Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Stefana i Agatona Gillerów w Opatówku • ID grupy: • 98/79_mf_g1 • Kompetencja: • Matematyka i fizyka • Temat projektowy: • NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA • Semestr/rok szkolny: • Semestr V / Rok szkolny 2012

3. Niedziesiątkowe systemy liczenia

4. CZYM JEST SYSTEM LICZBOWY ? • System liczbowy – zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

5. Spis treści • System jedynkowy • Systemy addytywne • Systemy pozycyjne • Dwójkowy system liczbowy • Ósemkowy system liczbowy • Dziesiętny system liczbowy • Szesnastkowy system liczbowy • Zastosowanie systemów liczenia • Źródła

6. System jedynkowy • System jedynkowy to najbardziej prymitywny system liczbowy, w którym występuje tylko jeden znak (np. 1 albo (częściej) pionowa kreska). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku. Np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje. Kiedy, w przypadku większych liczb, zaczyna się grupować symbole, np. po 5 (cztery równoległe kreski, przekreślone piątą), mamy do czynienia z przejściem do addytywnego systemu liczbowego.

7. Traktując go jako system addycyjny, można uznać, że zapis liczby 3 = "111" wynika z faktu, że • 1+1+1 = 3. • Traktując go jako system pozycyjny, można by uznać, że jego podstawą pozycji jest właśnie liczba 1. Np. 3 w tym systemie zapisuje jak "111" gdyż: • 1x10+1x11+1x12=1+1+1 = 3.

8. Systemy addytywne • Systemy addytywne, w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa (np. jeśli "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).

9. Systemem addytywnym dziesiątkowym był system egipski, w którym używano oddzielnych hieroglifów dla potęg dziesiątki aż do siódmej włącznie. Innym przykładem addytywnego systemu jest dobrze znany i wciąż stosowany rzymski system zapisywania liczb z podstawowymi wielokrotnościami 10 i 5; jego cyfry są I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000; jednak w tym systemie w niektórych przypadkach występuje odejmowanie, a nie tylko dodawanie.

10. Systemy pozycyjne • Systemy pozycyjne, które posiadają symbole (cyfry) tylko dla kilku najmniejszych liczb naturalnych: 0, 1, 2, ..., g − 1, gdzie g to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę g.

11. W sytuacji, gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol. Współcześnie jest to cyfra 0. Na przykład liczbę 5004,3 w dziesiętnym systemie liczbowym (czyli systemie, którego podstawą jest 10) odczytuje się jako:

12. System egipski • Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz nie był to system pozycyjny. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify. Liczby zapisywano w Egipcie tak jak i u nas, to jest od lewej do prawej, umieszczając obok siebie jednostki danego rzędu, aż do jego wyczerpania.

13. System rzymski • Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego, który wyewoluował. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki. W systemie rzymskim posługujemy się znakami: • I, V, X, L, C, D, M, gdzie: • I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

14. System rzymski • System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania.

15. System arabski • Nasz system dziesiętny, którym posługujemy się na co dzień, jest znany jako system arabski lub indyjsko-arabski. System dziesiętny został zapoczątkowany w Indiach w V w. n.e., a rozpowszechnił się w krajach arabskich dzięki matematykowi al-Chwarizmi, który w połowie VIII w. przetłumaczył na arabski indyjską książkę o matematyce. Dziewięć pierwszych cyfr oznaczających liczby od 1 do 9 były przedstawiane jako umowne znaki.

16. System dwójkowy • Dwójkowy system liczbowy (system binarny) – system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1. Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b.

17. wykorzystanie • Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

18. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu. • Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: • 1 • 2³+0 • 2²+1 • 2¹+0•2º=8+2=10

19. Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np. • 101012=2110

20. System ósemkowy • Ósemkowy system liczbowy • to pozycyjny system liczbowy o podstawie cyfry 8. System ósemkowy możemy inaczej nazwać oktalnym. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7.

21. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: • 1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.

22. W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę systemu, • np. 1448 = 10010.

23. Ósemkowy system liczbowy • Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy: • 100 ÷ 8 = 12 i 4 reszty = 4 • 12 ÷ 8 = 1 i 4 reszty = 4 • 1 ÷ 8 = 0 i 1 reszty = 1 • Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.

24. Zegar binarny • Zegar binarny jest to zegar, który wyświetla godzinę w systemie binarnym. Istnieją zarówno cyfrowe, jak i analogowe zegary binarne. W przypadku zegarów cyfrowych, czas wyświetlany jest za pomocą diod LED.

25. Pionowe kolumny to po kolei: GG:MM:SS (godziny, minuty, sekundy), a kluczem do odczytania godziny jest znajomość układu binarnego (zero-jedynkowego) oraz tzw. kodu BCD • 0 = 0 • 1 = 1 • 2 = 10 • 3 = 11 • 4 = 100 • 5 = 101 • 6 = 110 • 7 = 111 • 8 = 1000 • 9 = 1001 • 10 = 1010 • itd.

26. http://www.glassgiant.com/geek/binaryclock/binary_clock_flash.swf- zegar binarny • Jak to kalkulowaliśmy:

27. system dziesiętny • Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny.

28. Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne. W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego.

30. Przeliczanie systemu dziesiętnego na inne • Aby przeliczyć liczbę z systemu dziesiątkowego na inny, wykonujemy dzielenie z resztą liczby przez podstawę systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielimy przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku 0. Zapisujemy reszty z dzielenia od końca. • 132 ÷ 8 = 16 r 4 • 16 ÷ 8 = 2 r 0 • 2 ÷ 8 = 0 r 2 • 130₍₁₀₎ = 204₍₈₎ • Oto przelicznik systemów liczbowych : • www.convertworld.com/pl/liczebnik/

31. System szesnastkowy • Szesnastkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr. • W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (wielkich lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: • A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.

32. W kalkulatorach naukowych o siedmiosegmentowych wyświetlaczach LCD stosuje się następujące oznaczenia kolejnych cyfr: • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, C, d, E, F. • Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8.

33. Teraz wybierzmy, na jaki system chcemy skonwertować tą wartość:Hex- szesnastkowyDec- dziesiątkowyOct- ósemkowyBin- dwójkowy

34. Zastosowanie wszystkich systemów w informatyce • Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. • W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. • Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

35. Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. Na przykład: • 216 = 6553610 = 1000016 • 232 = 429496729610 = 10000000016 • 1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania. • System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

36. Za uwagę dziękują: NATALIA TOMEK PAWEŁ ADAM TOMEK IZA KAMIL SZYMON KASIA OPIEKUN PROJEKTU Elżbieta Wojciechowska JUSTYNA OLA MAŁGOSIA

37. źródła • www.wikipedia.pl • liczbyliceum.cba.pl/?page_id=867 • www.programuj.com/artykuly/rozne/sysliczb.php • http://www.lublin.webd.pl/crayze/cpp-winapi/cpp20.html • http://pl.wikibooks.org/wiki/System_liczbowy • http://matematyka.pisz.pl/ • http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica_Wikipedii/Przegląd_zagadnień_z_zakresu_matematyki • http://www.programuj.com/artykuly/rozne/sysliczb.php • http://www.wodn.piotrkow.pl/net/net2/systemy_liczenia.html