Archimedes

1. Archimedes Peter Rešutík Banská Bystrica 2010

2. Archimedov život • Narodil sa v roku 287 pred n.l. v sicílskom prístavnom meste Syrakúzy (Sicília). • Vo svojej dobe bol známy ako najlepší matematik, taktiež bol uznávaný fyzik, inžinier, vynálezca a astronóm. • Svoj životzasvätil matematike, mechanike, objavom rôznych konštrukcií a ich využitiu v praxi. • Archimedes ako prvý vypočítal obvod a obsah kruhu. • Zistil takmer presnú hodnotu pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru čo dnes poznáme pod pojmom Ludolfovo číslo (π), svoje priblíženie sa k obvodu kruhu dosiahol pomocou 96 uholníka a dosiahol pre π presnosť22/7. • Zistil aj povrch a objem gule povrch a objem elipsoidu a úsekov rotačného elipsoidu, hyperboloidu a paraboloidu. • V spomínaných dielach Archimeda sa odráža prekvapujúco originálny spôsob myslenia autora, majstrovská numerická technika a prísny spôsob dokazovania. • Vybudoval základy statiky (mechanická rovnováha, vysvetlenie princípu páky) a hydrostatiky (Archimedov zákon). • Navrhol a zostrojil množstvo vynálezov slúžiacich pre potreby jeho rodného mesta Syrakúzy.Niektoré legendárne obranné stroje, ktoré Archimedes vynašiel, boli v modernej dobe zrekonštruované a ukázalo sa, že mohli byť naozaj funkčné. • Nezaujímal sa však o praktické využitie svojich strojov ani o vojnu, zaujímal sa o ich technické riešenie.

3. Archimedova Smrť • Archimedes zomiera počas 2. púnskej vojny roku 212. pred n.l. v Syrakúzach • keď Syrakúzy počas druhej púnskej vojny obliehali Rimania, jeho vojnové stroje, naháňali Rimanom hrôzu • Marcus Claudius Marcellus nakoniec po dvojročnom obliehaní mesto dobyl a Archimedes bol Rimanmi zabitý, existuje však viacero verzií, ktoré sa líšia len veľmi málo • Plutarchos ponúka dve verzie: podľa jednej, rímsky legionár rozkázal Archimedovi ísť za generálom Marcellom, ale Archimedes odmietol odísť skôr, ako vyrieši svoj matematický problém. To vojaka rozzúrilo a Archimeda svojim mečom prebodol. Druhá verzia hovorí, že vojak k Archimedovi pristúpil s úmyslom zabiť ho, ale ten ho požiadal, aby ešte počkal, kým vyrieši svoju matematickú úlohu. Vojak ale neposlúchol a zabil ho. • Ďalšia verzia Podľa Valeria Maxima hovorí, že sa Archimedes obrátil na vojaka so slovami: "Noli tangere circulos meos" čo v preklade znamená „Nedotýkaj sa mojich kruhov“, vojak ale Archimeda prebodol, bez toho aby vedel, o koho sa jedná. • Marcellus bol správou o Archimedovej smrti zničený, považoval ho za cenného a vopred nariadil, aby mu neublížili • Archimedes bol pochovaný Marcellom v rodinnej hrobke a na pohrebe sa zúčastnili významní Syrakúzania a Rimania

4. Objavy a Vynálezy • Archimedovi sa pripisuje okolo 40 vynálezov • Je po ňom nazvaný napr. kladkostroj alebo vodné špirálové čerpadlo. Preslávil sa aj svojou konštrukciou planetária, ktoré bolo poháňané tlakom vody • Archimedes zrejme veľa neexperimentoval, skôr sa oddával teoretickému mysleniu Fyzika: • Definoval niekoľko dôležitých pojmov, ako napr. moment sily alebo ťažisko (ako bod, v ktorom stačí teleso upevniť, aby zostalo v rovnováhe v akejkoľvek polohe) • Zaoberal sa princípmi činnosti jednoduchých strojov - páky, kladky, naklonenej roviny, klinu a ozubeného kolesa, a zároveň objavil a formuloval zákonitosti ich rovnováhy • Archimedes sa považuje aj za zakladateľa hydrostatiky. Skúmal zákonitosti plávania telies a hydrostatického vztlaku. Uvedomoval si nestlačiteľnosť vody a dokázal ju pravdepodobne využiť pri zisťovaní objemu nepravidelných telies • Pochopil význam pojmu hustota, presne ho formuloval a pravdepodobne našiel metódu jej merania dvojitým vážením (Čím vyššiu hustotu má teleso, tým väčšiu hmotnosť má v pomere k objemu • Jeho objavy týkajúce sa hustoty a vztlaku sú tradované i v anekdote o zlatej korune syrakúzského kráľa

5. Podľa Vitruvia si nechal kráľ Hierón II. zhotoviť novú zlatú korunu v tvare vavrínového venca a požiadal Archimeda, aby zistil, či je vyrobená z rýdzeho zlata, a či nepoctivý zlatník nepridal do nej menej ušľachtilé kovy. Archimedes musel vyriešiť problém bez poškodenia koruny, takže ju nemohol pretaviť do pravidelného geometrického tvaru, aby mohol vypočítať objem. Z hmotnosti by mohol určiť jeho hustotu a porovnať s hustotou zlata. Riešenie ho vraj napadlo pri kúpeli, keď si všimol, že hladina stúpla, keď sa ponoril do vody. Uvedomil si, že môže využiť nestlačiteľnosť vody. Ak ponorí korunu do nádoby naplnenej vodou po okraj, vytlačený objem vody sa bude rovnať objemu koruny. Táto metóda je spochybňovaná, vzhľadom na to, že by si vyžadovala extrémnu presnosť merania objemu vytlačenej vody Podľa legendy vyskočil z kúpeľa, úplne nahý pobiehal syrakuskými ulicami a volal "Heuréka" (čo po grécky znamená "Našiel som!"). Špekuluje sa, že Archimedes mohol použiť iné riešenie, založené na Archimedovom zákone. Podľa neho je teleso ponorené do kvapaliny nadľahčované silou rovnou hmotnosti kvapaliny telesom vytlačenej. Mohol teda napríklad na vzduchu vyvážiť na pákových váhach korunu rýdzim zlatom a ponoriť korunu aj zlaté závažia do vody. Keby koruna mala menšiu hustotu, mala by väčší objem a bola by viac nadľahčovaná. Takáto metóda by už bola dostatočne citlivá Zlatá koruna

6. Archimedes zapaľoval nepriateľské lode na diaľku. Z neskoršej doby sa zachovalo Anthémiovo tvrdenie, že na to použil zrkadlá O funkčnosti tejto zbrane sa diskutovalo už v časoch renesancie. Matematik René Descartes vtedy označil tvrdenia za nepravdivé. Moderní vedci zrekonštruovali pokus len za pomoci prostriedkov, ktoré Archimedes mohol mať v tej dobe k dispozícii. Došli k názoru, že využitie princípu odrazu slnečných lúčov zrkadlami a ich zameranie do jediného bodu mohlo za určitých podmienok spôsobiť vzplanutie lode Praktickú skúšku vykonal roku 1973 grécky vedec Ioannis Sakkas. Pokus uskutočnil v námornej základni Skaramagas neďaleko Atén. Použil 70 medených zrkadiel s rozmermi 1,5 × 1 metra. Zameral sa na model rímskej vojnovej lode z preglejky vo vzdialenosti 50 metrov. Po presnom zameraní všetkých zrkadiel, začala loď počas niekoľkých sekúnd horieť Ďalší praktický experiment uskutočnila v roku 2005 skupinka študentov z MIT. V pokuse použili 39 štvorcových metrov zrkadiel, ktoré zamerali na drevený model lode. Ten vzplanul len vtedy, keď bolo obloha bez mrakov a loď sa asi desať minút nepohybovala. Nakoniec došli k záveru, že za týchto podmienok by zbraň mohla byť funkčná, ale keďže je more od Syrakúz smerom na východ, nemohlo byť dosiahnutá energia potrebná na zapálenie lode. Preto bolo toto tvrdenie spochybnené Zapaľovanie lodí

7. Ďalšia zbraň, o ktorej sa zachovali legendy, je Archimedov pazúr, použitý pri obrane mesta pred nepriateľskými loďami. Bol tvorený žeriavom, na ktorom bol priviazaný kovový hák. Potom čo sa kovový hák zakliesnil za loď v blízkosti hradieb, zdvihol ju nahor a tým sa loď prevrátila. Súčasné pokusy potvrdili, že Archimedov pazúr mohol byť naozaj funkčný. Filozof Plutarchos o tom píše: „Keď Rimania zaútočili, v Syrakúzach zavládlo zdesenie a úzkostlivé ticho. Archimedes a jeho pomocníci však spustili stroje. Súčasne sa z hradieb nad rímske lode vysunuli ťažké trámy a silou zhora ich potápali do hlbín. Železnými hákmi, podobajúcimi sa jastrabím pazúrom, loď zachytili, zdvihli ju do výšky a potom ju vrhli o mestské hradby či späť do vody.“ Archimedov pazúr

8. Archimedova skrutka umožňuje efektívnejšie čerpanie vody. Väčšina Archimédových prác z odboru strojárstva slúžila na uspokojenie potrieb obyvateľov domovského mesta Syrakúz. Grécky spisovateľ Athenaeus z Naucratis opísal, ako kráľ Hiéron II. poveril Archimeda návrhom obrej lode Syracusie, ktorá by mohla byť použitá pre luxusné cestovanie a prevážanie zásob. Syracusia bola údajne najväčšia loď postavená v klasickom staroveku. Podľa Athenaeuse bola schopná pojať 600 ľudí a bola vybavená okrasnými záhonmi a chrámom zasväteným bohyni Afrodite. Veľmi dôležitým technickým prvkom na lodi bola Archimedova skrutka, ktorej úlohou bolo odstraňovanie odpadovej vody. Tvorila ho šikmo postavená rúra so zabudovanou špirálou uloženou na hriadeli. Čerpanie sa vykonávalo otáčaním hriadeľa, voda sa na hriadeli udržiavala pomocou gravitácie. Čerpadlo na princípe Archimedovej skrutky sa používa dodnes, poznáme ho, pod pojmom šnekový dopravník a požíva sa dokonca aj v Bystrickej čističke odpadových vôd. Jeho veľkou výhodou je jednoduchosť a spoľahlivosť i pri čerpaní silne znečistených kvapalín. Archimedova skrutka

9. Archimedes objavil zákony páky, podľa ktorého sily pôsobiace na páke pri rovnováhe sú nepriamo úmerné dĺžkam ich ramien. Dokázal tým, že nepatrnou silou možno uviesť do pohybu veľké bremeno. Svoje poznatky uplatnil pri konštrukcii mohutných kladkostrojov a vojenských vrhacích mechanizmov (katapultov). S týmto objavom je tiež spojený jeho výrok: „Dajte mi pevný bod vo vesmíre a pohnem Zemou.“ Kráľ Hieron ho požiadal, aby dokázal, či nepatrnou silou možno zodvihnúť veľké bremeno. Archimedes to vyskúšal na nákladnej lodi, ktorú mohol na breh vytiahnuť len veľký počet ľudí. Nariadil, aby na loď nastúpilo veľa ľudí a aby bola zaťažená obvyklým veľkýmnákladom. Zaujal miesto neďalekood brehu a bez veľkej námahy, vlastnými rukami pomocou kladkostroja, ľahko a bez porušenia rovnováhy vytiahol loď. Všemocná páka

10. Archimedes bol prvý, ktorý sa významne zaoberal nielen priamkami a rovinami, ale taktiež krivkami, oblými plochami, ich obsahom a objemom tvarov, ktoré vymedzovali. Aby to mohol zvládnuť využíval ako jeden z mála Eudoxovu exhaustívnu metódu,ktorá bola vytvorená pre výpočet plôch alebo objemov konkrétnych obrazcov, či telies. Dokázal konkrétne výsledky zobecniť a našiel obecné pravidlá pre objem elipsoidu alebo paraboloidu. Obecné vzťahy pre objemy telies údajne skúšal najskôr hľadať tak, že telesá vyrábal z dreva, vážil ich.Podľa zmeny váhy usudzoval zmeny objemov a tie odhadoval obecnou zákonitosťou pre objem. Vzorec, o ktorom vďaka tomu už tušil, ako vyzerá, potom obecne odvodil. Odvodil tiež, že pomer medzi objemom valca: 2πr2 (s výškou rovnou jeho priemeru), gule: 4/3πr3 a kužeľa: 2/3πr3 do nej vpísaných je 3:2:1. (údajne vďaka tomuto výsledku Cicero podľa zvláštneho tvaru valca s vloženou guľou našiel zabudnutý Archimedov hrob) Matematika

11. Archimedes sa zaoberal určením približnej hodnoty čísla π (pí) - konštanty udávajúcej pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Na dosiahnutie správneho výsledku využíval postupy, podobné modernému integrálnemu počtu. Prostredníctvom dôkazu sporom mohol úlohu týkajúcu sa kruhu riešiť s takmer ľubovoľným stupňom presnosti. Za pomoci exhaustívnej metódy určil približnú hodnotu čísla π. Najskôr opísal väčší mnohouholník okolo kruhu a menší vpísal do kruhu. Potom počet strán mnohouholníka zväčšoval až na 96 a nakoniec spočítal ich dĺžky a vydelil ich priemerom. Správne tak určil, že číslo π leží v intervale: (približne 223/71=3,1408 <π <22/7=3,1429). Archimedes dokázal, že plocha kruhu je rovná hodnote π vynásobené druhou mocninou polomeru kruhu. A to tak, že pomocou exhaustívnej metódy zistil, že kruh si môžeme prekresliť na pravouhlý trojuholník s odvesnami o (obvod kruhu) a r (polomer kruhu). Z toho dostaneme vzťah S=1/2or. A ak máme obvod o definovaný ako pomer obvodu kružnice k jeho priemeru tak vieme vyjadriť obvod o=πd=2πr, keď tento vzorec na výpočet obvodu kruhu dosadíme do vzorca na výpočet obsahu dostávame S=πr2. Pri meraní gule Archimedes používal odmocninu z 3, ktorú udal ako hodnotu medzi 265/153 (približne 1,7320231) a 1351/780 (približne 1,7320512). Skutočná hodnota je zhruba 1,7320508. K tomuto výsledku však Archimedes neuvádza spôsob, akým k nemu dospel. π

12. Archimedova genialita sa prejavila aj v jednom veľmi komplikovanom odvetví matematiky. Toto odvetvie sa zaoberá krivkami. Archimedes sa snažil vypočítať obsah pod parabolou. Metóda, akou to dokázal udivuje ľudí stále. Spočíva v jednoduchom zákone páky, ktorý poznáme z fyziky. Zákon páky znie: sila pôsobiaca na jedno rameno páky vynásobená dĺžkou ramena sa rovná sile pôsobiacej na druhé rameno páky vynásobenej dĺžkou druhého ramena.m1.v1=m2.v2 Obsah pod parabolou

13. V diele Kvadratúra paraboly Archimedes dokázal, že oblasť ohraničená parabolou a priamkou je 4/3 násobok plochy vpísaného trojuholníka. Celý matematický problém vyjadril ako súčet nekonečného geometrického radu s kvocientom 4–1. Za predpokladu, že prvé číslo v rovnici je plocha trojuholníka, je druhé číslo súčet dvoch trojuholníkov, ktorých "základne" (najdlhšej strany) sú "ramená" (kratšej strany) prvého trojuholníka. Takto súčetpostupuje do nekonečna. Tento postup použil nielen na stanovenie obsahu plochy pod parabolou, ale stanovil aj objem rotačného paraboloidu, elipsoidu a hyperboloidu. Metóda je založená na podobnom princípe, aký sa dnes používa v integrálnom počte. Výpočet segmentu paraboly

14. Záver • Som rád, že som vám mohol priblížiť život a dielo tohto geniálneho matematika a fyzika, ktorého dodnes uznáva celý vedecký svet. Ďakujem za pozornosť