Obsah přednášky :

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný a rotační pohyb tělesa. Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb rotační pohyb geometrie hmot Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními typy pohybu tělesa, s kinematikou a dynamikou posuvného a rotačního pohybu

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa posuvný pohyb rovinný pohyb : Všechny body tělesa se pohybují v navzájem rovnoběžných rovinách. rotační pohyb obecný rovinný pohyb posuvný pohyb prostorový pohyb sférický pohyb šroubový pohyb obecný prostorový pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa posuvný pohyb Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa Jedna přímka tělesa nemění svou polohu. rotační pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa obecný rovinný pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. posuvný pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa Jeden bod tělesa nemění svou polohu. sférický pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa Těleso rotuje okolo osy a současně se posouvá ve směru této osy. šroubový pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa obecný prostorový pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Pohyb tělesa posuvný pohyb rotační pohyb rovinný pohyb obecný rovinný pohyb Jakýkoliv pohyb tělesa je jeden z těchto 6 typů pohybu. posuvný pohyb sférický pohyb prostorový pohyb šroubový pohyb obecný prostorový pohyb

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. 1, 2, 3 stupně volnosti x,y,z - pevný (nehybný) souřadný systém; počátek P x,h,z - tělesový souřadný systém - pevně spojený s tělesem; počátek W x//x, h//y, z//z A - běžný bod tělesa

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. 1, 2, 3 stupně volnosti rA - polohový vektor bodu A vůči xyz rW - polohový vektor bodu W vůči xyz, poloha tělesa v prostoru rAW - polohový vektor bodu A vůči xhz, poloha bodu A uvnitř tělesa

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. 1, 2, 3 stupně volnosti derivace podle času Polohový vektor rAW má velikost a směr. Velikost je konstantní s ohledem na nedeformovatelnost tělesa - těleso se nemůže protáhnout, platí vždy (pro absolutně tuhé těleso). Směr je konstantní s ohledem na definici posuvného pohybu - platí pouze pro posuvný pohyb.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. 1, 2, 3 stupně volnosti derivace podle času derivace podle času Všechny body se pohybují po stejné trajektorii, stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. Pohyb posuvný přímočarý. Všechny body se pohybují po stejné trajektorii, stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. Pohyb posuvný kruhový. Všechny body se pohybují po stejné trajektorii, stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. Pohyb posuvný cykloidní. Všechny body se pohybují po stejné trajektorii, stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb - dynamika. Pohybová rovnice posuvného pohybu tělesa je shodná s pohybovou rovnicí hmotného bodu. Všechny body tělesa mají stejné zrychlení.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb - dynamika. Poznámka k rovnicím rovnováhy : pro soustavu sil s různým působištěm musí být samozřejmě splněna i momentová rovnice rovnováhy. d’Alembertův princip má stejnou podobu jako u hmotného bodu. dD D dm dm dD dm dm a dG T T a dG a dD dm dm dG dm dm a dD dG G Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly. Tíhová síla G je výslednicí nekonečně mnoha elementárních tíhových sil dG. Elementární tíhová síladG=dm·g. Gravitační zrychlení g má ve všech bodech stejnou velikost i směr. D’Alembertova síla D je výslednicí nekonečně mnoha elementárních d’Alembertových sil dD. Elementární d’Alembertova síla dD=dm·a. Zrychlení a má ve všech bodech stejnou velikost i směr.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb - dynamika. Poznámka k rovnicím rovnováhy : pro soustavu sil s různým působištěm musí být samozřejmě splněna i momentová rovnice rovnováhy. d’Alembertův princip má stejnou podobu jako u hmotného bodu. dD D dm dm dD dm dm a dG T T a dG a dD dm dm dG dm dm a dD dG G Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly. Z analogie mezi rozložením elementárních tíhových sil dG a elementárních d’Alembertových sil dD vyplývá : D’Alembertova síla D působí v těžišti. Správně působí ve středu hmotnosti. Je-li těleso malé (ve srovnání se Zemí), je gravitační zrychlení g ve všech bodech tělesa shodné. Střed hmotnost a těžiště pak splývají v jeden bod.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb - dynamika. Za účelem sestavení (a následného řešení) pohybové rovnice lze těleso nahradit hmotným bodem ... kterýmkoliv - všechny body se pohybují po stejné trajektorii stejnou rychlostí a se stejným zrychlením. pohybová rovnice

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb - dynamika. d’Alembertův princip Do těžiště zavedeme d’Alembertovu sílu - tečnou a normálovou složku. Ze tří rovnic rovnováhy vyřešíme : 1) pohybovou rovnici, 2) reakční síly.

Základy mechaniky, 14. přednáška Posuvný pohyb - dynamika. Pro sestavení (a následné řešení) pohybové rovnice lze hmotu soustředit do jednoho bodu a řešit pohyb hmotného bodu. Pro řešení sil (nejčastěji reakcí) je třeba počítat s rozměry tělesa a uvažovat soustavu sil s různým působištěm. D’Alembertovu sílu pak zavádíme do těžiště.

Základy mechaniky, 14. přednáška Rotační pohyb. Jedna přímka tělesa nemění svou polohu (osa rotace). každý bod se pohybuje po kružnici o poloměru R 1 stupeň volnosti úhel natočení úhlová rychlost úhlové zrychlení r polohový vektor v obvodová rychlost at tečné zrychlení an normálové zrychlení

Základy mechaniky, 14. přednáška Rotační pohyb - dynamika. V dynamice nevystačíme s pohybovou rovnicí hmotného bodu ! d’Alembertův princip nahrazení silové soustavy Z tělesa vybereme hmotový element dm. Tomu přiřadíme tečné a normálové zrychlení at a an. Zavedeme elementární d’Alembertovy síly dDt a dDn (tečnou a normálovou). Provedeme ekvivalentní nahrazení silové soustavy nekonečně mnoha elementárních d’Alembertových sil jednou silou a momentem. moment setrvačnosti [kg·m2]

Základy mechaniky, 14. přednáška Rotační pohyb - dynamika. m - hmotnost tělesa IS - moment setrvačnosti ke středu rotace S w - úhlová rychlost e - úhlové zrychlení aTt- zrychlení těžiště, tečná složka aTn- zrychlení těžiště, normálová složka rT- vzdálenost těžiště od středu rotace doplňkový (d’Alembertův) moment MD působí proti směru úhlového zrychlení e. doplňkové (d’Alembertovy) síly Dt a Dn působí proti směru zrychlení těžiště aTt a aTn. výsledný silový účinek (působiště ve středu rotace !) výsledný momentový účinek

Základy mechaniky, 14. přednáška Rotační pohyb - dynamika. akční síly (zatížení) doplňkové účinky reakce řešení reakcí z rovnic rovnováhy včetně doplňkových sil ! neobsahuje reakce ani doplňkové síly doplňková (d’Alembertova) síla - tečná a normálová složka pohybová rovnice doplňkový (d’Alembertův) moment včetně doplňkového momentu neobsahuje doplňkový moment

Základy mechaniky, 14. přednáška Rotační pohyb - dynamika. akční síly (zatížení) pohybová rovnice IS - moment setrvačnosti [kg·m2] e - úhlové zrychlení[rad/s2] SMSi - součet momentů vnějších sil ke středu rotace[N·m]

Základy mechaniky, 14. přednáška Rotační pohyb - dynamika. kinetická energie IS moment setrvačnosti Z tělesa vybereme hmotový element dm. Tomu přiřadíme rychlost v a kinetickou energii dEK. Kinetickou energii tělesa určíme integrováním přes celé těleso.

Základy mechaniky, 14. přednáška analogie mezi posuvným a rotačním pohybem posuvný pohyb rotační pohyb Z porovnáním kinematiky a dynamiky posuvného a rotačního pohybu vyplývá analogie (podobnost) mezi oběma pohyby. Tato analogie spočívá v tom, že jednotlivým fyzikálním veličinám, vztahujícím se k posuvnému pohybu, odpovídají jiné veličiny, vztahující se k rotačnímu pohybu. Vztahy mezi nimi pak jsou shodné. Jestliže ve vztazích, týkajících se posuvného pohybu, nahradíme jedny veličiny druhými, dostaneme analogické vztahy, týkající se rotačního pohybu.

Základy mechaniky, 14. přednáška analogie mezi posuvným a rotačním pohybem posuvný pohyb rotační pohyb dráha s, x, ... [m, mm] ~ úhel f [rad, °] rychlost v [m/s] ~ úhlová rychlost w [rad/s] zrychlení a [m/s2] ~ úhlové zrychlení e [rad/s2] příklad - rovnoměrně zrychlený pohyb ~ ~

Základy mechaniky, 14. přednáška analogie mezi posuvným a rotačním pohybem posuvný pohyb rotační pohyb síla F, G, ... [N] ~ moment síly M [N·m] hmotnost m [kg] ~ moment setrvačnosti I [kg·m2] pohybová rovnice pohybová rovnice ~ doplňková síla doplňkový moment ~

Základy mechaniky, 14. přednáška analogie mezi posuvným a rotačním pohybem posuvný pohyb rotační pohyb hybnost hmoty ~ moment hybnosti [kg·m/s] [kg·m2/s] impuls síly ~ impuls momentu [N·s] [N·m·s] změna hybnosti ~ změna momentu hybnosti kinetická energie ~ kinetická energie [J] [J] práce [N·m] ~ práce [N·m] výkon ~ [W] výkon [W] změna kinetická energie [J ~ N·m]

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot moment setrvačnosti tenká obruč r = konst

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot moment setrvačnosti prizmatická tyč rotující okolo osy, procházející koncem tyče

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot moment setrvačnosti prizmatická tyč rotující okolo osy, procházející středem tyče

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot moment setrvačnosti válec rotující okolo své osy 2·p·r dr dS

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot moment setrvačnosti válec rotující okolo své osy

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot moment setrvačnosti k posunuté ose T IT - moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm (těžištní osa), I - moment setrvačnosti k rovnoběžně posunuté ose. I IT Steinerova věta

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot tenká obdélníková deska tenká kruhová deska z y x r m m koule b r a m válec kužel jehlan r m m a m b r a

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot firemní literatura

Základy mechaniky, 14. přednáška geometrie hmot 3D CAD modelování PRINT MASS PROPERTIES ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED VOLUMES TOTAL NUMBER OF VOLUMES SELECTED = 1 (OUT OF 1 DEFINED) *********************************************** SUMMATION OF ALL SELECTED VOLUMES TOTAL VOLUME = 0.11537E+08 TOTAL MASS = 0.92296E-01 CENTER OF MASS: XC=-0.14674E-03 YC= 0.0000 ZC= 0.0000 *** MOMENTS OF INERTIA *** ABOUT ORIGIN ABOUT CENTER OF MASS PRINCIPAL IXX = 1752.3 1752.3 1752.3 IYY = 1752.3 1752.3 1752.3 IZZ = 3392.2 3392.2 3392.2 IXY = 0.55354E-03 0.55354E-03 IYZ = 0.46905E-04 0.46905E-04 IZX = -0.62350E-04 -0.62350E-04 PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z): 0.993 -0.116 0.000 0.116 0.993 0.000 0.000 0.000 1.000 (THXY= -6.635 THYZ= 0.000 THZX= 0.000)

Základy mechaniky, 14. přednáška Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb rotační pohyb geometrie hmot

Obsah přednášky :