MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Onzième cours ACT2025 - Cours 11

2. Rappel: • Méthode de Newton-Raphson ACT2025 - Cours 11

3. Rappel: • Méthode de Newton-Raphson • Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur actuelle, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période ACT2025 - Cours 11

4. Rappel: Pour la méthode de Newton-Raphson, il nous faut un valeur initiale x0 et utiliser la règle récursive pour construire une suite x1, x2, …, xs, … qui converge vers un zéro de f(x) (si les conditions sont bonnes) ACT2025 - Cours 11

5. Rappel: Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante: ACT2025 - Cours 11

6. Rappel: La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux d’intérêt i numériquement dans l’équation alors que nous connaissons L, R et n nous donne ACT2025 - Cours 11

7. Rappel: et comme valeur initiale ACT2025 - Cours 11

8. Nous voulons résoudre maintenant l’équation alors que nous connaissons F, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation: ACT2025 - Cours 11

9. Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction ACT2025 - Cours 11

10. La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors ACT2025 - Cours 11

11. Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale ACT2025 - Cours 11

12. Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 : Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation. ACT2025 - Cours 11

13. Nous pouvons remplacer les n paiementsde R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée. Première hypothèse: ACT2025 - Cours 11

14. Nous allons approximer l’intérêt en calculant plutôt le taux d’escompte d et en supposant qu’il s’agit d’escompte simple. Nous allons approximer le taux d’intérêt i recherché en prenant comme première valeur i0 : ce taux d’escompte d. Deuxième hypothèse: ACT2025 - Cours 11

15. Justification heuristique de l’approximation: L’échéance moyenne approchée est car ACT2025 - Cours 11

16. Justification heuristique: (suite) Nous pouvons considérer notre transaction comme une sortie au montant de F dollars au temps t = n et une entrée de nR dollars au temps t = (n + 1)/2. ACT2025 - Cours 11

17. Justification heuristique: (suite) Nous notons par d: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons de l’escompte simple. Nous obtenons alors l’équation: ACT2025 - Cours 11

18. Justification heuristique: (suite) Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i0 ACT2025 - Cours 11

19. Justification heuristique: (suite) Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Ceci est présenté dans le recueil de notes de cours. ACT2025 - Cours 11

20. Supposons que nous versons à tous les fins de mois 350$ pendant 6 ans dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i(12) par année capitalisé mensuellement. Immédiatement après le dernier versement, le montant accumulé est égal à 30000$. Déterminons i(12) approximativement au moyen de la méthode de Newton-Raphson. Exemple 1: ACT2025 - Cours 11

21. Nous avons ainsi que Exemple 1: (suite) F = 30 000, R = 350, n = 6 x 12 = 72 et notons le taux d’intérêt par mois par i. ACT2025 - Cours 11

22. Exemple 1: (suite) La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors ACT2025 - Cours 11

23. Exemple 1: (suite) La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors ACT2025 - Cours 11

24. Exemple 1: (suite) En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par mois et en multipliant par 12 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant. ACT2025 - Cours 11

25. Exemple 1: (suite) ACT2025 - Cours 11

26. Exemple 1: (suite) Le taux nominal recherché est approximativement 5.74118% ACT2025 - Cours 11

27. Nous avons traité que du cas des annuités de fin de période. Bien entendu les mêmes techniques peuvent être utilisées dans le cas des annuités de début de période. Cependant pour résoudre ces équations impliquant des annuités de début de période, il est plus simple de les convertir en annuités de fin de période. ACT2025 - Cours 11

28. Ainsi l’équation est équivalente à l’équation Nous savons traiter cette dernière équation. ACT2025 - Cours 11

29. Alors que l’équation est équivalente à l’équation Nous savons traiter cette dernière équation. ACT2025 - Cours 11

30. CHAPITRE IVAnnuités générales ACT2025 - Cours 11

31. Jusqu’à maintenant nous avons traité que d’annuités simples constantes et pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation sont les mêmes. Il nous faut considérer des situations plus générales. ACT2025 - Cours 11

32. Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles • soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement ACT2025 - Cours 11

33. Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles • soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement • soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes ACT2025 - Cours 11

34. Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles • soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement • soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes • soit que les paiements ne sont pas constants ACT2025 - Cours 11

35. Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement • soit le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements pendant cette période ACT2025 - Cours 11

36. Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement • soit le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements pendant cette période • soit le taux d’intérêt est applicable au ke paiement et pour ce paiement, il est le même pour chaque période ACT2025 - Cours 11

37. Considérons la situation d’une annuité pour laquelle le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements de l’annuité pendant cette période. ACT2025 - Cours 11

38. Si nous considérons une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période, alors nous obtenons que sa valeur actuelle est Par analogie, nous noterons ceci par ACT2025 - Cours 11

39. Pour la même annuité, nous obtenons que la valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est Par analogie, nous noterons ceci par ACT2025 - Cours 11

40. Supposons que, pour un prêt, le taux d’intérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année. 10000$ est emprunté et ce prêt est remboursé par des paiements de R dollars à la fin de chaque année pendant 5 ans. Déterminons R. Exemple 2: ACT2025 - Cours 11

41. Exemple 2: (suite) Nous avons ainsi l’équation R (1.04)-1 + R(1.04)-1(1.045)-1 +R(1.04)-1(1.045)-1(1.05)-1 + R (1.04)-1(1.045)-1(1.05)-2 + R (1.04)-1(1.045)-2(1.05)-1 | | 10000. Nous obtenons alors que R = 2277.27$ ACT2025 - Cours 11

42. Supposons que nous plaçons 1000$ au début de chaque année. Si le taux d’intérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année. Déterminons le montant accumulé à la fin de la cinquième année. Exemple 3: ACT2025 - Cours 11

43. Ce montant accumulé est1000(1.04)(1.045)2(1.05)2 + 1000(1.045)2(1.05)2 + 1000(1.045)(1.05)2 + 1000(1.045)(1.05) + 1000(1.045)c’est-à-dire 5750.44$. Exemple 3: (suite) ACT2025 - Cours 11

44. Considérons la deuxième situation, celle d’une annuité pour laquelle le taux d’intérêt ik est applicable au ke paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. L’annuité consiste en des paiements de 1$ à la fin de chaque période. ACT2025 - Cours 11

45. Dans cette situation, la valeur actuelle de l’annuité sera Par analogie, nous noterons ceci par ACT2025 - Cours 11

46. La valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement sera Par analogie, nous noterons ceci par ACT2025 - Cours 11

47. Supposons que le premier paiement est rémunéré au taux de 6% par année, le second au taux de 5%, la troisième au taux de 5.5% et le quatrième au taux de 6% et que tous les montants sont de R dollars. Que doit être R si nous voulons accumuler 20000$? Exemple 4: ACT2025 - Cours 11

48. Nous avons l’équation de valeur à t = 4 ans Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que R = 4599.27$ ACT2025 - Cours 11

49. Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de l’intérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de l’intérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de l’intérêt. ACT2025 - Cours 11

50. Si la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de l’intérêt, nous allons supposer qu’il y a un nombre entier de périodes de paiement dans une période de capitalisation de l’intérêt. Hypothèse: ACT2025 - Cours 11