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TEMA 10 * 3º ESO

TEMA 10 * 3º ESO. CUERPOS DE REVOLUCIÓN. TEMA 10.0 * 3º ESO. CUERPOS DE REVOLUCIÓN. CILINDRO. Un cilindro es el cuerpo de revolución generado por un rectángulo al girar en torno a cualquiera de sus lados. El lado que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del cilindro.

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Presentation Transcript

  1. TEMA 10 * 3º ESO CUERPOS DE REVOLUCIÓN Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. TEMA 10.0 * 3º ESO CUERPOS DE REVOLUCIÓN Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. CILINDRO • Un cilindro es el cuerpo de revolución generado por un rectángulo al girar en torno a cualquiera de sus lados. • El lado que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del cilindro. • El otro lado hace de radio del círculo que se genera al girar. El círculo que se genera será la base del cilindro. • Generatriz de un cilindro es cualquier recta de la superficie generada perpendicular a las bases. • También se genera al girar un rectángulo en torno a uno cualquiera de los ejes de simetría de dicho rectángulo. b g h a r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. Ejercicio_1 • Un rectángulo de dimensiones 6 cm y 8 cm gira el torno a uno de sus lados, produciendo un cilindro. • Hallar el área de la base, el área lateral y el total. • (Nota: Dibujar los dos cilindros). • CASO 1: Generatriz = 8 cm • Ab = л.r2 =3,14.36= 113,10 cm2 • Al = 2л.r.h =2.3,14.6.8= 301,59 cm2 • At= 2.Ab +Al = 2.113,10+301,59= 527,79 cm2 • CASO 1: Generatriz = 6 cm • Ab = л.r2 =3,14.64= 201,06 cm2 • Al = 2л.r.h =2.3,14.6.8= 301,59 cm2 • At= 2.Ab +Al = 2.201,06+301,59= 703,71 cm2 b g h a r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. CONO • Un cono es el cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno cualquiera de sus catetos. • El cateto que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del cilindro. • El otro cateto hace de radio del círculo que se genera al girar. • Ese círculo que se genera es la base del cilindro. • La hipotenusa del triángulo rectángulo se convierte en la GENERATRIZ, que es el radio del sector circular que forma la superficie lateral del cono. • Por tanto: g2 = h2 + r2 g g h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. Ejercicio_2 • Un triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm gira el torno a uno de ellos, produciendo un cono. • Hallar el área de la base, el área lateral y el total. • (Nota: Dibujar los dos conos) • CASO 1: Altura del cono = 8 cm • Generatriz: g = 10 cm por Pitágoras. • Ab = л.r2 =3,14.36= 113,10 cm2 • Al = л.r.g =3,14.6.10 = 188,50 cm2 • At= Ab +Al = 113,10+188,50= 301,60 cm2 • CASO 1: Altura del cono = 6 cm • Ab = л.r2 =3,14.64= 201,06 cm2 • Al = л.r.h =3,14.8.10= 251,33 cm2 • At= Ab +Al = 201,06+251,33= 452,39 cm2 g g h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. TRONCO DE CONO • Un tronco de cono es el cuerpo de revolución generado por un trapecio rectángulo al girar en torno al lado perpendicular a las bases. • El lado que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del tronco de cono. • Las bases mayor y menor del trapecio se convierten en los radios (R y r) de los círculos que forman las bases del tronco de cono. • El lado oblicuo del trapecio se convierte en la generatriz del tronco de cono. • Por el Teorema de Pitágoras: • g2 = h2 + (R – r)2 r g h g h r R Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. Áreas en el tronco de cono • El área lateral de un tronco de cono es un segmento circular. • Será la diferencia de dos sectores circulares de igual amplitud (ángulo). • Como Al = л.r.g • Por tanto: • A1 = л.R.g • A2 = л.r.g • Al = A1 – A2 • Al = л.R.g – л.r.g • Al = л.(R – r).g • El área de las bases será la suma de las dos: • Ab1 = л.R2 • Ab2 = л.r2 • Ab = л.(R2 + r2) R r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. Ejercicio_3 • Un trapecio rectángulo presenta unas bases mayor y menor de 8 y 3 cm respectivamente, y una altura de 12 cm. • Gira alrededor de su lado perpendicular a las bases, generando un tronco de cono. • Hallar la generatriz del tronco de cono, las áreas de las bases y el área lateral. • Generatriz, por Pitágoras: • g2 = h2 + (R – r)2 = 122 + (8 – 3)2 = • =122 + 52 = 144+25 = 169 • De donde: g = √169 = 13 cm • Ab1 = л.R2 = л.82 = 3,14.64= 201,06 cm2 • Ab2 = л.r2 = л.32 = 3,14.9 = 28,26 cm2 • Al= л.(R – r).g = 3,14.5.13 = 204,10 cm2 r g h h r R Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. ESFERA • Un círculo al girar sobre su diámetro origina un cuerpo sólido llamado esfera. • El punto A del círculo original, al desplazarse alrededor del eje forma una circunferencia de máxima longitud. • Esa circunferencia, en la Tierra, se llama Ecuador. • La generatriz de la esfera será la semicircunferencia del círculo perpendicular al ecuador. • Las semicircunferencias generatrices, en la Tierra, se llaman Paralelos. • La superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro llamado centro de la esfera. r r A r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. Ejercicio_4 • El una esfera los planos azul y rojo son paralelos y distan 8 cm. El círculo de mayor área tiene 10 cm de radio. Hallar la distancia del punto A al B. • Por Pitágoras: BC = 6 cm • Tenemos: BD = 8 cm y DA = 10-6 = 4 cm • Luego por Pitágoras: • AB = √(82 + 42) = √(64+16) = √80 = 8,94 cm C B O D C A B 10 cm 8 cm D A O 10 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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