NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA

1. NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA Gimnazjum im. Dr. Maksymiliana Krybusa w Książu Wielkopolskim ID SZKOŁY 98/80 Grupa 2 98/80_MF_G2

2. Pojęcie i historia systemów System liczbowy to zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb, które tworzymy za pomocą skończonych zbiorów znaków (cyfr), które można zestawiać na różne sposoby. Rozróżniamy dwa systemy liczbowe: a) pozycyjny b) addytywny W systemie addytywnym wartość przedstawianej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski i alfabetyczny. W pozycyjnym systemie liczbowym liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji) na której się ona znajduje w tym ciągu. Najprostszym i najprymitywniejszym jest jedynkowy system liczbowy. Występuje w nim tylko jeden znak: 1. Tym systemem posługują się Pigmejowie.

3. Każda liczba naturalna większa od jedności może być przyjęta za podstawę systemu (układu) liczenia. Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne plemiona i narody posługiwały się innymi systemami. System dwójkowy spotykano w niedoskonałej formie u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy odnajdujemy u indiańskiego plemienia Szoszonów w Południowej Ameryce oraz w języku Wendau na Nowej Gwinei wśród plemion eskimoskich. Starożytni Majowie (Iw. p.n.e.) używali układu dwudziestkowego.

4. Ślady niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na dwanaście miesięcy. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo sześćdziesiątkowy system pochodzący od Babilończyków. Do zapisu cyfr rzymskich wykorzystano system piątkowy: VI=5+1, VIII=5+3, X=5+5, XIII=5+5+3, XX=5+5+5+5 Do zapisu liczb w innych układach pozycyjnych niż dziesięć przyjęto zasadę: liczbę zapisujemy w nawiasie , a za nawiasem jako indeks dolny zapisujemy liczbę oznaczającą system liczenia lub za liczbą jako indeks dolny w nawiasie zapisujemy liczbę oznaczającą system liczenia: (560104) lub 560104 (20312) lub 20312

5. Dwójkowy system liczenia Do zapisywania każdej liczby w tym systemie mamy dwie cyfry 0 i 1. np. 9= (1001) i 15= (1111) Dodawanie- przy dodawaniu w systemie dwójkowym dwie jednostki rządu niższego zapisujemy jako jedną jednostkę rzędu następnego. 101 11101 + 11 + 1011 1000 101000 Odejmowanie – wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym. Np.: 10010 11101 - 100 -10111 1110 10

6. Mnożenie i dzielenie – obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemie dwójkowym wykorzystujemy tabelę mnożenia. Np.: 11011 101 * 1111 11001 : 101 11011 -101 11011 101 +11011 -101 110010101 0

7. Trójkowy system liczbowy Trójkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 3. Do zapisu liczb są potrzebne 3 cyfry: 0, 1 i 2. Cyfry trójkowe często nazywa się tritami na podobieństwo bitów w systemie binarnym. Ilość cyfr do zapisania liczb w systemie trójkowym nie rośnie tak szybko jak w systemie dwójkowym, jednakże jest to nadal znaczna ilość w porównaniu do zapisu dziesiętnego. np. 365 =(111112)3 12 =110

8. Dodawanie w systemie trójkowym - jeśli w wyniku dodawania otrzymamy • w jakimś rzędzie trzy jednostki , to stanowią one jedną jednostkę rzędu • następnego. • Przykłady • 2011 12201 • + 102+ 2211 • 2120 22112 • Odejmowanie w systemie trójkowym-wykonujemy analogicznie jak • w systemie dziesiątkowym. • Przykłady 2102 221102 - 1221- 12012 111 202020

9. Mnożenie i dzielenie- obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemie trójkowym możemy posługiwać się tabelą 1212 22 * 122 1210 : 20 10201 _- 110 10201 110 + 1212 - 110 1011111 0

10. System piątkowy Układ piątkowy należy do tych układów, który rzeczywiście istniał i funkcjonował w pewnych zakamarkach kuli ziemskiej. Podstawą układu piątkowego jest liczba 5, a wszystkie liczby można zapisywać pięcioma cyframi: 0, 1, 2, 3, 4. Jednostka każdego następnego rzędu jest pięć razy większa od jednostki rzędu poprzedniego. Kolejne pozycje w liczbie systemu piątkowego oznaczają: 50 - liczba jednostek51 - liczba piątek52 - liczba dwudziestek piątek53 - liczba sto dwudziestek piątek itd. Zapis liczby całkowitej w systemie piątkowym ma postać: ai-1ai-2 ... a2a1a0   =   ai-1 · 5i-1 + ai-2 · 5i-2 + ... + a2 · 52 + a1 · 51 + a0 · 50

11. Dodawanie i odejmowanie – w piątkowym systemie liczenia możemy utworzyć tabelę, która ułatwia dodawanie liczb. np.

12. Mnożenie i dzielenie – obliczając iloczyny, ilorazy w systemie piątkowym posługujemy się tabelą. np.

13. Szóstkowy system liczbowy Podstawą tego systemu jest liczba sześć. Do zapisu liczb potrzebne jest 6 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4 i 5. Szóstkowy system liczbowy może być uznany jako przydatny w badaniach liczb pierwszych, ponieważ wszystkie liczby pierwsze wyrażone w tym systemie, z wyjątkiem 2 i 3, kończą się cyfrą 1 lub 5. np. (2)6 = 210 , (3)6 = 310, (21)6 = 1310 , (111)6 = 4310, (115)6 = 4710 (125)6 = 5310 .

14. Dwunastkowy (duodecymalny) system liczbowy • W tym systemie podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B. A oznacza 10, a B oznacza 11. • Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. • np. 1000=6×12² + 11×121 + 4×120 =(6B4)

15. Liczby w niedziesiątkowych systemach liczenia 25(10)=11001(2)=221(3)=100(5)=41(6) 47(10)=101111(2)=1202(3)=142(5)=115(6) 1205(10)=1111101(2)=11122(3)=1000(5)=325(6) 847(10)=2320(7)=(5D7)12

16. Zamiany systemów liczenia • Przeliczanie systemu dziesiątkowego na system np. szóstkowy • 100 : 6 = 16 r 4 Dzielimy liczby w systemie dziesiątkowym • 16 : 6 = 2 r 4 przez cyfrę (liczbę), która jest podstawą • 2 : 6 = 0 r 2 nowego systemu. • Cyfry reszt czytane od dołu dają nam liczby zapisane w nowymsystemie. • 100(10) = 244(6) • Przeliczanie systemu dziesiątkowego na system siódemkowy • 132 : 7 = 18 r 6 • 18 : 7 = 2 r 4 • 7 = 0 r 2 • 132(10) = 246(7)

17. Przeliczanie systemu trójkowego na system dwójkowy 20121 = (……..) Zapisujemy nową podstawę q w starym systemie oraz obliczamy kolejne potęgi podstawy q, aż do przekroczenia danej liczby. Daną liczbę przedstawiamy następująco: ( 20121) = (10110010)

18. Zastosowanie niedziesiątkowych systemów liczenia System dwójkowy ma zastosowanie w informatyce, oparty jest na dwóch liczbach 0 i 1. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywamy bitem. Nazwa bit pochodzi od angielskiego określenia BinaryDigit (dwójkowa cyfra). Do skrócenia zapisu liczb w systemie dwójkowym wykorzystuje się system ósemkowy. System szesnastkowy używa się do adresowania komórek pamięci przez urządzenia lub do kodowania kolorów użytych na stronach internetowych.

19. System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie. W Babilonii używano go równolegle z systemem dziesiętnym, z tym, że system dwunastkowy (o zapisie pozycyjnym) stosowano przy skomplikowanych obliczeniach (np. w zakresie astronomii), zaś systemu dziesiętnego używały szerokie masy ludności w życiu codziennym (aramejski system liczbowy) . W niewielkim zakresie systemu dwunastkowego używano także w starożytnym Rzymie, gdzie starożytna jednostka As (jednostka monetarna lub wagowa) składała się z 12 uncji.

20. Prezentację wykonali: Adrianna Nowaczyk, Joanna Łeńska, Monika Falbierska, Natalia Weiss, Mateusz Dyderski, • Paweł Jędrzejczak, Bartosz Śmiejczak, Jakub Fiebig, • Mikołaj Ratajczak, Maciej Karczewski, Adrian Mikołajczak.