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MATH 5108

MATH 5108. Réalisé par GHADA YOUNES Centre L’Escale 2010. Les fonctions Trigonométriques ( 2 de 4) Les graphiques. Rôle des paramètres a, b, h et k dans l'équation canonique: f(x) = a sin b (x-h) +k. La fonction de base sinus: f (x) = sin x. a=1. Période: p = 2 π.

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Presentation Transcript

  1. MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre L’Escale 2010

  2. Les fonctions Trigonométriques ( 2 de 4) Les graphiques

  3. Rôle des paramètres a, b, h et k dans l'équation canonique: f(x) = a sin b (x-h) +k

  4. La fonction de base sinus:f (x) = sin x

  5. a=1 Période: p = 2π Graphique sin x 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1

  6. Rôle du paramètre aa>0: modifie l'amplitude de la fonction a<0: un a négatif produit une réflexion par rapport à l'axe des “x”

  7. a>1 sinx • f(x) = 1,5 sinx 1,5 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1 -1,5

  8. 0 < a < 1 sin x • f(x) = 0,5 sinx 1 0,5 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -0,5 -1

  9. a<0ex: a = -1,5 sin x • f(x) = -1,5 sinx 1,5 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1,5 • g(x) = 1,5 sinx

  10. Rôle du paramètre b1 - Modifie la période de la fonction 2 - Un b négatif provoque une réflexion par rapport à l'axe des y dans la fonction sin

  11. La période est inversement proportionnelle au paramètre b. formule: I b I= 2π/p

  12. pour (p = 4 π) calcul: IbI = 2π /4π IbI = ½ OU 0,5 Équation: f(x) = sin(x/2) Calcul de b: pour (p = π) • calcul: IbI = 2π /π IbI = 2 • Équation: f(x) = sin2x

  13. f(x) = sin2x b >1ex: b =2 sin x P = π 1 x -π -π/2 π/2 π 2π g(x) =sinx -1 P = 2π

  14. b<1ex :b =1/2 sinx P = 4π • f(x) = sin x/2 1 x -4π -2π -π -π/2 π/2 π 2π 4π -1

  15. b<0ex: b = -1/2 sin x • g(x) = sin x/2 1 -4π -2π 2π 4π x f(x) = sin ( - x/2) -1

  16. Rôle du paramètre hLe déphasage h < 0: f(x) subit une translation horizontale vers la gauche de h h > 0:f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h

  17. h>0ex: Le déphasage h = +π/2 sin x f(x) = sin(x-π/2) 1 0 -2π -3π/2 -π/2 π/2 3π/2 2π 5π/2 x g(x) =sinx -1 π/2

  18. h<0ex: Le déphasage h = - π/2 sin x -π/2 1 f(x) =sin(x+π/2) x 0 -5π/2 -2π -3π/2 -π/2 π/2 3π/2 2π g(x) =sinx -1

  19. Rôle du paramètre k k provoque une translation verticale de la fonction • k<0: déplacement vers le bas de k. • k>0: déplacement vers le haut de k.

  20. Si k = -1 sinx 1 x -2π -3π/2 -π/2 π/2 π 3π/2 2π • K =-1 -1

  21. Donc, 5 étapes à suivre Pour tracer un graphique:

  22. 1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k ou y = a cos b(x-h)+k 2- Trouver p, a, h et k translation: T (h, k) 3- Tracer y = sin x ou y = cos x 4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre) 5- Vérifier les signes pour la réflexion

  23. Applications

  24. Tracer la fonction:f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1

  25. Trouver les valeurs de:p, a, h et k

  26. 1,5 2 π/2 1 h = -π/2 a=1,5 k=1 b=2 déplacement horizontal de π/2 vers la gauche un allongement vertical P = 2 π/ IbI P= 2 π/2 = π déplacement vertical de +1 vers le haut f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1

  27. TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x sinx 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1

  28. Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre)

  29. la période:P = πf(x) = sin2x sinx 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1

  30. UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5f(x) =1,5 sin 2x sinx 1,5 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 -1,5

  31. h = -π/2 translationhorizontalede π/2 vers la gauchef(x) = 1,5 sin2 (x + π/2) sinx 1,5 1 -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 -1,5

  32. k = 1 translation verticale de 1 vers le haut f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) + 1 sinx 2,5 1 -π -π/2 π/2 π 2π -2π x -1 -1,5

  33. La fonction de base cosinus:f (x) = cos x

  34. a=1 Période: P = 2π graphique cos x 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1

  35. Applications

  36. Tracer la fonction :f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1

  37. Trouver les valeurs de:p, a, h et k

  38. 1,5 2 π/4 1 h = π/4 a=1,5 k=1 b=2 déplacement horizontal de π/4 vers la droite un allongement vertical P = 2π/ IbI P = 2π/2 = π déplacement vertical de +1 vers le haut f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1

  39. la période:P = π cos x f(x) = cos2 x 1 g(x) = cosx π 3π/2 2π π/4 -π/4 -π/2 π/2 3π/4 5π/4 7π/4 x -1

  40. UN ALLONGEMENT VERTICAL(a = 1,5)f(x) = 1,5 cos 2x cos x 1,5 g(x) = cos x x 2π 3π/2 -π/2 π/2 π -1 -1,5

  41. déplacement horizontalde π/4 vers la droite ( h = π/4)f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) cos x 1,5 g(x) = cosx x π/2 2π -π/2 -π/4 π/4 π 3π/2 -1 -1,5

  42. déplacement vertical de 1 vers le haut (k = 1)f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1 cos x 2,5 1,5 1 g(x) = cosx x -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1 -1,5

  43. La fonction tangentefonction de base: f(x) = tan x La période:P = π I bI = π /P I bI = π / π = 1 Les équations des asymptotes x = n π/2( n est un entier)

  44. Tan x • f(x) = tan x 1 3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 x -1 P = π

  45. Applications Cahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier • Sous-module 08 Pages 309 et 310 • Sous-module 09 Pages 302 à 325

  46. Je tiens à remercier Mme France Garnier pour son soutien techno-pédagogique.

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