MECÂNICA - ESTÁTICA

1. MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

2. Objetivos • Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área. • Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área. • Discutir o momento de inércia de massa.

3. 10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas O centróide de um corpoéobtidopelocálculo do primeiromomento de área: O momento de inérciaéobtidopelocálculo do segundomomento de área:

4. 10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas Um exemplo onde o momento de inércia é utilizado: A figura mostra a pressão p de um líquido atuando na superfície de uma placa submersa.

5. 10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas Para os momentos de inércia de uma área qualquer: JO é o segundo momento de área em torno do ponto O ou do eixo z, chamado momento polar de inércia:

6. Problema 10.A • Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos: • x • y

7. x dy y Problema 10.A - Solução

8. dx y x Problema 10.A - Solução

9. 10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área O momento de inércia de uma área em relação a um eixo (x e y) é igual ao momento de inércia desta área em relação ao eixos paralelos passando pelo centróide (C) da área (x´ e y´) mais o produto da área (A) pelo quadrado da distância entre os eixos (dx ou dy).

10. 10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

11. Exemplo 10.1 • Determine o momento de inércia da área retangular mostrada com relação a: • eixo centroidal x´ • eixo xb passando pela base do retangulo • polo ou eixo z´  ao plano x´- y´ passando pelo centróide C.

12. Exemplo 10.1

13. dx´ x´ C Exemplo 10.1

14. 10.4 Momentos de Inércia de uma Área por Integração As vezes o elemento infinitesimal de área não está orientado paralelamente ao eixo para o qual se calcula o momento de inércia. Nesse caso pode ser usado o teorema dos eixos paralelos (quando esta orientação é vertical) ou simplesmente usar a expressão correta do diferencial do momento de inércia e integrar.

15. Problema 10.8 • Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos: • x • y

16. (x,y) y y=y/2 dx Problema 10.8 - Solução

17. (x,y) y y=y/2 dx Problema 10.8 - Solução

18. (x,y) y y=y/2 dx Problema 10.8 - Solução

19. 10.3 Raio de Giração de uma Área O raio de giração de uma área plana possui a unidade do comprimento sendo um valor muito usado para o projeto de pilares

20. Problema 10.B Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y.

21. dx y x Problema 10.B - Solução

22. dx y x Problema 10.B - Solução

23. 10.5 Momentos de Inércia de Área Compostas • Um corpo composto consiste de um conjunto de corpos de formas simples. • Um corpo pode ser dividido em partes. • O momento de inércia de um corpo composto é igual a soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes.

24. Problema 10.34 • Determine o centro de gravidade e o momento de inércia da área mostrada em relação aos: • eixo x • eixo y

25. Problema 10.34 - Solução I = I1 - I2 - I3 Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3 Iy = (Iy)1 – (Iy)2 – (Iy)3 2 - = 1 3 -

26. Problema 10.34 - Solução A = A1 - A2 - A3 xg = (A1xg1 – A2xg2 – A3xg3) / A yg = (A1yg1 – A2yg2 – A3yg3) / A 2 - = 1 3 -

27. y 6 in 1 3 in 10 in 5 in x Problema 10.34 - Solução

28. y 3 in 5 in 6 in 2 8 in x Problema 10.34 - Solução

29. Problema 10.34 - Solução y 3 raio (r) = 2 in 3 in 4 in x

30. 2 - - 3 1 Problema 10.34 - Solução