O problema da divisão das apostas e outras histórias

1. O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e Gestão Guarda, 23 de Novembro de 2006

2. Plano da exposição 1. O problema da divisão das apostas 2. O conceito deprobabilidade 3. O problema dos três dados 4. Soluções de Pascal e de Fermat para o problema da divisão das apostas 5. O erro de d’Alembert

3. O problema da divisão das apostas • Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. • Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.

4. O problema da divisão das apostas Jogador A V V V V V Jogador B V V V

5. O problema da divisão das apostas Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

6. O problema da divisão das apostas • Por volta de 1652, este problema é colocado a Pascal (1623-1662) pelo Chevalier de Méré, um homem de letras e filósofo marcante na corte de Luís XIV. Blaise Pascal

7. O problema da divisão das apostas • No verão de 1654, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat (1601-1665). Pierre de Fermat

8. O problema da divisão das apostas • Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas: - 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe; - 2ª carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a data em que foi escrita; - 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de 1654; - 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654; - 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654; - 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654; - 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654.

9. O problema da divisão das apostas O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos: • 1494 – Pacioli (1445-1517) propõe: Luca Pacioli

10. O problema da divisão das apostas 1556 – Tartaglia (1499-1557) diz: “A solução de Pacioli não parece estar correcta, masqual-quer que seja a forma de dividir o prémio haverá sem-pre lugar a litígio” Nicolo Tartaglia

11. O problema da divisão das apostas • 1564 – Cardano (1501-1576) diz: “Há um erro evidente na divisão do prémio proposta por Pacioli que até uma criança pode reconhecê-lo” Girolamo Cardano

12. O problema da divisão das apostas • Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções. • Para Pascal e Fermat o problema reduz-se a um problema de probabilidades.

13. O problema da divisão das apostas “Ninguém, antes de Pascal e Fermat, estabeleceu os princípios e os métodos que permitissem calcular as chances favoráveis e desfavoráveis aos jogadores, bem como resolver questões complicadas deste género.” Laplace, P.-S., 1814, Essai Philosophique sur les Probabilités.

14. Probabilidade • A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%). • A probabilidade quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer. • Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.

15. Probabilidade Probabilidade = Para resultados igualmente prováveis:

16. Probabilidade • A definição anterior de probabilidade é conhecida como “Definição Clássica” sendo atribuída a Laplace (1749-1827) Pierre-Simon Laplace

18. Probabilidade • No entanto, a definição clássica de probabilidade foi usada por outros matemáticos anteriores a Laplace!!!! • A definição clássica de probabilidade está relacionada com outro conceito de probabilidade a que por vezes se dá o nome de Definição Frequencista. simul1dado.xls

19. Probabilidade Probabilidade ~ Repetindo muitas vezes a experiência: proporção de resultados favoráveis

20. Probabilidade • A igualdade anterior é conhecida como “Lei dos grandes números” e é devida a Jacques Bernoulli (1645-1705). Jacques Bernoulli

21. O problema dos 3 dados Jogando com três dados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes:

22. O problema dos 3 dados Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9? simul3dadosA.xls

23. O problema dos 3 dados • Cardano (1501-1576) “Livro sobre jogos de azar” (escrito em 1526, publicado em 1663) Este problema foi estudado por gente famosa: Girolamo Cardano

24. O problema dos 3 dados • Galileu Galilei (1564-1642) “Considerações sobre o jogo dos dados” (escrito entre 1613 e 1623) Galileu Galilei

25. O problema dos 3 dados • Ambos concluem que as combinações anteriores não são igualmente prováveis. • A definição clássica de probabilidade não pode ser usada a partir da contagens de tais combinações.

26. O problema dos 3 dados • Resultado 1 2 6

27. O problema dos 3 dados • Resultado 1 4 4 • Resultado 3 3 3

28. O problema dos 3 dados

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41. O problema dos 3 dados

42. O problema dos 3 dados

43. O problema dos 3 dados

44. O problema dos 3 dados • Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos. • Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos. simul3dadosB.xls

45. O problema da divisão das apostas • Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. • Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.

46. O problema da divisão das apostas Jogador A V V V V V Jogador B V V V

47. O problema da divisão das apostas Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

48. O problema da divisão das apostas • A primeira publicação de uma solução para o problema é feita por Christians Huygens (1629-1695) em 1657. Christiaan Huygens

49. Primeira página da versão latina do livro de Huygens De Ratiociniis de Ludo Aleæ (Sobre o raciocínio nos jogos de azar) 1657

50. O problema da divisão das apostas • Se pé a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar p x Prémio • Divisão justa: p x Prémio (1-p) x Prémio