Metoda Backtracking

Metoda Backtracking Aspecte teoretice Exemplu pentru înţelegerea metodei Permutări Aranjamente Combinări Problema celor n dame Problema colorării hărţilor Problema comis voiajorului Problema plaţii unei sume s utilizând m tipuri de monede Backtracking recursiv Aranjamente si permutari rezolvate recursiv

1. Aspecte teoretice Metoda Backtracking este o metodă de elaborare a algoritmilor. Ea se aplică problemelor în care soluţia se poate reprezenta sub forma unui vector, X=(x1,x2,...xm), care aparţine lui S=S1xS2x...Sm - S=S1xS2x...Sm se numeşte spaţiul soluţiilor posibile - Pentru fiecare problemă în parte se dau anumite condiţii între componentele vectorului soluţie care se numesc condiţii interne - Soluţiile posibile care verifică condiţiile interne se numesc soluţii rezultat - Metoda Backtracking îşi propune să genereze toate soluţiile rezultat

O metodă simplă de a genera soluţiile rezultat constă în a genera într-un mod oarecare toate soluţiile posibile şi de a alege dintre acestea doar pe cele care verifică condiţiile interne. Dezavantajul constă în faptul că timpul cerut este foarte mare.

Metoda Backtracking urmăreşte să evite generarea tuturor soluţiilor posibile. Pentru aceasta elementele vectorului x primesc pe rând valori în sensul că lui xk i se atribuie o valoare doar dacă componentele din faţa sa x1, x2,...xk-1 au primit valori. Dacă lui xk i s-a atribuit o valoare, nu se trece direct la atribuirea de valori lui xk+1, ci se verifică nişte condiţii de continuare, referitoare la x1, x2,...xk-1 xk. Dacă condiţiile de continuare au fost satisfăcute, se trece la calculul lui xk+1. Neîndeplinirea lor exprimă faptul că oricum s-ar alege xk+1,...,xn, nu se va ajunge la o soluţie rezultat. Evident, ca în cazul neîndeplinirii condiţiilor de continuare va trebui să se facă o altă alegere pentru xk. Sau dacă Sk a fost epuizat, să se micşoreze k cu o unitate, încercând să se facă o nouă alegere pentru xk.

2. Exemplu pentru înţelegerea metodei Pentru a înţelege mai uşor prezentăm următorul exemplu: Presupunem că dorim să ne îmbrăcăm de la un magazin pentru o festivitate şi dorim să cumpărăm: pantofi, ciorapi, pantaloni, cămaşă şi cravata astfel încât acestea să se asorteze între ele, să se genereze toate modalităţile de a ne îmbrăca. Magazinul are: 5 etaje La etajul 1 are 10 raioane cu pantofi La etajul 2 are 10 raioane cu ciorapi La etajul 3 are 10 raioane cu pantaloni La etajul 4 are 10 raioane cu cămăşi La etajul 5 are 10 raioane cu cravate

Deoarece soluţia are mai multe componente, 5 – câte etaje are magazinul, putem folosi metoda Backtracking. Pentru rezolvare vom folosi: k : variabilă întreagă care reprezintă etajul pe care ne găsim x : vector care are 5 componente întregi, adică exact câte etaje are magazinul cu proprietatea că xk reprezintă numărul raionului de la care s-a cumpărat pe etajul k. În cazul de faţă xk {1,...,10} unde k{1,...,5} as este o variabilă întreagă care primeşte valoarea 1 dacă pe etajul k mai sunt raioane nevizitate şi primeşte valoarea 0 dacă pe etajul k nu mai sunt raioane nevizitate. ev este o variabilă întreagă care primeşte valoarea 1 dacă ce este la raionul xk convine şi primeşte valoarea 0 dacă ce este la raionul xk nu convine.

Cum se procedează: se pleacă de la primul etaj din faţa uşii atâta timp cât încă ne aflăm la un etaj , k repetăm ne întrebăm dacă mai sunt raioane pe etajul k dacă da, atunci se verifică dacă ne convine ce conţine raionul care urmează atâta timp cât mai sunt raioane şi nu am găsit ce ne place. dacă am găsit atunci dacă le-am luat pe toate atunci se afişează altfel se merge la etajul următor în faţa uşii altfel se coboară la etajul de jos

Reprezentarea a ceea ce s-a spus mai sus este: k=1; (se pleacă de la primul etaj) x[k]=0; (din faţa uşii) while (k>0) (atâta timp cât încă ne aflăm la un etaj , k) { do (repetăm) { succ(x,k,as); (ne întrebăm dacă mai sunt raioane pe etajul k) if(as) (dacă da, atunci) valid(x,k,ev); (se verifică dacă ne convine ce conţine raionul care urmează) } while(as&&!ev); (atâta timp cât mai sunt raioane şi nu am gasit ce ne place.) if (as) (dacă am găsit atunci) if(k==5) (dacă le-am luat pe toate atunci) afis(x,k) (se afişează) else (altfel) { k=k+1; (se merge la etajul următor) x[k]=0; (în faţa uşii) } else (altfel) k=k-1; (se coboară la etajul de jos) }

Cum ne dăm seama dacă mai sunt raioane la etajul k? dacă numărul raionului de la etajul k este mai mic decât 10 atunci mai sunt raioane pe etajul k şi mergem la raionul următor altfel nu mai sunt raioane pe etajul k

void succ(sir x,int k,int &as) (funcţia care determină dacă mai sunt raioane la etajul k) { if(x[k]<10) (dacă numărul raionului de la etajul k este mai mic decât 10) { (atunci) as=1; (mai sunt raioane pe etajul k) x[k]=x[k]+1 (şi mergem la raionul următor) } else (altfel) as=0; (nu mai sunt raioane pe etajul k) }

Cum se realizează afişarea pentru i de la 1 la k se afişează x[i] cursorul trece la linia următoare

void afis(sir x, int k) { int i; for(i=1;i<=k;i++) (pentru i de la 1 la k) cout<<x[i]<<” ”; (se afişează x[i]) cout<<endl; (cursorul trece la linia următoare) }

void valid(int &ev) { ev=1; (presupunem că orice alegere de haine ne convine) }

Pentru realizarea programului se parcurg următoarele etape: • construirea tipului sir • declararea tuturor variabilelor care apar în cadrul programului principal • realizarea funcţiei succ • realizarea funcţiei valid • realizarea funcţiei afiş • programul principal care conţine rutina principală

construirea tipului sir #include<iostream.h> #include<stdio.h> typedef int sir[100]; sir x;

declararea tuturor variabilelor care apar în cadrul programului principal int k, as,ev;

realizarea funcţiei succ void succ(sir x, int k, int&as) { if(x[k]<10) { as=1; x[k]=x[k]+1; } else as=0; } Verific dacă mai sunt sau nu raioane pe etajul k

realizarea funcţiei valid void valid(int&ev) { ev=1; } Am găsit ce îmi place

realizarea funcţiei afiş void afis(sir x,int k) { int i; for(i=1;i<=k;i++) cout<<x[i]<<" "; cout<<endl; } Afişarea rezultatului

programul principal care conţine rutina principală if(as) if(k==5) afis(x,k); else { k=k+1; x[k]=0; } else k=k-1; } } int main(void) { k=1; x[k]=0; while(k>0) { do { succ(x,k,as); if (as) valid(ev); } while(as&&!ev);

Comentarii void succ(sir x, int k, int&as) { if(x[k]<n[k]) { as=1; x[k]=x[k]+1; } else as=0; } 1. Dacă la etajul 1 ar fi fost n1 raioane la etajul 2 ar fi fost n2 raioane ....... la etajul k ar fi fost nk raioane Funcţia succesor se modifică astfel:

Comentarii 2. Dacă magazinul are m etaje atunci condiţia „dacă s-au făcut toate cumpărăturile” sau „s-a ajuns la ultimul etaj” se scrie if(k==m)

Comentarii 3. Dacă la fiecare etaj numărul de magazine este variabil (nu 10) condiţia de testare din funcţia succesor este if(x[k]<n[k])

Atunci când nu există condiţii între componentele vectorului soluţie funcţia valid are forma: void valid(int&ev) { ev=1; }

Atunci când componentele vectorului soluţie trebuie să fie distincte trebuie arătat că xkxi pentru i=1...k-1 se procedează astfel: - se presupune că xk este diferit de toate elementele din faţa sa - se parcurg indicii 1...k-1 cu i - dacă xk nu este diferit de xi, atuncipresupunerea este falsă void valid(int&ev) { int i; ev=1; for(i=1;i<=k-1;i++) if(!(x[k]!=x[i])) ev=0; } X[k] nu este diferit de x[i]

Permutări O permutare a unei mulţimi cu n elemente este un şir de elemente obţinut prin schimbarea ordinii elementelor mulţimii date sau chiar mulţimea însăşi. Ne gândim la generarea permutărilor atunci când se dă o mulţime cu n elemente ca date de intrare iar soluţia este sub forma de vector, tot cu n elemente, ale cărui componente sunt distincte şi aparţin mulţimii date. Exemplu: Fie A={1,2,3}. Permutările mulţimii A sunt: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Fie A={a1, a2,…,am} o mulţime cu elemente de tip întreg. Trebuie determinate elementele mulţimii { y1, y2,…,ym }| ykA, k=1,2,...,m, pentru yiyj pentru ij}. Deci, x=( x1, x2,…,xm) unde x{1,...,m}, elementele vectorului x trebuie să fie distincte.

Programul: #include<iostream.h> #include<stdio.h> typedef int sir[100]; sir x; int i,k,m; int as,ev; sir a;

void succ(sir x, int k, int &as) { if(x[k]<m) { as=1; x[k]=x[k]+1; } else as=0; }

void valid(sir x, int k, int &as) { int i; ev =1; for(i=1;i<=k-1;i++) if(!(x[i]!=x[k])) ev=0; }

void afis(sir x, int k) { int i; for(i=1;i<=k;i++) cout<<a[x[i]]<<" "; cout<<endl; }

int main(void) { cout<<"m="; cin>>m; for(i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]; k=1; x[k]=0; while(k>0) { do { succ(x,k,as); if(as) valid(x,k,ev); } while(as&&!ev); if(as) if(k==m) afis(x,k); else { k=k+1; x[k]=0; } else k=k-1; } }

Aranjamente Se dau două mulţimi A={1,2,…,p} şi B={1,2,…,m} se cer toate funcţiile injective definite pe A cu valori în B. O astfel de problemă este una de generare a aranjamentelor de n luate cate p (Anp). Exemplu: p=2, n=3. Avem (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2). De exemplu (2,1) este funcţia f:A→B dată astfel f(1)=2, f(2)=1. Avem relaţiile: =m(m-1)...(m-p+1).

Avem relaţiile: = m(m-1)...(m-p+1). Se citesc m şi p. Să se genereze toate aranjamentele de m luate câte p. Se observă că dacă se cunoaşte fiecare submulţime de p elemente a mulţimii de m elemente, atunci aranjamentele se pot obţine permutând în toate modurile posibile elementele unei astfel de mulţimi. O soluţie este de forma: x1,x2,...xp unde x1,x2,...xpB. În plus x1,x2,...xp trebuie să fie distincte. O soluţie are p numere din mulţimea B şi numerele trebuie să fie distincte. De aici rezultă că algoritmul este acelaşi ca la permutări, diferenţa fiind dată de faptul că soluţia are p numere, nu m ca în cazul permutărilor.

void succ(sir x, int k, int &as) { if(x[k]<m) { as=1; x[k]=x[k]+1; } else as=0; } #include<iostream.h> #include<stdio.h> typedef int sir[100]; sir x; int i,k,m,p; int as,ev; sir a;

void valid(sir x, int k, int &as) { int i; ev =1; for(i=1;i<=k-1;i++) if(x[k]==x[i]) ev=0; } void afis(sir x, int k) { int i; for(i=1;i<=k;i++) cout<<a[x[i]]<<" "; cout<<endl; } se afişează elementele din mulţimea A care corespundpoziţiilor date de elementele vectorului x se verifică dacă xkxi unde i=1,2,...,k-1

int main(void) { cout<<"m="; cin>>m; for(i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]; cout<<"p="; cin>>p; k=1; x[k]=0; while(k>0) { do { succ(x,k,as); if(as) valid(x,k,ev); } while(as&&!ev); if(as) if(k==p) afis(x,k); else { k=k+1; x[k]=0; } else k=k-1; } }

Combinări Fiind dată o mulţime A cu n elemente, a combina elementele mulţimii în grupe de câte p<n elemente înseamnă a determina toţi vectorii cu p elemente ale căror componente aparţin mulţimii A şi sunt sortate crescător. Ne gândim la generarea combinărilor atunci când se dă o mulţime cu n elemente ca date de intrare iar soluţia este sub forma unui vector cu p<n elemente, astfel încât să nu aibă importanţă ordinea pe care o au în cadrul şirului. Componentele sunt sortate crescător şi aparţin mulţimii date. Fie A={1,2,3}. Combinările mulţimii A în grupe de câte două elemente sunt (1,2), (1,3), (2,3).

void succ(sir x, int k, int &as) { if(x[k]<m) { as=1; x[k]=x[k]+1; } else as=0; } #include<iostream.h> #include<stdio.h> typedef int sir[100]; sir x; int i,k,m,p; int as,ev; sir a;

void afis(sir x, int k) { int i; for(i=1;i<=k;i++) cout<<a[x[i]]<<" "; cout<<endl; } void valid(sir x, int k, int &as) { int i; ev =1; for(i=1;i<=k-1;i++) if((k>=2)&&!(a[x[k]]>a[x[k-1]])) ev=0; } se afişează elementele din mulţimea A care corespundpoziţiilor date de elementele vectorului x se verifică dacă componentele aparţin mulţimii date şi sunt sortate crescător

int main(void) { cout<<"m="; cin>>m; for(i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]; cout<<"p="; cin>>p; k=1; x[k]=0; while(k>0) { do { succ(x,k,as); if(as) valid(x,k,ev); } while(as&&!ev); if(as) if(k==p) afis(x,k); else { k=k+1; x[k]=0; } else k=k-1; } }

Problema celor n dame Pentru rezolvare se vor folosi: k = variabila întreagă ce reprezintă linia pe care se aşează a k-a damă x = vector cu componente întregi cu proprietatea că xk reprezintă coloana pe care se aşează a k-a damă Deoarece tabla are n linii şi n coloane k{1,2,..,n} si xk{1,2,...,n} adică: x=(x1,x2,...,xn) unde xk{1,2,…n}, k{1,2,...,n}.

În desenul de mai jos este ilustrată situaţia în care dama k şi dama i sunt situate pe aceeaşi diagonală. k-i=xk-xi (trebuie ca damele să fie aşezate În colţurile unui pătrat cu latura K-i, respectiv xk-xi) k i xi xk

În desenul de mai jos este ilustrată situaţia în care dama k şi dama i sunt situate pe aceeaşi diagonală. k-i=xi-xk (trebuie ca damele să fie aşezate În colţurile unui pătrat cu latura K-i, respectiv xi-xk) k i xk xi

Dama k şi dama i se găsesc pe aceeaşi diagonală dacă k-i=|xk-xi| • Dama k şi dama i se găsesc pe aceeaşi coloană dacă xk=xi. • Dama k şi dama i nu se află e aceeaşi lunie niciodată datorită modului de construire a vectorului x

Funcţia valid trebuie să verifice dacă dama k nu se află pe aceeaşi coloană sau pe aceeaşi diagonală cu dama i. Deci trebuie arătat că: xkxi şi k-i|xk-xi| pentru i=1,2,…,k-1. adică if((x[k]==x[i])||(k-i==abs(x[k]-x[i])))

void valid(sir x, int k, int &ev) { ev =1; for(i=1;i<=k-1;i++) if((x[k]==x[i])||(k-i==abs(x[k]-x[i]))) ev=0; } void afis(sir x,int k) { int i; for(i=1;i<=k;i++) cout<<x[i]<<" "; cout<<endl; } typedef int sir[100]; sir x; int i,k,n; int as,ev; void succ(sir x, int k, int &as) { if(x[k]<n) { as=1; x[k]=x[k]+1; } else as=0; }

int main(void) { cout<<"n="; cin>>n; k=1; x[k]=0; while(k>0) { do { succ(x,k,as); if(as) valid(x,k,ev); } while(as&&!ev); if(as) if(k==n) afis(x,k); else { k=k+1; x[k]=0; } else k=k-1; } }

Problema colorării hărţilor Fiind dată o hartă cu n tări, se cer toate modalităţile de colorare a hărţii, utilizând cel mult m culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorare diferit. Este demonstrat faptul că sunt suficiente numai 4 culori ca orice hartă să poată fi colorată. Pentru rezolvare se vor folosi: k: variabilă întreagă, care reprezintă o ţară x: vector cu componente întregi cu proprietatea xk reprezintă culoarea ţării cu numărul k deoarece sunt n ţări şi m culori, k={1,...,n} şi xk={1,...,m} x=(x1,x2,...,xn) unde xk{1,...,n}.

4 1 3 2 5 Pentru reprezentarea hărţii în program se va folosi matricea de adiacenţă definită astfel: Exemplu: pentru harta de mai jos: Matricea de adiacenţă este:

Concluzie: Ţara k şi ţara i sunt vecine, dacă (ai,k=1) sau (ak,i=1) Ţara k şi ţara i au aceeaşi culoare dacă xk=xi Comentarii la funcţia valid: Trebuie verificat dacă ţara k şi ţara i ce sunt ţări vecine au culori diferite, adică dacă ak,i=1 pentru xkxi, pentru i=1...k-1.

Metoda Backtracking