Árvores e Árvores Binárias

1. Árvores e Árvores Binárias Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva parrasilva@gmail.com

2. Roteiro • Contextualização • Árvores • Árvores Binárias

3. Roteiro • Contextualização • Árvores • Árvores Binárias

4. Contextualização • Importância de estruturas unidimensionais ou lineares (vetores e listas) é inegável. • Contudo, elas não são adequadas para representar dados que devem ser dispostos de maneira hierárquica. • Por exemplo, diretórios criados em um computador.

5. Exemplo de estrutura hierárquica Um exemplo de estrutura de diretório no Windows 2000

6. Roteiro • Contextualização • Árvores • Árvores Binárias

7. Árvores • Árvore é uma estrutura de dado adequada para representar hierarquias. • Forma mais natural de definirmos uma estrutura de árvore é usando recursividade.

8. Definições • Uma árvore é composta de um conjunto finito de nós. • Desse conjunto, há um nó r denominado de raiz, que contém zero ou mais sub-árvores, cujas raízes são ligadas diretamente a r. • Esses nós raízes das sub-árvores são ditos filhosdo nó pai, r. • Nós com filhos são comumente chamados de nós internos. • Nós que não têm filhos são chamados de nós externos (folhas).

9. Estrutura de árvores

10. Exemplos de árvores (1/2) raiz da árvore Quantas sub-árvores existem na árvore acima? Quais são as sub-árvores? Quais nós são as raízes das sub-árvores da árvore acima? Quais nós são considerados nós internos? Quais nós são considerados nós externos (folhas)?

11. Exemplos de Árvores (2/2)

12. Propriedade Fundamental de Árvores • Existe um único caminho da raiz para qualquer nó da árvore. • Portanto, podemos definir a altura de todas as árvores como sendo o comprimento do caminho mais longo da raiz até uma das folhas. • Por definição, a altura de uma árvore que possui somente um elemento é zero.

13. árvore A2 Qual a altura da árvore A2? Exemplo de altura em árvores árvore A1 Qual a altura da árvore A1?

14. Roteiro • Contextualização • Árvores • Árvores Binárias

15. Árvores Binárias (AB) • Uma árvore binária é constituída de um conjunto finito de nós. • Cada nó pode ter no máximodois filhos. • De maneira recursiva, podemos definir uma árvore binária como sendo: • uma árvore vazia; ou • um nó raiz tendo duas sub-árvores, identificadas como a sub-árvore da direita (sad) e a sub-árvore da esquerda (sae).

16. Representação Esquemática de AB Representação esquemática da definição da estrutura de AB

17. 8 2 1 7 3 4 9 5 11 13 Exemplo Árvore Binária raiz da árvore raiz da sae raiz da sad

18. Notação Textual de Árvore Binária Exemplo de árvore binária Árvore vazia é representada por <>, e árvores não vazias por <raizsaesad>. Com esta notação, a árvore ilustrada acima é representada por: <a <b<><d<><>>> <c<e<><>><f<><>>> >

19. nível 0 nível 1 nível 2 nível 3 1 Qual a altura da árvore binária ao lado ? Em qual nível está o nó C? 2 3 7 5 4 6 9 10 8 Verificando a altura das árvores Qual a altura da árvore binária ao lado ?

20. Percursos em Árvores Binárias • Muitas operações em árvores binárias envolvem o percurso de todas as suas sub-árvores, executando alguma ação de tratamento em cada nó. • É comum percorrer uma árvore em uma das seguintes ordens: • Pré-Ordem: tratar raiz, percorrer sae, percorrer sad; • Em-Ordem (ordem simétrica): percorrer sae, tratar raiz, percorrer sad; • Pós-Ordem: percorrer sae, percorrer sad, tratar raiz.

21. 34 80 55 40 43 5 13 75 1 17 26 90 Pré-Ordem • Imprima os valores presentes nos nós da árvore ao lado, segundo a condição pré-ordem (tratar raiz, percorrer sae, percorrer sad). Resultado: 34, 80, 40, 43, 13, 26, 90, 75, 55, 5, 1, 17.

22. 34 80 55 40 43 5 13 75 1 17 26 90 Em-Ordem (Ordem Simétrica) • Imprima os valores presentes nos nós da árvore ao lado, segundo a condição ordem simétrica (percorrer sae, tratar raiz, percorrer sad). Resultado: 40, 80, 26, 90, 13, 43, 75, 34, 55, 1, 5, 17.

23. 34 80 55 40 43 5 13 75 1 17 26 90 Pós-Ordem • Imprima os valores presentes nos nós da árvore ao lado, segundo a condição pós-ordem (percorrer sae, percorrer sad, tratar raiz). Resultado: 40, 90, 26, 13, 75, 43, 80, 1, 17, 5, 55, 34.

24. Aplicações de Árvores Binárias (1/2) • Como árvores binárias de pesquisa (busca)

25. Aplicações de Árvores Binárias (2/2) • Análise de expressões algébricas:prefixa, infixa e pósfixa. Prefixa: + * + 3 6 – 4 1 5 = 32 Infixa: 3 + 6 * 4 – 1 + 5 = 32 Pósfixa: 3 6 + 4 1 - * 5 + = 32

26. Definição da Estrutura de Árvores Binárias • Como definir o Tipo Abstrato de Dados (TAD) que representa árvores binárias? • Há duas formas: • Estática; • Dinamicamente;

27. Representação Dinâmica • Criar um registro contendo os seguintes campos: info, sae e sad. • Este registro é auto-referenciado através dos campos sae e sad. struct arv { int info; struct arv* sae; struct arv* sad; }; typedef struct arv Arv;

28. Registro dos nós de uma AB info sae sad

29. Principais funções sobre AB • Iniciar árvores como vazias; • Inserir nós na árvore; • Verificar se árvore está vazia; • Informar a altura da árvore; • Pesquisar ocorrência de um valor no nó da árvore; • Liberar estrutura alocada para as árvores; • Percorrer a árvore em pré-ordem; • Percorrer a árvore em em-ordem (ordem simétrica); • Percorrer a árvore em pós-ordem.