TEMA 3 ÁLGEBRA VECTORIAL

1. TEMA 3ÁLGEBRA VECTORIAL

2. OBJETIVO El alumno aplicará el álgebra vectorial en la reso-lución de problemas geométricos. CONTENIDO 3.1 Sistema cartesiano en tres dimensiones. Sime-tría de puntos. 3.2 Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definición de segmento dirigido. Componentes

3. Escalares de un segmento dirigido en la dirección de los ejes coordenadas. El vector como terna ordenada de números reales. Definición de mó-dulo de un vector e interpretación geométrica. Vector de posición de un punto. Vector nulo. Vector unitario. Vectores unitarios i, j, k. Vecto-res representados por una combinación lineal de los vectores i, j, k. 3.3 Definición de igualdad de vectores. Operaciones con vectores: adición, sustracción y multiplicación por un escalar. Propiedades de las operaciones.

4. 3.4 Producto escalar de dos vectores y propieda-des. Condición de perpendicularidad entre vec-tores. Componente escalar y componente vecto-rial de un vector en la dirección de otro. Ángulo entre dos vectores. Ángulos, cosenos y números directores de un vector. 3.5 Producto vectorial: definición, interpretación geométrica y propiedades. Condición de para-lelismo entre vectores. Aplicación del producto vectorial al cálculo del área de un paralelo-gramo. 3.6 Producto mixto e interpretación geométrica.

5. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES DEFINICIÓN: Se llama cantidad escalar a aquella que sólo posee magnitud. Existen propiedades físicas tales como la magnitud de la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, etc., que se representan por el valor de un número real, a estas propiedades se les llama magnitudes escalares.

6. DEFINICIÓN: Una cantidad es vectorial si posee magnitud, direc-ción y sentido.En el caso de las propiedades físicas que involucran el concepto de dirección y sentido asociados a la magnitud de la variable física se le denomina magnitud o cantidad vectorial. Por ejemplo, el desplazamiento rectilíneo en el es-pacio, para definirlo, además de especificar el valor de su magnitud, hay que indicar la dirección y el sentido del desplazamiento en el espacio. Otras cantidades vectoriales son: velocidad, aceleración, fuerza, campo magnético, par mecánico, etc.

7. Gráficamente el desplazamiento puede ser repre-sentado por un segmento de recta que tenga una magnitud, dirección y sentido al que se le llama vector de desplazamiento. Magnitudes como la velocidad, aceleración, fuer-za, etc. son propiedades físicas que tienen una magnitud, dirección y sentido, por lo cual se representan gráficamente con un segmento de recta con dirección y a estas propiedades físicas se les llama cantidades vectoriales.

8. DEFINICIÓN: Se llama segmento dirigido a un segmento de recta en el que se ha asignado un punto origen y un punto extremo. Como ya se mencionó, si el desplazamiento se le representa gráficamente con un segmento de recta dirigido AB como se muestra en la figura, a esta representación se le llama vector “v”.

9. SEGMENTO DIRIGIDO AB Z B AB = v A Y O X

10. EJEMPLO: v = AB A(4, 0.3, 0) B(7, 0.3, 0) v = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3) v = (3, 0, 0)

11. v’ = AB A’(4, 0.6, 0) B’(7, 0.6, 0) v’ = (b’1 – a’1, b’2 – a’2, b’3 – a’3) v’ = (3, 0, 0) v = v’; v = (v1, v2, v3) = v’ =(v’1, v’2, v’3)

12. Al vector AB también se le puede denotar con le-tras negritas o pesadas para no colocar la flecha encima, quedando AB. Si se establece el vector BA indica que es de igual magnitud a AB pero de sentido contrario, aunque tenga la misma dirección. Se dice que dos vectores son iguales cuando tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Lo que implica que sean paralelos o estén en la misma recta.

13. DEFINICIÓN DE “VECTOR LIBRE” Si al vector AB se le puede representar por medio de una infinidad de segmentos dirigidos que tengan la misma magnitud, dirección y sentido, a este tipo de vectores se les llama vectores libres. Por ejemplo, el campo gravitatorio terrestre se puede representar con un vector “g” en dirección radial y de sentido hacia el centro de la Tierra, con una magnitud constante en cualquier parte de la superficie del globo terráqueo.

14. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR. Para representar analíticamente un vector se usa una terna ordenada de números reales v = (v1, v2, v3), a los cuales se les denomina componentes esca-lares del vector o números directores del vector. En Geometría Analítica en el espacio de tres dimen-siones el vector se define como el segmento de recta que tiene magnitud, dirección y sentido.

15. DEFINICIÓN: Sea el vector v = (v1, v2, v3), si dicho vector se repre-senta por el segmento dirigido AB donde su punto origen es A(a1, a2, a3) y su punto extremo B(b1, b2, b3) las componentes escalares del vector son: v1= b1 – a1; v2 = b2 – a2; y v3 = b3 – a3 Sustituyendo en el vector v v = (v1, v2, v3) = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)

16. SEGMENTO DIRIGIDO AB Z B(b1, b2, b3) AB = v = (v1, v2, v3) = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3) A(a1, a2, a3) Y O X

17. EJERCICIO: Sea el segmento dirigido AB, en donde A(-1, 3, 0) y B(0, -3, 4) determinar las componentes escala-res del vector representado por el segmento dirigido AB. RESOLUCIÓN: De acuerdo a la definición v = AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3) = (v1, v2, v3) Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B v = (0 – (-1), -3 –(3), 4 – 0) = (1, -6, 4)

18. EJERCICIO: Sea el vector n = (0, 0, 7). Determine las coordena-das de los puntos origen y puntos extremos de dos segmentos dirigidos que representen al vector. RESOLUCIÓN: Aplicando la definición de vector B (0, 0, 0); A(0, 0, -7) n = AB = (0, 0, 7) = (0 – 0, 0 – 0, 0 -(-7)) B’(0, 0, 7); A’(0, 0, 0); n = A’B’ = (0, 0, 7) = (0 – 0, 0 – 0, 7 - 0)

19. EJERCICIO: Sea el vector u = (-4, 8, 0). Si un segmento dirigi-do que lo representa tiene como origen A(2, -1, 5), obtenga las coordenadas del punto extremo del segmento. RESOLUCIÓN: u = (u₁, u₂, u₃) = AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃) u₁ = b₁ - a₁ → b₁ = u₁ + a₁ = -4 + 2 = -2 u2 = b2 – a2→ b2 = u2 + a2 = 8 + (-1) = 7 u₃ = b₃ - a₃ → b₃ = u₃ + a₃ = 0 + 5 = 5 B(-2, 7, 5)

20. DEFINICIÓN: Se llama vector nulo o vector cero a 0 = (0, 0, 0). El vector nulo tiene magnitud nula y no tiene definida ni su dirección ni su sentido. A(a₁, a₂, a₃) Sí a₁ = b₁ B(b₁, b₂, b₃) a₂ = b₂ a₃ = b₃ 0 = AB = (0, 0, 0)

21. DEFINICIÓN: Se llama vector de posición de un punto P(P1, P2, P3) a aquel que tiene su punto origen en el origen “O” del sistema de coordenadas en el espacio y su punto extremo en el punto P. Las componentes escalares del vector de posición p están dadas por : p = (p1, p2, p3) Estos vectores, a diferencia de los libres, ocupan una sola posición y son únicos.

22. VECTOR DE POSICIÓN p Z P(p1, p2, p3) p = (p1, p2, p3) Y O X

23. De acuerdo a lo anterior, si se quiere determi-nar el vector de posición del punto A(a₁, a₂, a₃), se considera que tiene su punto origen en el origen “O” del sistema de coordenadas en el espacio y su punto extremo en el punto A, de tal manera que: a = 0A = (a₁ - 0, a₂ - 0, a₃ - 0) Es decir: a = (a₁, a₂, a₃)

24. De manera semejante, si se quiere determinar el vector de posición del punto B(b₁, b₂, b₃), se considera que tiene su punto origen en el origen “O” del sistema de coordenadas en el espacio y su punto extremo en el punto B, de tal manera que: b = (b₁, b₂, b₃)

25. SEGMENTO DIRIGIDO AB Z B(b1, b2, b3) AB = v A (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) a = (a1, a2, a3) Y O X

26. MAGNITUD O MÓDULO DE UN VECTOR La magnitud o módulo de un vector es el “tamaño” de cualquier segmento dirigido que lo representa, y se calcula como: a = √ a1² + a2² + a3² Donde a1, a2 y a3 son las componentes escalares del vector.

27. Esta ecuación se demuestra a partir del Teorema de Pitágoras aplicado a un punto en el espacio y referido al sistema coordenado de la siguiente figura. Z A a 0 Y a1 a3 ℓ 90º 90º a2 X

28. La magnitud del segmento |OP| = √ℓ² + a3² ℓ = √a1² + a2² |OP| = |a| Sustituyendo en la ecuación anterior : |a| = √a1² + a2² + a3²

29. DEFINICIÓN: Un vector es unitario si su módulo es igual a la unidad. A continuación se definen los siguientes vectores unitarios: i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) A estos vectores se les suele denotar con i, j, k, para especificar que son unitarios pero son tan conocidos que se omitirá su notación y sólo se empleará i, j, k. ˆ ˆ ˆ

30. Z ̂ |i| = √(1)² + (0)² + (0)² = √1 = 1 |j| = √(0)² + (1)² + (0)² = 1 |k| = √(0)² + (0)² + (1)² = 1 I, j, k ̂ ̂ 1 ̂ k ̂ Y i ̂ 0 1 j 1 X

31. COROLARIO Sea el vector no nulo a = (a1, a2, a3), un vector unitario con la misma dirección y sentido que a es u = 1 (a1, a2, a3)= a |a| |a| REPRESENTACIÓN TRINÓMICA DE UN VECTOR Los vectores se representan analíticamente por me-dio de ternas ordenadas de números reales, pero.

32. también puede utilizarse la representación trinómi- ca, que consiste en emplear los vectores unitarios i, j y, k, y las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar, de acuerdo con el siguiente teorema. TEOREMA: Sea el vector a = (a1, a2,a3), entonces a = (a1i + a2j + a3k)

33. Desarrollando términos: a = a1i + a2j + a3k = a1(1, 0, 0) + a2(0,1, 0) + a3(0, 0, 1) = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) = (a1, a2, a3)

34. EJERCICIO: Sean los vectores u = (2, -3, 5), v = (1, 2, -3), obte-ner que las componentes del vector w, de tal ma-nera que u + 3v + w = 0 RESOLUCIÓN: u = (2, -3, 5) = 2i – 3j + 5k v = (1, 2, -3) = i – 2j + 3k

35. u + 3v + w = 0 = 0i + 0j + 0k Despejando al vector w de la ecuación anterior: w = 0 – u – 3v w = (0i + 0j + 0k) - (2i – 3j + 5k) - 3(i – 2j + 3k) Sustituyendo términos con la misma dirección: w = -5i – 3j + 4k = (-5, -3, 4)

36. DEFINICIÓN: Los ángulos directores de un vector son los ángulos que forma un segmento dirigido que representa a di-cho vector con los ejes coordenados. En la siguiente figura se muestran los ángulos direc-tores “α”, “β” y “γ” del vector v, en donde “α” es el án-gulo que forma el segmento dirigido con el eje de las abscisas, “β” el formado con el eje de las ordenadas y “γ” con el de las cotas. Estos ángulos varían entre 0 y 180°.

37. Z γ p β O Y α X

38. DEFINICIÓN: Los cosenos directores de un vector son los cosenos de sus ángulos directores. cosα = a1; cosβ = a2 ; cosγ = a3 |ā| |ā| |ā| Un coseno director puede ser positivo o negativo si el ángulo es agudo u obtuso, puede ser nulo si el ángulo es recto. Si un coseno director es igual a la unidad el ángulo director es cero, si el coseno di-rector es igual a menos uno, el ángulo director es de 180º.

39. TEOREMA: Sea el vector no nulo a = (a1, a2, a3). Entonces sus cosenos directores cumplen con: √cos²α + cos²β + cos²γ = 1 Ya que cosα = a1 , cosβ = a2 , cosγ = a3 |a| |a| |a| Sustituyendo a1²+ a2²+ a3² = a1² + a2² + a3 ² |a|² |a|² |a|² |a|² √ √

40. √ |a| = 1 ya que |a| ≠ 0 |a| Un vector unitario tiene por componente sus cosenos. EJERCICIO: Determine los ángulos y cosenos directo-res del vector v = (0, 0, -2) Se observa que el vector tiene componente única-mente en el eje de las cotas, sin embargo se ob-tendrán sus características: |v| = √0² + 0² + (-2)² = 2

41. cosα = 0 = 0, cosβ = 0 = 0, cosγ = -2 = -1, 2 2 2 Entonces: α = β = ángcos 0 = 90º, γ = ángcos (-1) = 180º z 4 v 2 y x

42. EJERCICIO: Sea un vector u del que se conocen dos de sus cosenos directores: cosβ= 1 y cosγ= 1 3 2 Calcule el otro coseno director. RESOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior √

43. √cos²α + (√1/3)² + (1/2)² = 1 Elevando al cuadrado esta Ec. Y desarrollando términos: cos²α + 1/3 + ¼ = 1 = cos²α + 3 + 4 = 12 12 12 cos²α = 5/12; cosα = √5/12 = ½ √5/3

44. EJERCICIO: Determinar los ángulos directores de un vector que tenga sus números directores positivos y que sus cosenos directores sean iguales. RESOLUCIÓN: condiciones del problema a1, a2, a3 → POSITIVOS cosα = cosβ = cosγ α = ?, β = ?, γ = ?

45. De acuerdo al TEOREMA anterior y a la definición de coseno director cosα = a1 =cosβ = a2 = cosγ = a3 |a| |a| |a| De la ecuación anterior se concluye: a1 = a2 = a3 Sustituyendo lo anterior a cosα, por ejemplo:

46. cosα = a1 =______a1________________ |a| √ a1² + a2² + a3² cosα = a1 =______a1________________ |a| √ a1² + a1² + a1² cosα = a1 =a1__ = a1 = _1_ |a| √3a1² (√3)a1 √3

47. α = áng cos ( 1 ) = 54.7356º √3 De manera semejante para «β» y «γ» β = áng cos ( 1 ) = 54.7356º √3 γ = áng cos ( 1 ) = 54.7356º √3

48. DEFINICIÓN: Dos vectores ā = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) son iguales, si y sólo si: a1= b1; a2 = b2; a3 = b3 lo cual implica que tienen el mismo módulo, direc-ción y sentido y pueden estar sobre la misma recta.

49. EJEMPLO: v = AB A(4, 0.3, 0) B(7, 0.3, 0) AB =(3, 0, 0) = v v’ = A’B’ A’(4, 0.6, 0) B’(7, 0.6, 0) A’B’ = (3, 0, 0) = v’ v = v’

50. OPERACIÓN CON VECTORES ADICIÓN: La adición de dos vectores es la operación entre a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) de tal manera que: a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) PROPIEDADES DE LA ADICIÓN TEOREMA: Sean los vectores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3) entonces: