekstremumai • Lagranžo teorema. Jei funkcija y=f(x)yra tolydi uždarame intervale [a; b]ir turi išvestinę bent atvirame intervale, tai yra toks taškas c, a<c<b, kad galioja lygybė vadinama Lagranžo, arba baigtinių pokyčių, formule. • Išvestine yra patogu naudotis, tiriant funkcijas bei braižant jų grafikus. Remiantis Lagranžo teorema, įrodomas funkcijos pastovumo kriterijus ir didėjimo bei mažėjimo požymiai. • Funkcija y=f(x)yra pastovi intervale tada ir tik tada, kai jos išvestinė šiame intervale yra lygi nuliui. • Jei funkcija y=f(x)intervale didėja (mažėja), tai jos išvestinė šiame intervale tenkina nelygybę f’(x)≥0 (f’(x)≤0). • Jei funkcijos y=f(x)išvestinė intervale yra teigiama (neigiama), tai funkcija šiame intervale yra didėjanti (mažėjanti).

17. Išvestinės taikymai. Funkcijosekstremumai • Funkcijos y=f(x)reikšmė f(a) vadinama funkcijos lokaliu maksimumu (minimumu), jei yra taško a aplinka, kurioje galioja nelygybė f(x) < f(a)(f(x) > f(a)). • Funkcijos maksimumai ir minimumai vadinami jos ekstremumais, o tos argumento reikšmės, kuriose įgyjami ekstremumai, - ekstremumo taškais. Kaip randami funkcijos ekstremumo taškai? • Teorema. Tegu funkcija y=f(x)intervalo (a; b) taške c įgyja ekstremumą. Jei šiame taške egzistuoja išvestinė f’(c) , tai ji yra f’(c)=0. • Ieškant ekstremumo reikia tirti ne tik tuos taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, bet ir tuos, kuriose išvestinė neegzistuoja. Visi tokie taškai vadinami kritiniais taškais.

18. Išvestinės taikymai. Funkcijosekstremumai • Teorema (pakankamos ekstremumo sąlygos). Tarkime, kad funkcija y=f(x)yra tolydi atvirame intervale ir diferencijuojama kiekviename to intervalo taške, išskyrus galbūt jo vidinį tašką c. Tuomet • jei f’(x)>0 į kairę nuo c ir f’(x)<0 į dešinę nuo c, tai f(c)yra lokalusis maksimumas; • jei f’(x)<0 į kairę nuo c ir f’(x)>0 į dešinę nuo c, tai f(c)yra lokalusis minimumas; • jei f’(x)turi tą patį ženklą abipus taško c, tai f(c) nėra nei minimumas, nei maksimumas. • Teorema. Tarkime, f’(c)=0. Jei f’’(c)<0,tai f(c)yra lokalusis maksimumas. Jei f’’(c)>0,tai f(c)yra lokalusis minimumas.