Direzione Gestioni Quantitative - RAM SGR Es. 2 Teoria delle scelte di portafoglio

1. Direzione Gestioni Quantitative - RAM SGREs. 2Teoria delle scelte di portafoglio

2. Sommario • Richiami sui principi fondamentale tella teoria delle scelte di portafoglio • La risoluzione del problema in forma chiusa • La risoluzione del problema attraverso procedure numeriche • La stima degli input: rendimenti attesi e matrice di covarianza • Ottimizzazione su dati simulati • L’errore di stima e le conseguenze sul portafoglio ottimo • Ottimizzazione su dati reali 2

3. Ottimizzazione Media-Varianza 3

4. Teoria delle scelte di portafoglio - Richiami • Gli investitori sono razionali: a parità di rendimento atteso, preferiscono asset meno rischiosi • I rendimenti sono distributi normalmente e sono quindi descritti da media e varianza • La funzione di utilità dell’investitore è quadratica • Non ci sono lotti minimi, posso comprare quantità infinitesimali • Gli asset sono perfettamente liquidi • Non ci sono costi di transazione 4

5. Ottimizzazione Media Varianza • Date le ipotesi, l’investitore sceglie il proprio portafoglio ottimo massimizzando la funzione di utilità attesa: • E’ un problema di programmazione quadratica, la cui soluzione è nota in formula chiusa: • N.B.: per ottenere il portafoglio ottimo, la matrice di COV deve essere invertibile!! 5

6. Ottimizzazione Media-Varianza in presenza di vincoli 6

7. Ottimizzazione Media Varianza - I Vincoli di uguaglianza • E’ realistico ipotizzare che il portafoglio ottimo debba soddisfare dei vincoli lineari del tipo Aw = b: • A è una matrice con k righe (il numero dei vincoli) è n colonne (il numero degli asset, b è un vettore n x 1 • I vincoli possono essere di vario tipo: • somma dei pesi unitaria => il portafoglio è totalmente investito e non esiste leva finanziaria (ad es. non si investe in contratti future) • vincoli su insiemi di asset => es. i titoli di un determinato settore devono avere un certo peso • vincoli sui rendimenti attesi => es. Il rendimento atteso del portafoglio ottimo deve essere pari a p • vincoli su fattori di rischio => es. Vincoli su beta 7

8. Ottimizzazione Media Varianza - Soluzione in presenza di vincoli • In presenza di vincoli il problema è risolto attraverso le espressioni seguenti: 8

9. Altri vincoli • In generale potremmo voler richiedere che il nostro portafoglio ottimo soddisfi vincoli più complessi di quelli fin qui indicati: • vincoli lineari in forma di diseguaglianza Awb • vincoli di peso minimo o massimo per singolo asset (comprende il caso di esclusione di un asset) • vincoli di tipo non lineare • Il problema in questi casi può essere risolto sfruttando algoritmi numerici di programmazione quadratica che si basano sul metodo di Newton (ricerca dell’ottimo secondo la direzione del gradiente) e successive evoluzioni • In Matlab, ne sono disponibili svariati, richiamabili principalmente tramite le funzioni quadprog, fmincon 9

10. Altri vincoli (2) • Esistono vincoli ancora più complessi, come: • vincoli a numeri interi (es. il portafoglio deve essere costituito da un numero di titoli compreso tra Nmin e Nmax) • vincoli su condizioni (es. la somma dei titoli che pesano più di x% non deve superare y%) - es. Vincoli Banca d’Italia • In generale la maggiore complessità di questi vincoli richiede la risoluzione attraverso euristiche ed algoritmi di ottimizzazione di tipo stocastico, quali: • genetic algorithm • differential evolutionary algorithm • ... 10

11. Ottimizzazione Media-Varianza: la stima degli INPUT 11

12. Definizione degli INPUT e costruzione della frontiera • La costruzione di un portafoglio tramite un modello media varianza richiede la risoluzione di un problema quadratico • E’ necessario fornire: • il coefficiente di avversione al rischio (se poniamo =1, l’utilità rimane invariata se all’aumentare di una unità di rischio il rendimento atteso varia di due unità) • il vettore dei rendimenti attesi • la matrice di varianza e covarianza • La formula indicata fornisce un singolo portafoglio ottimo dato un insieme , ,  • Per ottenere una frontiera efficiente possiamo: • variare [min, max] • vincolare il portafoglio ad un target di rendimento atteso p[min, max] e variare il rendimento atteso 12

13. INPUT: i rendimenti attesi • Per stimare i rendimenti attesi possiamo utilizzare varie alternative: • previsioni in base a dati storici: • semplice media campionaria (la media e la varianza campionaria sono stimatori del valore atteso e della varianza della popolazione) • medie calcolate su finestre mobili (moving average) • medie ponderate esponenzialmente su finestre mobili (es. EWMA) • modelli di time series analysis • modelli di stampo macroeconomico (in genere per indici) • building block model (il rendimento atteso è la somma dell’inflazione, del tasso a breve reale, del risk premium obbligazionario, azionario e del cambio) • modelli fondamentali di valutazione della società (dividend discount model) • indicatori tecnici • fornire aspettative soggettive 13

14. INPUT: la matrice di covarianza • Sulla matrice di varianza e covarianza potrebbe sembrare che le alternative siano minori, ma non è così… • La volatilità non è un concetto definito in modo univoco, ma può essere stimata in molti modi: • direttamente calcolata su rendimenti storici: • semplice covarianza storica • EWMA • GARCH multivariati • matrice derivata da modelli fattoriali (CAPM, APT) • basati su variabili macroeconomiche • basati su variabili statistiche (es. PCA) • mix di stimatori: • stimatori bayesiani 14

15. INPUT: la matrice di covarianza (2) • E’ noto che variazioni nei rendimenti attesi influenzano le soluzioni ottime molto di più di quanto non lo facciano variazioni delle covarianze • i rendimenti influenzano linearmente l’utilità, mentre la varianza è una grandezza quadratica • Da questo punto di vista le covarianze sono meno importanti, ma... • Bisogna ricordare che: • la soluzione ottima richiede l’inversione di  • affinchè la varianza abbia senso deve essere positiva, quindi w’w>=0 •  deve essere quindi essere semidefinita positiva • Il modello di stima deve garantire questa proprietà 15

16. INPUT: la matrice di covarianza (3) • Nei casi in cui vi siano molti asset, il rapporto T/N può diventare pericolosamente piccolo e la matrice di covarianza può non essere semidefinita positiva • Altri problemi possono nascere nel momento in cui: •  è generata per simulazione •  è stimata: • su serie storiche incomplete (da tappare) • in caso di titoli collineari (es. azioni ordinarie e di risparmio) • E’ quindi sempre richiesta una verifica, utilizzando il noto teorema per cui: •  è simmetrica •  è semidefinita positiva se e solo se tutti gli autovalori di  sono nonnegativi e se almeno uno è positivo. 16

17. Funzioni di ottimizzazione 17

18. Funzioni di ottimizzazione (home made) • Utilizzando il dataset RendSim.mat (10 asset), scriviamo funzioni per la risoluzione del problema di ottimizzazione: • Nel caso di un solo portafoglio (formula chiusa) • wOpt = SingoloPtfOttimizzato (ExpRet, CovMatrix, lambda) • Nel caso di un solo portafoglio in presenza di vincoli (formula chiusa) • wOpt = SingoloPtfOttimizzatoConVincoli(A, b, ExpRet, CovMatrix, lambda) • Vincoli • somma pesi unitaria • vincoli su blocchi di asset • Nel caso si una frontiera (formula chiusa) • [PortWOpt, PortRisk, PortReturn] = CreaFrontieraEff(Rend, Nport, ExpRet, CovMatrix, lambda) • è importante gestire i vincoli sui rendimenti attesi • valutare le soluzioni 18

19. Funzioni di ottimizzazione (Matlab) • Matlab, utilizzando un’impostazione simile a quella delineata, offre un ventaglio di funzioni che permettono di costruire portafogli ottimi frontiera efficiente • Queste funzioni appartengono al financial toolbox • Possiamo però scrivere il problema finanziario e utilizzare le funzioni di ottimizzazione di matlab per ottenere la soluzione • La parametrizzazione delle funzioni di ottimizzazione Matlab è ricca e consente di gestire anche vincoli di disuguaglianza lineare, vincoli di minimo e massimo peso del singolo asset (provare ad inserire vincoli) • La funzione utilizzata QUADPROG Quadratic programming. • min 0.5*x'*H*x + f'*x subject to: A*x <= b, LB<=x<=UB • X=QUADPROG(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) • (ipotizza lambda 1, attenzione al segno di f) 19

20. Funzioni di ottimizzazione (Matlab) • Utilizziamo le funzioni Matlab per determinare scrivere una funzione che generi la frontiera in presenza dei seguenti vincoli e dei medesimi input: • somma unitaria dei pesi • nonnegatività dei pesi • [PortWOpt, PortRisk, PortReturn] = CreaFrontieraEff_Matlab(rend, 20, ExpRet, CovMatrix, Lambda); 20

21. Esempio una frontiera efficiente • dataset RendSim.mat 21

22. La simulazione di rendimenti distribuiti normalmente 22

23. INPUT: rendimendi simulati • Per realizzare esercizi di ottimizzazione lavoriamo su dati simulati distribuiti normalmente • Nel caso in cui la simulazione sia univariato, la generazione dei rendimenti è semplice e richiede i seguenti passi: • simulazione rendimenti normali standardizzati => z=randn(T,N) • attribuzione media e standard deviation => • Ipotizziamo di voler generare 3 asset class distribuite nel modo seguente: 23

24. INPUT: rendimendi simulati- caso multivariato • Nel caso multivariato possiamo ricorrere alla decomposizione di Cholesky della matrice di covarianza: • La decomposizione è possibile solo per matrici semidefinite positive • D è una matrice triangolare • Possiamo quindi simulare rendimenti normali standard e poi riattribuire medie e correlazioni: 24

25. Dati simulati • Possiamo però verificare che la matrice non è semidefinita positiva • ha un autovalore pari a -0.29… • La matrice non è quindi utilizzabile in un processo di ottimizzazione • Possiamo: • modificare manualmente la matrice fino a trovarne una appropriata... • ricorrere ad una procedura di stabilizzazione che la renda semidefinita positiva senza alterarne eccessivamente i dati • Ricordando che vale la decomposizione in autovalori • possiamo sostituire l’autovalore negativo con un >0, (es. 1e-5), determinare la matrice’, ricomporre la matrice ’ e normalizzare le correlazioni in ’’ • creare funzione OmegaNew = CorrMatrixStabilization(Omega) 25

26. Analisi dei portafogli ottimi: l’errore di stima 26

27. L’errore di stima - dati simulati • Costruiamo portafogli ottimizzati in base ai dati costruiti per simulazione • Per valutare le soluzioni fornite dall’ottimizzazione e la sensibilità delle soluzioni alla stima degli input, possiamo: • generare un portafoglio ottimo utilizzando i VERI rendimenti attesi e la VERA matrice di covarianza • generare un portafoglio ottimo utilizzando i VERI rendimenti attesi ed una STIMA della matrice di covarianza • generare un portafoglio ottimo utilizzando una STIMA dei rendimenti attesi e la VERA matrice di covarianza • generare un portafoglio ottimo utilizzando la stima dei rendimenti attesi e la stima matrice di covarianza • in tutti i casi utilizziamo come stimatori la media e la covarianza campionaria • Utilizziamo: • function [] = CreaFrontieraEff() 27

28. L’errore di stima - dati simulati (2) • I risultati sono particolarmente sensibili all’errore di stima sui rendimenti attesi 28

29. L’errore di stima - dati simulati (3) • Un’analisi più completa è contenuta nel file videoEstRet.mat che mostra come si posizionano le frontiere nei 4 casi indicati in precedenza, in caso di stime rolling su finestre di 10 giorni, su un dataset casuale di 50 osservazioni per 3 asset • In questo caso lavoriamo con un rapporto T/N=10/3 • In presenza di molti asset questo rapporto è realistico e può anche scendere ulteriormente • (500 asset, 1000 osservazioni è un caso molto frequente) • Nel file videoEstRet2.mat è contenuto un dataset che mostra come allungando il campione (quindi aumentando il rapporto T/N), gli stimatori convergano al vero valore della popolazione, annullando quindi l’errore di stima (principio ergodico) 29

30. L’errore di stima - letteratura • Chopra, Ziemba (1993) identificano che: • l’errore si stima sui rendimenti attesi è più importante di circa 10 volte riapetto a quello sulle varianze • l’errore sulle varianze è importante circa il doppio rispetto a quellosulle covarianze • Best, Grauer (1991) mostrano che: • i portafogli ottimi sono molto sensibile ai rendimenti attesi • un modesto variazione nel rendimento atteso di un solo asset, influenza la composizione di circa metà del portafoglio, pur lasciando il rendimento atteso e la volatilità del portafoglio sostanzialmente immutata 30

31. Ottimizzazione su dati reali 31

32. Funzioni di ottimizzazione - dati reali • Possiamo adesso ripetere gli esercizi di ottimizzazione utilizzando un dataset reale, ma contenuto • file: Sector.xls, Sector.mat • contengono le serie storiche dal 01/01/01 al 05/10/05 di 10 indici settoriali dell’area Europa calcolati da Datastream: • EUROPE - DS RESOURCES • EUROPE - DS BASIC INDUSTRIES • EUROPE - DS GEN. INDUSTRIALS • EUROPE - DS CYC. CONS. GOODS • EUROPE - DS NON CYC CONS GDS • EUROPE - DS CYCLICAL SERVICE • EUROPE - DS NON CYC.SERVICES • EUROPE - DS UTILITIES • EUROPE - DS INFORMATION TECH • EUROPE - DS FINANCIALS 32

33. Funzioni di ottimizzazione - dati reali • [PortWOpt, PortRisk, PortReturn] = CreaFrontieraEff_Matlab(r_sector, 20, mean(r_sector)', cov(r_sector), []); 33

34. Risultati (2) 34

35. Risultati (2) - blu stima full sample, nero 250 dd, rosso 100 dd 35

36. Osservazioni sui portafoglio ottimi • Nel file SectorVideo.mat sono contenuti i dati che mostrano come varia la frontiera e le composizioni ripetendo le operazioni di stima e di ottimizzazione su un campione di 250 dati rolling • Anche in questo caso, possiamo verificare che l’errore di stima degli input produce variabilità nei risultati • Altre osservazioni: • E’ opportuno tenere in considerare che gli algoritmi di ottimizzazione sono strumenti molto potenti, producono soluzioni molto accurate in presenza di input precisi • In caso di errore di stima, l’ottimizzazione produce soluzioni corrette numericamente, ma distorte dal punto di vista logico e finanziario • Abbiamo visto che l’errore sui rendimenti attesi influisce maggiormente sulle soluzioni • Un rendimento eccessivamente alto induce l’ottimizzatore a concentrare le soluzioni verso quell’asset: perchè comprarne altri quando quell’asset produrrà il maggior ritorno? • Spostamenti della frontiera producono variazioni nella composizione del portafoglio • Ciò impatta sul turnover e sui costi di transazione • Variazioni ampie dell’allocazione (anche se vi fosse perfect foresight) sono difficilmente realizzabili sul mercato per problemi di liquidità e per market impact 36

37. Osservazioni sui portafoglio ottimi(2) • Altre osservazioni: • i portafogli ottimi nell’esempio sono costituiti da pochi asset (max 4/10) • questo fenomeno è noto come polarizzazionedelle soluzioni, ed è particolarmente evidente agli estremi della frontiera • le conseguenze dirette della polarizzazione sono: • i portafogli concentrati sono poco credibili (siamo veramente sicuri che un asset con un rendimento atteso negativo, avrà effettivamente una performance negativa) • le stime ci forniscono valori ex-ante, le performance sono costruite ex-post • affidarsi a poche scommesse rinnega il principiop della diversificazione che è insito nella teoria delle scelte diportafoglio • la concentrazione è un fenomeno ancora più evidente quando ho un benchmark di riferimento: • è corretto investire in una piccola frazione dei titoli disponibili, quando il mio obiettivo è realizzare una performance pari o superiore a quella di un indice di riferimento? • l’insieme di questi effetti, induce qualcuno a dire che l’ottimizzazione di portafoglio non è minimizzazione del rischio, ma massimizzazione dell’errore • si pa rla anche del Markowitz Optimization Enigma 37

38. Alcune soluzioni ai problemi classici dell’ottimizzazione media varianza 38

39. Possibili soluzioni ai problemi evidenziati • I problemi evidenziati derivano dall’adozione di un processo di ottimizzazione ingenuo ed eccessivamente semplificato • Possiamo adottare degli interventi volti a controllare le soluzioni ottime attraverso: • un approccio euristico: imposizione di vincoli alla percentuale massima detenuta di una asset • generazione di portafogli relativi rispetto ad un benchmark • tecniche statististiche volte a separare il segnale dal rumore (bayesian shrinkage estimator) • tecniche volte a limitare l’impatto dell’errore di stima degli input (resampling) 39

40. Possibili soluzioni: l’imposizione di vincoli • Un modo semplice per ridurre l’instabilità delle soluzioni ed i fenomeni di polarizzazione è quello di vincolare l’insieme delle soluzioni ammissibili attraverso l’imposizione di vincoli di peso massimo: • implicitamente viene determinato un numero minimo di asset da detenere • si può dimostrare che imporre questi vincoli è analogo all’utilizzo di stimatori di riduzione dell’errore di stima (Jagannathan, Ma 2001) • Riprendendo il dataset Sector.mat, ripetiamo l’esercizio di ottimizzazione imponendo un upper bounds sugli asset, pari al 30% • Il numero di asset lungo la frontiera aumenta per definizione del problema 40

41. Possibili soluzioni: l’imposizione di vincoli (2) 41

42. Possibili soluzioni: utilizzo di un benchmark • Posso utilizzare un benchmark come riferimento e costruire un portafoglio rispetto a questo riferimento (tilt) • Possiamo invertire la formula di calcolo del portafoglio ottimo in assenza di vincoli, e calcolare il rendimento atteso data una composizione (reverse engineering). • A questo punto potremmo calcolare degli extra rendimenti attesi rispetto a quelli impliciti nel benchmark e riottimizzare • La soluzione ottimale sarà “nei pressi del bmk”, avrà quindi una composizione simile, elevata numerosità degli asset e sovrappesi/sottopesi rispetto a quei titoli su cui si hanno aspettative di extra-rendimenti positivi/negativi 42

43. Possibili soluzioni: stimatori shrinkage • Sono basati sul principio bayesiano delle probabilità condizionali, per il quale la probabilità di accadimento di un avvenimento viene modificata sulla base di set informativi noti a priori (prior). • Empiricamente si traducono in medie tra uno stimatore di statistica classica (come la media per il valore atteso) ed un un prior che funge da baricentro equilibratore • L’effetto di questi stimatori è di riportare valori estremi dello stimatore utilizzato (rendimenti attesi particolarmente elevati o particolarmente negativi) verso il baricentro delle attese, con un’intensità dettata dalla matrice di covarianza • Tanto maggiore è la variabilità, tanto maggiore l’attesa è incerta e deve essere quindi riportata verso valori medi • Questi stimatori limitano quindi l’errore di stima, e modificano sia la cardinalità che l’ordinalità dei valori 43

44. Possibili soluzioni: stimatori shrinkage (2) • Uno degli stimatori più utilizzati è quello di Bayes-Stein: • In questo caso il prior è costituito dalla media globale del sistema. • Quanto più i rendimenti attesi stimati sono lontani da questa media e quanto maggiore e la standard deviation dello stimatore, tanto maggiore è l’effetto di shrikage 44

45. Possibili soluzioni: stimatori shrinkage (3) 45

46. Possibili soluzioni: il portfolio resampling • Come visto nei precedenti esempi, l’errore di stima rende la frontiera instabile e variabile nel tempo • L’idea del portfolio resampling è quella di considerare la frontiera come una variabile stocastica, che è circondata da una regione statisticamente non distinguibile (statistical equivalent region) • La frontiera statisticamente può essere quindi considerata un’area, che comprende più portafogli la cui composizione non è statisticamente differente • Ogni volta in cui generiamo una frontiera stiamo di fatto osservando una realizzazione di una medesima, che è soggetta all’errore di stima • Generando per simulazione n frontiere, genero un’area di frontiere e prendendo una media delle composizioni, otteniamo una frontiera meno soggetta all’errore di stima e quindi più stabile. 46

47. Possibili soluzioni: il portfolio resampling(2) • Possiamo prendere in considerazione il Gaussian Resampling, che può essere schematizzato attraverso le seguenti fasi: • Selezione del periodo di analisi • Stima di parametri di rendimenti attesi e matrici di covarianze (si può passare anche attraverso una fase di stabilizzazione degli stimatori) • Simulazione di rendimenti distribuiti normalmente secondo i parametri stimati • Costruzione della frontiera per ognuno dei dataset simulati • Calcolo della composizione media su tutte le frontiere • Esistono versioni non paraametriche del portfolio resampling che limitano l’assunzione di ipotesi restrittive, quali la normalità 47

48. L’estensione al caso di portafogli di grande dimensione 48

49. Portafogli di grande dimensione • Tutti i problemi evidenziati diventano ancora più gravi in presenza di ottimizzazione con portafogli composti da centinaia di titoli: • le matrici di covarianza possono avere molti autovalori negativi • modelli multivariati per la stima dei rendimenti possono diventare impossibili da stimare (centinaia o migliaia di parametri da stimare in base a campioni finiti) • le serie storiche sono incomplete e devono essere rettificate dagli effetti derivanti da corporate actions (es. dividendi straordinari) • alcune serie storiche sono illiquide e manifestano volatilità non realistiche che poi si traducono in jump improvvisi • sui singoli titoli esistono i lotti minimi (es. mercati del pacifico) e problemi di liquidità 49

50. Portafogli di grande dimensione(2) • Di fronte a questi problemi si possono ricercare delle soluzioni: • ricorrerendo a strutture di semplificazione dei dati attraverso procedure di fattorizzazione (CAPM, APT e modelli multifattoriali) • utilizzando processi a più stadi: • clusterizzazione dei titoli in gruppi • ottimizzazione nei gruppi • ottimizzazione tra gruppi • utilizzando modelli di riattribuzione della volatilità agli asset illiquidi • ... 50