Geometría Analítica

1. Geometría Analítica Tema central: Distancia entre dos puntos Título:Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

2. Competencias genéricas y disciplinares Construye e instruye modelos relacionados con segmentos y polígonos mediante la resolución de problemas de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procesos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. • Formula y resuelve problemas matemáticos aplicado a diferentes enfoques. • Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemático y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Cuantifica y representa magnitudes en segmentos y polígonos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de segmentos y polígonos.

3. Identifica las características de un segmento rectilíneo Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Javier hace 4 viajes alrededor del kiosco de su pueblo. En la siguiente imagen se muestra la ubicación de cada uno de ellos. Responde: ¿Cuánto recorrió para llegar desde el kiosco a la escuela? ¿Y desde el kiosco al teatro? ¿Cuál es la diferencia entre ellas? Si Javier se dirige hacia su casa y a 3 m de llegar a ella, decide dirigirse a la estación, ¿cuál es la diferencia de la distancia entre estos puntos? Si Javier se encuentra en su casa y decide recortar camino hacia la escuela, ¿qué distancia deberá recorrer? 25 m 25 m 25 m 25 m

4. Identifica las características de un segmento rectilíneo Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos En la actividad anterior utilizaste un segmento dirigido para indicar los lugares a los que se desplazó Javier. Todos tienen la misma longitud, pero la diferencia es el sentido en el que están medidos. Distancia de P a Q = +5 Observa que cuando en una recta numérica indicamos el sentido para calcular la longitud entre dos puntos, nos referimos a un segmento dirigido. P Q 3 4 5 6 7 8 9 10 Distancia de P a Q = -5 P Q 3 4 5 6 7 8 9 10 El modo más sencillo para calcular la distancia entre dos puntos, por ejemplo, P(3) y Q(5) de la siguiente recta numérica, sería contar cada uno de los números que existen entre ellos, sin embargo, se complica cuando los dos puntos no son enteros. P Q 1 2 3 4 5 6 7 8

5. Identifica las características de un segmento rectilíneo Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Para encontrar el resultado solo debemos obtener el valor absoluto de la diferencia que existe entre ellos, sin importar su posición en la recta numérica: Si trazarás una línea entre ellos tendrías un segmento cuyo valor sería la distancia entre ambos puntos. Cuando calculamos la distancia sin importar el sentido se dice que se tiene un segmento no dirigido. Esto significa que la distancia medida x2a x1es la misma que de x1 a x2. Ejemplo: Calcula la longitud de los segmentos no dirigidos dados por estos pares de puntos: A(7) y B(9) C(-8) y D(4) Q(-3) y R(-9) S(3/5) y P(-8/3)

6. Identifica las características de un segmento rectilíneo Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Consideremos para el primer caso lo siguiente: x1 = 7 y x2 = 9 entonces: d = │7 – (9)│ = │7 – 9│ = │– 2│ = 2 Así, concluimos que la distancia no dirigida que existe entre A(7) y B(9) es igual a 2. El resultado es positivo por el valor absoluto. C(-8) y D(4) d = │-8 – (4)│ = │-8 – 4│ = │– 12│ = 12 Q(-3) y R(-9) d = │-3 – (-9)│ = │-3 + 9│ = │+ 6│ = 6 S(3/5) y P(-8/3)

7. Identifica las características de un segmento rectilíneo E(-2, 7) José y Raúl, después de estar hablando por celular, deciden encontrarse en la escuela donde asisten, la cual se sitúa en un plano cartesiano y tiene como coordenadas: E(-2, 5), José vive en J(5, 3) y sigue el camino EJR con R(2, 0). Raúl vive en B(-5, -2) y recorre el camino BE (se supone que ambos salen al mimo tiempo y que caminan a la misma velocidad). Determina: • ¿Quién llegará primero a la escuela? • Si José, que viven en J, hubiera seguido el camino JE, ¿qué distancia habría recorrido? J(5, 3) Ruta de José para llegar a la escuela Ruta de Raúl para llegar a la escuela R(2, 0) B(-5, -2)

8. Identifica las características de un segmento rectilíneo Por ejemplo: la recta y = 3x – 2 tiene la gráfica siguiente: Una línea recta se puede visualizar como la distancia más corta entre dos puntos; es decir, para trazar una recta sólo se necesitan dos referencias en el sistema de coordenadas. Pero se debe entender que una recta se prolonga hasta el infinito, es decir, no tiene fin. Por esa razón se suele trabajar con porciones o segmentos de recta. Un segmento de recta es una parte, trozo o porción de línea comprendida entre dos puntos Observa que la gráfica podría seguir hacia arriba o hacia abajo sin fin. Un segmento de dicha recta se marca en azul y se encuentra entre los puntos: A(0, 2) y B(2, 4); es decir, tiene principio y fin.

9. La noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 1. Supongamos que los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), son extremos de un segmento que ambos están localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje X), la distancia entre éstos es: Fórmulas de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1 P1P2 = x2 - x1 P2 P1 = x1 - x2 La fórmula de la distancia no dirigida es: P1P2 = (x2 - x1) = (x1 - x2) La longitud de un segmento se obtiene calculando la distancia entre los puntos inicial y final. Ahora bien, la distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas: 2. La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano o la longitud del segmento de recta que los une se puede determinar a partir de las coordenadas de ambos. Supongamos dos puntos dados cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Para calcular la distancia entre ellos d = │P1P2│, primero se traza por P1 una horizontal y por P2 una vertical y se denomina R al punto de intersección de dichas rectas: Q(x2, y2 ) R(x2, y1 ) P(x1, y1 )

10. La noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano R y Q tiene la misma abscisa (o coordenada “x”) porque están sobre la misma vertical; por estar sobre la misma horizontal, R y P, tienen la misma ordenada (o coordenada “y”); de manera que las coordenadas del punto R son (x2, y1); entonces, ya que P y R tienen la misma ordenada, la distancia entre ellos está dada por: │PR│ = PR = Y como Q y R tienen la misma abscisa, la distancia entre ellos se expresa como: │RQ│ = RQ = Al aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PRQ se tiene: (PQ)2 = (PR)2 + (RQ)2 Q(x2, y2 ) Al sustituir las expresiones que se obtuvieron anteriormente: d2 = ()2 + ()2 Recuerda que lo que debemos obtener es la longitud del segmento o bien la distancia entre los puntos extremos, por tanto: d= √ ()2 + ()2 R(x2, y1 ) P(x1, y1 )