Statystyczne parametry akcji

1. Statystyczne parametry akcji Średnie, miary rozproszenia, miary współzależności

2. Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna Di - dywidenda wypłaconą w i – tymokresie, Pi,Pi-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. stopa zysku w i - tym okresie

3. Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metodahistoryczna Data Cena akcji Dywidenda Przyrost ceny Stopa zysku 1991 125 2,00 0 1,6% 1992 112 3,00 -13 -8,9% 1993 118 3,50 6 8,1% 1994 145 4,20 27 21,5% 1995 110 2,50 -35 -29,5% 1996 95 2,00 -15 -13,7% 1997 112 2,45 17 17,4% 1998 137 3,55 25 20,8% 1999 152 4,20 15 12,6% 2000 160 3,50 8 7,2% 2001 173 2,75 13 9,1% 2002 156 2,00 -17 -9,6%

4. Średnia stopa zwrotu z akcji Metodahistoryczna Cena akcji Dywidenda Przyrost ceny Stopa zysku 1991 125 2,00 w0 1,6% 1992 112 3,00 -13 -8,9% 1993 118 3,50 6 8,1% 1994 145 4,20 27 21,5% 1995 110 2,50 -35 -29,5% 1996 95 2,00 -15 -13,7% 1997 112 2,45 17 17,4% 1998 137 3,55 25 20,8% 1999 152 4,20 15 12,6% 2000 160 3,50 8 7,2% 2001 173 2,75 13 9,1% 2002 156 2,00 -17 -9,6%

5. Wartość oczekiwana zmiennej losowej(Miara tendencji centralnej) Def.Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwanąEX zmiennej losowej X przyjmującej n wartości x1, ..., xn nazywamy liczbę

6. Średnia stopa zwrotu z akcji Prognozowanie ekspertowe

7. Wartość oczekiwana zmiennej losowejWłasności (i)E (X) = a jeżeliX przyjmuje tylko jedną wartość a (ii) E (aX) = a E(X) dla dowolnej a є R (iii) E(X +Y) = E(X) + E(Y) dla dowolnych zmiennych losowych X, Y (iv) E(X + a) = E(X) + a dla dowolnej liczby rzeczywistej a

8. Wariancja zmiennej losowej(Miara rozproszenia wyników) Def.. Wariancją zmiennej losowej X przyjmującej n wartości nazywamy liczbę

9. Ryzyko papieru wartościowego Stan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A Stopa zwrotu akcji B Bessa 0,1 - 20 % 0 % Trend spadkowy 0,3 0 % 2 % Trend boczny 0,2 5 % 5 % Trend wzrostowy 0,3 10 % 8 %

10. Ryzyko papieruwartościowego Oba typy akcji posiadają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, jednak akcje typu B charakteryzują się mniejszym rozproszeniem wyników, są zatem „bezpieczniejsze”. Dla akcji A, oprócz dużej stopy zwrotu (30 %) może zdarzyć się duża strata (- 20%)

11. Ryzyko papieru wartościowegoMetoda ekspertowa

12. Ryzyko papieru wartościowego. Metoda historyczna

13. Ryzyko papieru wartościowego. Metoda historyczna

14. Zmienność ceny akcji

15. Wariancja ceny akcji. Met. Hist

16. Ryzyko papieru wartościowegoOdchylenie standardowe Wymiar odchylenia standardowego jest taki sam, jak wielkości mierzonej. Jeżeli zmienna losowa jest wyrażoną w procentach stopą zwrotu, odchylenie std. będzie miało wymiar procentowy Odchylenie jest miarą rozproszenia stopy zwrotu z akcji

17. Wariancja zmiennej losowej Stwierdzenie. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru Var X = E(X2) – (E(X))2 Dowód. E[(X-E(X))2] = E(X2 – 2XE(X) + (E(X))2) =E(X2) –2 E(XE(X)) + E(E(X))2 = E(X2) – 2 (E(X))2 + (E(X))2 = =E(X2) – (E(X))2.

18. Wariancja zmiennej losowej Wniosek ze stwierdzenia Wzór na wariancje może przybrać postać:

19. Wariancja. Własności • Var X > 0 • jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0 • Var (aX) = a2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a ) (iv) Var (a + X) = VarX

20. Niezależność zmiennych losowych Def. 8. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek

21. Niezależność zmiennych losowych Twierdzenie 2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY) = E(X) E(Y) Dowód.

22. Kowariancja zmiennych losowychMiara współzależności Def. 9. Kowariancją zmiennych losowych X, Y przyjmujących odpowiednio n i m różnych wartości nazywamy liczbę

23. Kowariancja zmiennych losowych Stwierdzenie. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci

24. Kowariancja zmiennych losowych Dowód E[(X-EX)(Y-EY)] = E[(XY - X EY – Y EX + EX EY)] = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.

25. Kowariancja zmiennych losowych Def. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. Dowód wynika z ostatniego stwierdzenia oraz wzoru dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y)

26. Własności kowariancji a - dowolna liczba rzeczywista (i)Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X,X) = Var X (iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y) (iv)Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y) (v)Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Wniosek Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

27. Kowariancja. Szczególny przypadek Jeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz

28. Kowariancja papierów wartościowychPrognozowanie ekspertowe

29. Kowariancja papierów wartościowychPrognozowanie ekspertowe

30. Kowariancja papierów wartościowychdla historycznych stóp zwrotu z n okresów

31. Kowariancja papierów wartościowychdla historycznych stóp zwrotu Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Drugi wzór – dla małej liczby danych

32. Kowariancja papierów wartościowychdla historycznych stóp zwrotu Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Drugi wzór – dla małej liczby danych

33. Korelacja Współczynnik korelacji Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę

34. Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji będziemy oznaczać także symbolem Cor(X,Y)

35. Korelacja, własności zakładamy dodatnie odchyl. standardowe Cor (X,X) = 1, Cor (X,Y) = Cor (Y,X) Cor (aX,X) = 1, gdy a > 0 Cor (aX,X) = -1, gdy a < 0 Cor (aX,Y) = Cor (X,Y), gdy a > 0 Cor (aX,Y) = - Cor (X,Y), gdy a < 0 Cor (a + X,Y) = Cor (X,Y) gdy a różne od zera Cor (aX,aY) = Cor (X,Y),

36. Korelacja papierów wartościowych Współczynnik korelacji stóp zwrotu papierów wartościowych to liczba

37. Korelacja papierów wartościowych Mówimy, że stopy zwrotu akcji A i akcji B są dodatnio skorelowane, gdy Cor (A,B ) > 0 ujemnie skorelowane , gdy Cor(A,B ) < 0, nieskorelowane , gdy Cor (A,B ) = 0, doskonale skorelowane, gdy Cor(A,B )= 1,doskonale ujemnie skorelowane , gdy Cor (A,B ) = - 1

38. Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Twierdzenie Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń, to Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y) Wniosek Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór Var (aX + bY) = a2 Var X + b2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)

39. Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Dowód twierdzenia Var (X + Y) = E(X + Y)2 – [E(X + Y)]2 = E(X2 + 2XY + Y2) – [E(X) + E(Y)]2 = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – [E(X)]2–[E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = (E(X2) – [E(X)]2 ) + (E(Y2) – [E(Y)]2 )+ +2[E(XY)- E(X)E(Y)] = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)

40. Wariancja sumy trzech zmiennych losowych Wniosek . Dla sumy trzech zmiennych losowych mamy Var (X +Y+Z) = Var X + Var Y+ VarZ + 2 Cov (X,Y)+ 2 Cov (X,Z) + 2 Cov (Y,Z) (wynika z tw. o wariancji sumy oraz własności (v) dla kowariancji). Wniosek. Dla kombinacji liniowej trzech zmiennych losowych mamy Var (aX + bY + cZ) = a2 Var X + b2 Var Y + c2 VarZ + +2abCov (X,Y) + 2ac Cov (X,Z) + + 2bc Cov (Y,Z)