1 / 72

Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych

Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych. Podamy kilka przykładów modeli systemów dynamicznych budowanych w oparciu o wykorzystanie praw zachowania Systemy dynamiczne leżące w obszarze naszych zainteresowań – systemy techniczne, środowiskowe … są różnej natury

ariane
Download Presentation

Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych • Podamy kilka przykładów modeli systemów dynamicznych budowanych w oparciu o wykorzystanie praw zachowania • Systemy dynamiczne leżące w obszarze naszych zainteresowań – systemy techniczne, środowiskowe … są różnej natury • Wśród systemów technicznych możemy wyróżnić systemy: • mechaniczne • elektryczne • elektromechaniczne • płynowe (gazy, ciecze) • cieplne ........

  2. Co różni modele matematyczne tych systemów? • charakter najczęściej stosowanych przybliżeń • „technologie” wyboru zmiennych modelu • stosowane równania równowagi i spójności • stosowane zależności wiążące zmienne poszczególnych elementów systemu W podręczniku: Robert H. Cannon jr., Dynamika układów fizycznych – przedstawione są szczegółowe procedury precyzujące wymienione elementy budowy modeli matematycznych dla różnych systemów technicznych

  3. Systemy elektryczne – przykładowe modele Pokażemy jak korzystając z praw Kirchhoff’a (przykład praw zachowania) można budować fenomenologiczne modele systemów elektrycznych eBA iA iC Prawa zachowania C A B iB B eAZ A eZC C Z Z Równanie spójności Równanie równowagi

  4. Elementy elektryczne i odpowiadające im zależności wiążące Źródło napięcia Źródło prądu Rezystor Indukcyjność Pojemność Przekładnik (transformator)

  5. Przykład 1. Dany jest układ nie obciążanego prądowo czwórnika RLC Cel modelowania: a napięciem Interesuje nas zależność pomiędzy napięciem wejściowym wyjściowym Prawo zachowania – równanie spójności dla wejściowego oczka (II prawo Kirchhoff’a)

  6. Zależności wiążące dla poszczególnych elementów układu: Tożsamości: Z warunku nie obciążania prądowego czwórnika: Podstawienie:

  7. Porządkując: Dla znalezienia rozwiązania potrzebne – warunki początkowe: Uzyskany model: model wejście - wyjście Postać standardowa: Warunki początkowe:

  8. Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń: - wejście - parametry przy zmiennej wejścia - parametry przy zmiennej wyjścia - wyjście

  9. Model: Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe niejednorodne (w dziedzinie czasu) Warunki początkowe Uzyskany model wejście – wyjście dany jest w formie równania różniczkowego (zwyczajnego) Postać standardowa: gdzie, , , Warunki początkowe

  10. Czy można zapisać model wejście – wyjście w innej formie? Fakt: Uzyskany model wejście – wyjście jest liniowy i stacjonarny Poddajmy obustronnie uzyskany model transformacji Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych Otrzymamy równanie operatorowe w dziedzinie zmiennej zespolonej s: lub z postaci standardowej

  11. W rozważanym przykładzie lub z postaci standardowej

  12. Stąd łatwo inna forma modelu transmitancja operatorowa: lub w postaci standardowej Transmitancja widmowa: lub w postaci standardowej

  13. W rozważanym przykładzie transmitancja operatorowa lub z postaci standardowej

  14. W rozważanym przykładzie transmitancja widmowa lub z postaci standardowej

  15. Różne formy modeli wejście – wyjście: - równanie różniczkowe - równanie operatorowe (system liniowy) - transmitancja operatorowa (system liniowy) - transmitancja widmowa (system liniowy) - …..

  16. Modele wejście – wyjście  modele zewnętrzne Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść m – najwyższa pochodna wejść, n – najwyższa pochodna wyjść Ogólna struktura modelu zewnętrznego Warunek początkowy:

  17. Model zewnętrzny macierzowo – system wielowymiarowy (MIMO): Warunek początkowy:

  18. System jednowymiarowy – jedno wejście i jedno wyjście (SISO) Warunek początkowy: Rząd systemu – rząd najwyższej pochodnej wyjścia Wymiarowość systemu – określona liczbą wejść - wyjść

  19. Przyjmijmy: Model rozważanego układu możemy zapisać: Stan układu: Warunki początkowe: Wyjście układu: Uzyskany model – model stanu (model przestrzeni stanu)

  20. Wykorzystując pierwotne oznaczenia zmiennych: Równania stanu Równanie wyjścia Ostatecznie:

  21. Modele stanu  modele wewnętrzne Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść, n – liczba stanów Ogólna struktura modelu wewnętrznego Równania stanu: Wektor stanu Wektor wejścia Warunek początkowy: Równania wyjścia: Wektor wyjścia

  22. Modele stanu – notacja wektorowa - równanie stanu - równanie wyjścia

  23. Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń: - wejście, wektor o wymiarze p, - wyjście, wektor o wymiarze q, - stan, wektor o wymiarze n,

  24. Fakt: Uzyskany model stanu jest liniowy i stacjonarny Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego

  25. Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego stacjonarnego : macierz stanu (systemu, dynamiki), stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz wejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz wyjścia, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz bezpośredniego przejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru , tzn.

  26. W rozważanym przykładzie Postać macierzowa

  27. czyli

  28. Systemy mechaniczne – przykładowe modele Pokażemy jak korzystając z praw Newton’a (przykład praw zachowania) można budować fenomenologiczne modele systemów mechanicznych Ruch postępowy Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać modele systemów mechanicznych z ruchem postępowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a gdzie sumowanie obejmuje wszystkie siły zewnętrzne działające ma masę m Jeżeli zdefiniować siłę bezwładności masy m Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a

  29. Ruch postępowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności wiążące Masa Element sprężysty prostoliniowy ks – współczynnik sprężystości Element tłumiący prostoliniowy kt – współczynnik tłumienia Przekładnik (dźwignia)

  30. Przykład 2. x2 x1 k12 f(t) k1 m2 m1 B2 B1 B12 f(t) m2 m1

  31. Model wejście - wyjście

  32. Naturalny (fizykalny) wybór zmiennych stanu - jako zmienne stanu wybieramy wyjścia wszystkich integratorów prowadzących do uzyskania zmiennej z całkowania najwyższej pochodnej tej zmiennej; robimy to dla wszystkich zmiennych wyjścia Na przykład  i są zmiennymi stanu, nie jest zmienną stanu

  33. Dla rozważanego przykładu, zmienne są naturalnymi zmiennymi stanu, które charakteryzują system

  34. Model stanu: Jedno równanie dla pierwszej pochodnej każdej zmiennej stanu Dla rozważanego przykładu

  35. Po uporządkowaniu: Równania stanu Warunki początkowe:

  36. Zapis macierzowy Oznaczając: Możemy zapisać

  37. Drugi składnik modelu przestrzeni stanu – równanie wyjścia Równania wyjścia oblicza wyjścia, to znaczy zmienne, które wybraliśmy do obserwacji (pomiarów) Weźmy w naszym przykładzie Wówczas lub macierzowo

  38. Oznaczając: Możemy zapisać

  39. Ruch obrotowy Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać również modele systemów mechanicznych z ruchem obrotowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a dla ruchu obrotowego gdzie sumowanie obejmuje wszystkie momenty zewnętrzne działające ma ciało o bezwładności J Jeżeli zdefiniować moment bezwładności Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a

  40. Ruch obrotowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności wiążące Bezwładność Element sprężysty obrotowy ks – współczynnik sprężystości Element tłumiący obrotowy kt – współczynnik tłumienia Przekładnik (przekładnia zębata)

  41. Przykład 3a – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał

  42. - z II zasady dynamiki Newtona Konwencja: - z II prawa Kirchhoff’a lub

  43. 1 wejście: 5 zmiennych stanu: , , , , 1 wyjście:

  44. Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu:

  45. Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

  46. Przykład 3b – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Teraz

  47. Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

  48. Przykład 3c – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Model podsystemu elektrycznego Model podsystemu mechanicznego bez zmian Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia

  49. Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

  50. Systemy elektromechaniczne – przykładowy model Przykład 4 Cel modelowania: zbudować model obcowzbudnego silnika prądu stałego (SPS) pozwalający badać zachodzące w nim procesy przejściowe elektromechaniczne

More Related