Seminar Kernmodelle WS 2006/07 Uni Bonn S. Chmel

1. Seminar KernmodelleWS 2006/07Uni BonnS. Chmel Das mittlere Potential im Allgemeinen und das MO-Modell Christoph Marz

2. Inhalt des Vortrags • Die magischen Zahlen bei Atom und Kern • Konzept des mittleren Potentials • Das Schalenmodell des Atoms • Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Harmonischer Oszillator und kugelförmiger Kasten als Extremfälle • Interpolation und Verfeinerung des Potentials • Interpretation und Bestimmung der Parameter

3. Die magischen Zahlen bei Atom und Kern • Experimenteller Befund: Kerne mit bestimmten Protonen- und Neutronenzahlen sind besonders stabil Höhere Bindungsenergie pro Nukleon bei „magischen“ N- und Z-Werten Abfall der Neutronenseparationsenergie beim Überschreiten der magischen N-Zahlen

4. Die magischen Zahlen bei Atom und Kern • Analoges Bild bei der Elektronenkonfiguration eines Atoms Ionisationsenergie fällt ab beim Überschreiten gewisser „magischer“ Werte für Z und damit die Zahl der e- →Edelgase • Erklärung: Abgeschlossene äußere Schale bei magischer Elektronenanzahl

5. Konzept des mittleren Potentials Quantitatives Verständnis der magischen Zahlen bedarf etwas Theorie: • Zentralpotentialproblem in 3 Dimensionen in Kugelkoordinaten: Separationsansatz für die WF liefert die radiale Schrödingergleichung mit n: radiale Quantenzahl = #Knoten der Radialwellenfunktion l: Drehimpulsquantenzahl m: Projektion des Drehimpulses Kugelsymmetrie des Potentials → Energieeigenwert unabhängig von m V(r)~1/r → Energieeigenwert auch unabhängig von l

6. Konzept des mittleren Potentials • Konstruktion eines mittleren Potentials: Für ein Zentralpotential V(r) und ein System von Z wechselwirkenden Teilchen mit Einteilchen-WFn setzen wir für das auf Teilchen i wirkende Potential an: Anschaulich: Aufsummierung der Einflüsse der übrigen Teilchen auf das betrachtete. Beitrag von Teilchen j gegeben durch WW zwischen Teilchen i und j gewichtet mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Teilchen j Andererseits sind die und durch die Einteilchen-S-Glg verknüpft: Lösung: „Schätzen“ von Anfangswerten für die WFn oder Potentiale und Iteration, bis sich die WFn nicht mehr ändern (Hartree-Fock-Approximation, Methode der selbstkonsistenten Felder)

7. Konzept des mittleren Potentials Gesamt-WF ergibt sich als Produkt der Einteilchen-WFn: bzw. Bsp. Z=2: Erfüllt Pauliprinzip (WF total antisymmetrisch) →Pauliverbot (WF=0 wenn 2 Zustände oder 2 Ortsvektoren identisch)

8. Konzept des mittleren Potentials Vorteil der Hartree-Fock-Approximation: Relativ genaue Berechnungen von Potentialen, Wellenfunktionen und Energieniveaus möglich. Nachteil: Keine geschlossene, analytische Lösung, aus deren Struktur man allgemeine Gesetzmäßigkeiten ableiten könnte. • Noch brutaleres Vorgehen: Empirische Konstruktion einer Form eines reinen Zentralpotentials und Bestimmung der freien Parameter durch Fit an vorhandene Daten. Letzteren Weg werden wir im folgenden einschlagen.

9. Konzept des mittleren Potentials • Philosophische Motivation dieser Vorgehensweise: Übergang von einzelnen Teilchenwechselwirkungen zu mittlerem Potential stellt sog. „paradigm shift“ dar; Koordinatentransformationen, Variablensubstitutionen und Bezugssystemwechsel sind weitere Beispiele hierfür. Allgemein gesprochen: Ausnutzung gewisser Eigenschaften eines Systems, z. B. Symmetrien, zur Vereinfachung der formalen Behandlung, sodass eigentliche Physik klarer ersichtlich wird.

10. Das Schalenmodell des Atoms • Zunächst ein altbekanntes Beispiel: Das wasserstoffähnliche Atom (reines Cb-Zentralpotential, d. h. Vij=0) • Pauliverbot: Jeder Ein-Teilchen-Zustand kann höchstens von einem Elektron besetzt werden. → Schalen werden, bei N=1 beginnend, aufsteigend mit e-besetzt, und zwar mit 2N² e- pro Schale →

11. Das Schalenmodell des Atoms • Folgende Tabelle untermauert dieses Modell: (Beachte: n+1=N-l, n: radiale Quantenzahl, N: Hauptquantenzahl) Erste zwei magische Zahlen perfekt reproduziert, bei höheren Niveaus versagt Modell des wasserstoffähnlichen Atoms, da WW zwischen Elektronen und damit abschirmende Wirkung der Elektronen in unteren Zuständen vernachlässigt. Hartree-Fock-basierte Berechnung mit Berücksichtigung der Abschirmung liefert:

12. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Kann ein reines Zentralpotential gefunden werden, dass die Bewegung der Nukleonen gut beschreibt? Wir werden es mit den Potentialen des harmonischen Oszillators und des kugelförmigen Kastens probieren. Offensichtliche Probleme: • Unabhängige Teilchenbewegung in einem dicht gepackten Kern, in dem die starke WW wirkt, überhaupt möglich? • Wie passen der harmonische Oszillator (F~r) und die starke WW (extrem kurzreichweitig) zusammen? Warum es doch geht: • Pauliprinzip verbietet, dass Nukleonen sich zu nah kommen • 2. Punkt etwas schwieriger. Man erhält abweichenden Abfall der WF für große r, aber im Kerninneren dennoch gute Resultate.

13. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Warum harmonischer Oszillator und Kugelförmiger Kasten? In Hartree-Fock-Berechungen gefundenes Potential: (Durchgezogen: Proton, gestrichelt: Neutron) Fällt gerade zwischen Oszillator- und Kastenpotential

14. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Zunächst ganz einfach: Eindimensionaler Kasten Schrödingergleichung: Innerhalb des Kastens:

15. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Konsequenzen für Kerne: • Quantisierte Energieniveaus (Randbedingungen an WF), kennzeichnend für gebundene Zustände • Energie ~1/d² → Schwerere und daher größere Kerne haben niedrigere Energieniveaus • Minimales n=1 → E≠0, d. h. Grundzustandsbewegung (vgl. Heisenberg)

16. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Nächster Schritt: Dreidimensionales Zentralpotential Zur Erinnerung: Betrachte qualitativ die Lösungen für kugelförmigen Kasten: • Wir bemerken: • n= radiale Quantenzahl=#Nullstellen der Radialwellenfkt. • n größer → höhere Energie, da kürzere Wellenlänge wegen größerer Nullstellenzahl • l größer → höhere Energie, da Zentrifugalterm gestreckt, erlaubter Bereich nach rechts geshiftet, folglich WF „zusammengequetscht“, Wellenlänge kürzer • Resultate bedingt durch Zentrifugalterm und gelten für jedes nicht-pathologische Potential mit den geforderten Eigenschaften

17. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Konsequenzen für Kerne: • Niedrigster Einteilchenzustand hat immer l=0 und n=1. Insbesondere: Grundzustand des Deuterons ist primär ein s-Zustand. • Existenz von Kernschalen: Anstieg der Energie mit n und l ermöglicht unterschiedliche Zustände mit ähnlichen Energien, d. h. Gruppierung von Zuständen mit großem n und kleinem l und umgekehrt bei ähnlichen Energien. • Energetisch aufsteigende Auffüllung der Schalen mit Nukleonen (Pauliprinzip) →magische Zahlen Wichtig: p und n sind unterscheidbar, d. h. jeder Einteilchenzustand kann von einem p und einem n besetzt werden.

18. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Nächster Schritt: Der sphärische harmonische Oszillator Also: In erste Schale (1s) passen 2 Nukleonen, in zweite Schale (1p) 2(2+1)=6 Nukleonen, d. h. insgesamt 8; in dritte Schale (2s+1d, selbe Energie!) passen 2(0+1)+2(4+1)=12 Nukleonen, mit darunterliegenden insgesamt 20 usw… →Dieses einfache Modell reproduziert bereits erste 3 magische Zahlen!

19. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Effektives Potential und einige Radialwellenfunktionen für den Oszillator: Zeigt bzgl. l und n ähnliches Verhalten wie kugelförmiger Kasten.

20. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Übersicht über die Energieniveaus von Oszillator und kugelförmigem Kasten: (N=2(n-1)+l, Oszillatorschale)

21. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Oszillator liefert guten Ansatz, jetzt wollen wir ihn durch Addition weiterer Terme verbessern. Zunächst: Interpolation zwischen Oszillator- und Kastenpotential Überlegung: Betr. Nukleon im Inneren eines schweren Kerns, d. h. Abstand von Oberfläche < Reichweite der starken WW. →Nukleon gleichmäßig von anderen Nukleonen umgeben, Vektorsumme aller auf es wirkenden Kräfte folglich Null →Potential im Kerninneren näherungsweise konstant. →Brauchen etwas mehr vom Kastenpotential (vgl. auch berechnetes Pot.) Lösung: Addition eines (negativen) L²-Terms. Grund: Seine Wirkung steigt mit höherem Bahndrehimpuls. Andererseits: l groß → WF zu größeren Radien hin gequetscht. Also: HO-Potential wird „geplättet“

22. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Vorläufiges Ergebnis: Niveaus mit großen l nach unten geshiftet →Unerwünschtes „Zusammenquetschen“ der Schalen

23. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Wird verhindert durch Subtraktion des Erwartungswertes von L², genommen über jeweilige N-Schale. Also lautet unser Term:

24. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Weitere Verbesserung nötig: Energieniveaus liefern vollbesetzte Schalen bei insges. 40 und 70 Nukleonen, Experiment verlangt 50! →Aufspaltung der Niveaus erforderlich Dies leistet die Spin-Bahn-Kopplung: Z. B. 1g: l=4, mit Spin 1/2: j=|l±s|=9/2 falls L und S parallel, j=7/2 falls L und S antiparallel → 1g wird aufgespaltet in 1g9/2 und 1g7/2 Nicht EM, sondern stark wechselwirkender Natur

25. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Bem. zur Entartung: Ohne LS-Kopplung: 2(2l+1) Zustände pro l-Orbital Mit LS-Kopplung: l ersetzt durch j=|l±s| → 2j+1 =2l+2 Zustände mit j=l+1/2 2j+1 =2l Zustände mit j=l-1/2 --------- =4l+2 wie vorher →# der Zustände pro l erhalten, nur Verteilung auf zwei Energieniveaus →Entartung reduziert, dennoch weiterhin vorhanden (ist ja auch nötig für Schalenbildung)

26. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Gewisse Überlegungen führen zu Hier auftretendes Potential kann i. a. unabhängig vom Zentralpotential gewählt werden. Häufig wird es aber identisch gewählt. Für den harmonischen Oszillator ergibt sich dann: Berechnung des bewirkten Shifts:

27. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Damit lautet unser Modified Oscillator (MO)-Potential: mit den Energien Für alten Parameter gilt:

28. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns und wir erhalten folgende Energieniveaus: • Beachte: • Mitte: Aufspaltung der Energieniveaus wächst mit l, aber keine Stauchung mehr • Rechts: Weitere Aufspaltung durch Spin, →z. B. magische Zahl 50 • Alle exp. ermittelten magischen Zahlen korrekt reproduziert, sogar weitere Zahl vorhergesagt • κ und μ‘ mit N variiert, Anpassung an Neutronen-Niveaus im Bereich

29. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Zum Abschluss: Interpretation der Parameter • ω0: Kernvolumen-Parameter • Abschätzung:

30. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Einbringung des Coulomb-Potentials; Unterschiede Protonen/Neutronen: Im Kerninneren: r<R, also Cb-Potential bis auf Konstante ~r² →kann durch Modifikation von ω0 für Protonen in MO-Potential eingebaut werden Abstoßung zwischen Protonen →stabile Kerne haben mehr Neutronen als Protonen →Starkes WW-Potential tiefer für p, da sie mehr anziehende n haben als die n anziehende p haben Gesamtpotential durch Cb-Beitrag für p wieder höher

31. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Grafische Darstellung für Sn-114 (50 p, 64 n)

32. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns Einbringung beider Effekte in MO-Potential durch Korrekturfaktor für ω0:

33. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Für welche Kerne eignet sich das MO-Modell besonders gut? →Kerne mit N und Z magisch, bis auf ein zusätzliches oder fehlendes Neutron oder Proton. Gründe: • MO-Modell erfordert Kugelsymmetrie, welche bei solchen Kernen gegeben ist • Vollständig besetztes j-Orbital hat J=0. Denn: -j<=mi<=j, alle mi vertreten (Pauliprinzip), also M=Σmi=0. Da M=0 einzig mögliches m, ist J=0. Ist dies nicht gegeben, nehmen die (im MO-Modell nicht berücksichtigten) „Residual Forces“, d. h. nicht-zentrale Effekte, zu.

34. Entwicklung eines Schalenmodells des Kerns • Einige Fits für κ (Stärke des LS-Terms) und μ‘ (Stärke des L²-Terms, Surface diffuseness depth)