380 likes | 634 Views
Statystyczne parametry akcji. Średnie Miary rozproszenia Miary współzależności. Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna. D i - dywidend a wypłaconą w i – tym okresie, P i , P i-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. s top a zysku w i - tym okresie.
E N D
Statystyczne parametry akcji Średnie Miary rozproszenia Miary współzależności
Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna Di - dywidenda wypłaconą w i – tymokresie, Pi,Pi-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. stopa zysku w i - tym okresie
Wartość oczekiwana zmiennej losowej(Miara tendencji centralnej) Def.Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwanąEX zmiennej losowej X przyjmującej n wartości x1, ..., xn nazywamy liczbę
Wartość oczekiwana zmiennej losowejWłasności (i)E (X) = a jeżeliX przyjmuje tylko jedną wartość a (ii) E (aX) = a E(X) dla dowolnej a є R (iii) E(X +Y) = E(X) + E(Y) dla dowolnych zmiennych losowych X, Y (iv) E(X + a) = E(X) + a dla dowolnej liczby rzeczywistej a
Wariancja zmiennej losowej(Miara rozproszenia wyników) Def.Wariancją zmiennej losowej X przyjmującej n wartości nazywamy liczbę
Ryzyko papieruwartościowego Oba typy akcji posiadają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, jednak akcje typu B charakteryzują się mniejszym rozproszeniem wyników, są zatem „bezpieczniejsze”. Dla akcji A, oprócz dużej stopy zwrotu (30 %) może zdarzyć się duża strata (- 20%)
Ryzyko papieru wartościowegoOdchylenie standardowe Wymiar odchylenia standardowego jest taki sam, jak wielkości mierzonej. Jeżeli zmienna losowa jest wyrażoną w procentach stopą zwrotu, odchylenie std. będzie miało wymiar procentowy Odchylenie std. jest miarą rozproszenia stopy zwrotu z akcji
Wariancja zmiennej losowej Stwierdzenie. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru Var X = E(X2) – (E(X))2 Dowód. E[(X-E(X))2] = E(X2 – 2XE(X) + (E(X))2) =E(X2) –2 E(XE(X)) + E(E(X))2 = E(X2) – 2 (E(X))2 + (E(X))2 = =E(X2) – (E(X))2.
Wariancja zmiennej losowej Wniosek ze stwierdzenia:
Wariancja. Własności • Var X > 0 • jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0 • Var (aX) = a2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a ) (iv) Var (a + X) = VarX
Niezależność zmiennych losowych Def. 8. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek
Niezależność zmiennych losowych Twierdzenie 2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY) = E(X) E(Y) Dowód.
Kowariancja zmiennych losowychMiara współzależności Def. 9. Kowariancją zmiennych losowych X, Y przyjmujących odpowiednio n i m różnych wartości nazywamy liczbę
Kowariancja zmiennych losowych Stwierdzenie. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci
Kowariancja zmiennych losowych Dowód E[(X-EX)(Y-EY)] = E[(XY - X EY – Y EX + EX EY)] = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.
Kowariancja zmiennych losowych Def. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. Dowód wynika z ostatniego stwierdzenia oraz wzoru dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y)
Własności kowariancji a - dowolna liczba rzeczywista (i)Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X,X) = Var X (iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y) (iv) Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y) (v) Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Wniosek Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)
Kowariancja. Szczególny przypadek Jeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz
Kowariancja papierów wartościowychdla historycznych stóp zwrotu z n okresów
Kowariancja papierów wartościowychdla historycznych stóp zwrotu Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych (Drugi wzór – dla małej liczby danych)
Kowariancja papierów wartościowychdla historycznych stóp zwrotu Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych (Drugi wzór – dla małej liczby danych)
Korelacja Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę(ozn. także Cor (X,Y))
Korelacja, własności zakładamy dodatnie odchyl. standardowe Cor (X,X) = 1, Cor (X,Y) = Cor (Y,X) Cor (aX,X) = 1, gdy a > 0 Cor (aX,X) = -1, gdy a < 0 Cor (aX,Y) = Cor (X,Y), gdy a > 0 Cor (aX,Y) = - Cor (X,Y), gdy a < 0 Cor (a + X,Y) = Cor (X,Y) gdy a różne od zera Cor (aX,aY) = Cor (X,Y),
Korelacja papierów wartościowych Współczynnik korelacji stóp zwrotu papierów wartościowych
Korelacja papierów wartościowych Mówimy, że stopy zwrotu akcji A i akcji B są dodatnio skorelowane, gdy Cor (A,B ) > 0 ujemnie skorelowane , gdy Cor(A,B ) < 0, nieskorelowane , gdy Cor (A,B ) = 0, doskonale skorelowane, gdy Cor(A,B )= 1,doskonale ujemnie skorelowane , gdy Cor (A,B ) = - 1
Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Twierdzenie Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń, to Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y) Wniosek Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór Var (aX + bY) = a2 Var X + b2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)
Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Dowód twierdzenia Var (X + Y) = E(X + Y)2 – [E(X + Y)]2 = E(X2 + 2XY + Y2) – [E(X) + E(Y)]2 = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – [E(X)]2–[E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = (E(X2) – [E(X)]2 ) + (E(Y2) – [E(Y)]2 )+2[E(XY)- E(X)E(Y)] = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)